第48讲 空间中的平行关系 1.经过平面α外两点，作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )A．0个B．1个C．0个或1个D．1个或无数个 2.α和β是两个不重合的平面，在下列条件中可判定平面α和β平行的是( )A．α和β都垂直于平面γB．α内不共线的三点到β的距离相等C．l，m是平面α内的直线，且l∥β，m∥βD．l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，m∥β，l∥β 3.设α、β是两个平面，l、m是两条直线，下列命题中，可以判断α∥β的是( )A．l⊂α，m⊂α，且l∥β，m∥βB．l⊂α，m⊂β，且m∥αC．l∥α，m∥β，且l∥mD．l⊥α，m⊥β，且l∥m 4.(2022·四川卷)下列命题正确的是( )A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 5.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝__________． 6.在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，过B且平行于平面AB1D1的平面与平面AB1D1的距离是________________．5\n 7.求证：一条直线分别与两个相交平面平行，那么这条直线必与它们的交线平行． 1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，令集合M＝{长方体ABCD－A1B1C1D1的6个面和12条棱}，N＝{x|x∈M且x∥平面ABCD}，试用列举法表示集合N＝______________________________________． 2.下列关于互不相同的直线m，l，n和平面m，l，n的四个命题：①若m⊂α，l∩α＝A，点A∉m，则l与m不共面；②若m，l是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；③若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；④若l⊂α，m⊂α，l∩m＝A，l∥β，m∥β，则α∥β.其中假命题的序号是______． 3.如图，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时，其截面面积最大．5\n5\n第48讲巩固练习1．C 2.D 3.D4．C5.a6.a7．证明：方法1：借助于平行直线的传递性．如图①所示，过a作一平面γ交平面α于直线c.因为a∥α，则c∥a，若c、b重合，命题成立；若c与b不重合，又因为a∥β，所以c∥β，而α过c且与β相交于b，所以c∥b，故a∥b.方法2：利用同一法，如图②所示，在平面α、β的交线b上任取一点A，过A作直线b′∥a.因为a∥α，所以b′在α内(一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内一点而与这条直线平行的直线都在这个平面内)．同理，a∥β，所以b′也在平面β内．因为b′既在α内，又在β内，所以b′即为平面α与平面β的交线，即b′与b重合，所以a∥b.提升能力1．{A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，平面A1B1C1D1}2．③3．因为AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG，EH，所以AB∥FG，AB∥EH，所以FG∥EH，同理可证EF∥GH，所以截面EFGH是平行四边形．5\n设AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α.又设FG＝x，GH＝y，则由平面几何知识可得＝，＝，两式相加得＋＝1，即y＝(a－x)，所以S▱EFGH＝FG·GH·sinα＝x·(a－x)·sinα＝·x(a－x)．因为x>0，a－x>0且x＋(a－x)＝a，所以当且仅当x＝a－x即x＝时，·x(a－x)＝.即当截面EFGH的顶点E，F，G，H为棱AD，AC，BC，BD的中点时，截面面积最大．5
