考点规范练35 合情推理与演绎推理一、非标准1.用演绎法证明函数f(x)=x3是增函数时的小前提是( )A.增函数的定义B.函数f(x)=x3满足增函数的定义C.若x1<x2,则f(x1)<f(x2)D.若x1<x2,则f(x1)>f(x2)2.命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是( )A.使用了归纳推理B.使用了类比推理C.使用了“三段论”,但推理形式错误D.使用了“三段论”,但小前提错误3.已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-,满足Sn++2=an(n≥2),则S2022=( ) A.-B.-C.-D.-4.下面几种推理是合情推理的是( )①由圆的性质类比出球的有关性质;②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°,归纳出所有三角形的内角和都是180°;③某次考试张军成绩是100分,由此推出全班同学成绩都是100分;④三角形的内角和是180°,四边形的内角和是360°,五边形的内角和是540°,由此得出凸多边形的内角和是(n-2)·180°.A.①②B.①③C.①②④D.②④5.观察图中各正方形图案,每条边上有n(n≥2)个圆点,第n个图案中圆点的个数是an,按此规律推断出所有圆点总和Sn与n的关系式为( )A.Sn=2n2-2nB.Sn=2n2C.Sn=4n2-3nD.Sn=2n2+2n6.二维空间中圆的一维测度(周长)l=2πr,二维测度(面积)S=πr2,观察发现S'=l;三维空间中球的二维测度(表面积)S=4πr2,三维测度(体积)V=πr3,观察发现V'=S.则四维空间中“超球”的四维测度W=2πr4,猜想其三维测度V= . 7.(2022北京,文14)顾客请一位工艺师把A,B两件玉石原料各制成一件工艺品.工艺师带一位徒弟完成这项任务.每件原料先由徒弟完成粗加工,再由工艺师进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客.两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下: 工序 时间原料 粗加工精加工原料A915\n原料B621则最短交货期为 个工作日. 8.(2022福建,文16)已知集合{a,b,c}={0,1,2},且下列三个关系:①a≠2;②b=2;③c≠0有且只有一个正确,则100a+10b+c等于 . 9.f(x)=,先分别求f(0)+f(1),f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结论,并给出证明.10.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213°+cos217°-sin13°cos17°②sin215°+cos215°-sin15°cos15°③sin218°+cos212°-sin18°cos12°;④sin2(-18°)+cos248°-sin(-18°)cos48°;⑤sin2(-25°)+cos255°-sin(-25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.\n11.学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,那么这组学生最多有( )A.2人B.3人C.4人D.5人12.类比“两角和与差的正弦公式”的形式,对于给定的两个函数:S(x)=ax-a-x,C(x)=ax+a-x,其中a>0,且a≠1,下面正确的运算公式是( )①S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);②S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y);③2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);④2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).A.①②B.③④C.①④D.②③13.已知x∈(0,+∞),观察下列各式:x+≥2,x+≥3,x+≥4,……类比得x+≥n+1(n∈N+),则a= . 14.(2022四川,文15)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数φ(x)组成的集合:对于函数φ(x),存在一个正数M,使得函数φ(x)的值域包含于区间.例如,当φ1(x)=x3,φ2(x)=sinx时,φ1(x)∈A,φ2(x)∈B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)∈A”的充要条件是“∀b∈R,∃a∈D,f(a)=b”;②若函数f(x)∈B,则f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)∈A,g(x)∈B,则f(x)+g(x)∉B;④若函数f(x)=aln(x+2)+(x>-2,a∈R)有最大值,则f(x)∈B.其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号) 15.如图所示,D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,且DE∥BA.求证:ED=AF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论,并最终把推理过程用简略的形式表示出来).16.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设f'(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是f'(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.