第57讲 双曲线 1.“ab<0”是“曲线ax2＋by2＝1为双曲线”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件 2.双曲线＋＝1的焦距是( )A．2B．4C．8D．与m有关 3.过点(2，－2)且与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程是( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1 4.设P是双曲线－＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－2y＝0，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点．若|PF1|＝3，则|PF2|等于( )A．1或5B．6C．7D．9 5.设双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e∈[，2]，则两条渐近线夹角的取值范围是__________________． 6.(2022·天津卷)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)与双曲线C2：－＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(，0)，则a＝______，b＝______． 7.已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.(1)求这双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．4\n 1.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M，N两点，O为坐标原点．若OM⊥ON，则双曲线的离心率为( )A.B.C.D. 2.(2022·浙江卷)如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点．若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A．3B．2C.D. 3.已知双曲线C的中心在坐标原点O，对称轴为坐标轴，点(－2，0)是它的一个焦点，并且离心率为.(1)求双曲线C的方程；(2)已知点M(0，1)，设P(x0，y0)是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，求·的取值范围．4\n第57讲巩固练习1．C 2.C 3.A4．C 解析：由渐近线方程y＝x，且b＝3，所以a＝2.据定义有|PF2|－|PF1|＝4，所以|PF2|＝7.5．[，]6．1 2解析：双曲线的－＝1渐近线为y＝±2x，而－＝1的渐近线为y＝±x，所以有＝2，b＝2a，又双曲线－＝1的右焦点为(，0)，所以c＝，又c2＝a2＋b2，即5＝a2＋4a2＝5a2，所以a2＝1，a＝1，b＝2.7．解析：(1)由16x2－9y2＝144得－＝1，所以a＝3，b＝4，c＝5.焦点坐标F1(－5，0)，F2(5，0)，离心率e＝，渐近线方程为y＝±x.(2)||PF1|－|PF2||＝6，cos∠F1PF2＝＝＝＝0.所以∠F1PF2＝90°.提升能力1．D2．B 解析：设椭圆的长轴为2a，双曲线的实轴为2a′，由M，O，N4\n将椭圆长轴四等分，则2a＝2×2a′，即a＝2a′，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为2c，则双曲线的离心率为e′＝，椭圆的离心率e＝，＝＝2.3．解析：(1)设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，半焦距为c，则c＝2，又由＝，得a＝，b2＝c2－a2＝1，故所求双曲线C的方程为－y2＝1.(2)依题意有：Q(－x0，－y0)，所以＝(x0，y0－1)，＝(－x0，－y0－1)所以·＝－x02－y02＋1，又－y02＝1所以·＝－x02＋2，由－y02＝1可得，x02≥3所以·＝－x02＋2≤－2故·的取值范围是(－∞，－2]．4