若f(x)=x3-x2+3x-,请你根据这一发现,\n(1)求函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心;(2)计算f+f+f+f+…+f.##一、非标准1.B 解析:∵证明y=x3是增函数时,依据的原理就是增函数的定义,∴用演绎法证明y=x3是增函数时的大前提:增函数的定义,小前提:函数f(x)=x3满足增函数的定义.结论:函数f(x)=x3是增函数.故选B.2.C 解析:由“三段论”的推理方式可知,该推理的错误原因是推理形式错误.3.D 解析:利用归纳推理求解.由Sn++2=an=Sn-Sn-1,得=-Sn-1-2(n≥2).又S1=a1=-,所以S2=-,S3=-,S4=-.由归纳推理可得S2022=-.4.C 解析:①是类比推理,②④是归纳推理,③是非合情推理.5.A 解析:事实上由合情推理的本质:由特殊到一般,当n=2时,有S2=4,分别代入即可排除B,C,D三选项,从而选A.也可以观察各个正方形图案可知圆点个数可视为首项为4,公差为4的等差数列,因此所有圆点总和即为等差数列前(n-1)项和,即Sn=(n-1)×4+×4=2n2-2n.6.8πr3 解析:由已知,可得圆的一维测度为二维测度的导函数;球的二维测度是三维测度的导函数.类比上述结论,“超球”的三维测度是四维测度的导函数,即V=W'=(2πr4)'=8πr3.7.42 解析:最短交货期为先由徒弟完成原料B的粗加工,共需6天,然后工艺师加工该件工艺品,需21天;徒弟可在这几天中完成原料A的粗加工;最后由工艺师完成原料A的精加工,需15个工作日.故交货期为6+21+15=42个工作日.8.201 解析:由题意可知三个关系只有一个正确分为三种情况:(1)当①成立时,则a≠2,b≠2,c=0,此种情况不成立;(2)当②成立时,则a=2,b=2,c=0,此种情况不成立;(3)当③成立时,则a=2,b≠2,c≠0,即a=2,b=0,c=1,所以100a+10b+c=100×2+10×0+1=201.故答案为201.9.解:f(0)+f(1)===,同理可得:f(-1)+f(2)=,f(-2)+f(3)=.由此猜想f(x)+f(1-x)=.证明:f(x)+f(1-x)====.10.解:(1)选择②式,计算如下:sin215°+cos215°-sin15°cos15°\n=1-sin30°=1-.(2)由上述5个式子的结构特征可知,三角恒等式为sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=.证明如下:(方法一)sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=sin2α+(cos30°cosα+sin30°sinα)2-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=sin2α+cos2α+sinαcosα+sin2α-sinαcosα-sin2α=sin2α+cos2α=.(方法二)sin2α+cos2(30°-α)-sinαcos(30°-α)=-sinα(cos30°cosα+sin30°sinα)=-sinαcosα-sin2α=(cos60°cos2α+sin60°sin2α)-sin2α-(1-cos2α)=.11.B 解析:用A,B,C分别表示优秀、及格和不及格.显然,语文成绩得A的学生最多只有一人,语文成绩得B的也最多只有1人,得C的也最多只有1人,所以这组学生的成绩为(AC),(BB),(CA)满足条件,故学生最多为3人.12.B 解析:经验证易知①②错误.依题意,注意到2S(x+y)=2(ax+y-a-x-y),S(x)C(y)+C(x)S(y)=2(ax+y-a-x-y),因此有2S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y);同理有2S(x-y)=S(x)C(y)-C(x)S(y).13.nn 解析:第一个式子是n=1的情况,此时a=11=1;第二个式子是n=2的情况,此时a=22=4;第三个式子是n=3的情况,此时a=33=27,归纳可知a=nn.14.①③④ 解析:对于①,若对任意的b∈R,都∃a∈D使得f(a)=b,则f(x)的值域必为R.反之,f(x)的值域为R,则对任意的b∈R,都∃a∈D使得f(a)=b,故正确.对于②,比如对f(x)=sinx∈B,但它无最大值也无最小值.对于③,∵f(x)∈A,∴f(x)∈(-∞,+∞).∵g(x)∈B,∴存在正数M使得-M≤g(x)≤M,故f(x)+g(x)∈(-∞,+∞),∴f(x)+g(x)∉B,正确.对于④,-,当a>0或a<0时,alnx∈(-∞,+∞),f(x)均无最大值,若f(x)有最大值,则a=0,此时f(x)=,f(x)∈B,故正确.15.证明:(1)同位角相等,两条直线平行,(大前提)∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠A,(小前提)则DF∥EA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)DE∥BA,且DF∥EA,(小前提)则四边形AFDE为平行四边形.(结论)(3)平行四边形的对边相等,(大前提)ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)则ED=AF.(结论)上面的证明可简略地写成:⇒四边形AFDE是平行四边形⇒ED=AF.\n16.解:(1)f'(x)=x2-x+3,f″(x)=2x-1,由f″(x)=0,即2x-1=0,解得x=.f+3×=1.由题中给出的结论,可知函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心为.(2)由(1),知函数f(x)=x3-x2+3x-的对称中心为,所以f+f=2,即f(x)+f(1-x)=2.故f+f=2,f+f=2,f+f=2,……f+f=2.所以f+f+f+f+…+f×2×2022=2022.
