【备战2022】高考数学 5年高考真题精选与最新模拟 专题10 圆锥曲线 理

【备战2022】高考数学5年高考真题精选与最新模拟专题10圆锥曲线理【2022高考真题精选】1．（2022·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1的离心率为，则m的值为________．【答案】2　【解析】本题考查双曲线离心率的求解．解题突破口是明确焦点所在轴．根据双曲线方程可得：m>0，所以e＝＝，解之得m＝2.2．（2022·湖南卷）已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝13．（2022·全国卷）已知F1、F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝(　　)A.B.C.D.4．（2022·课标全国卷）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　　)A.B．2C．4D．897\n＝a2，解得a＝2(a>0)．所以C的实轴长为2a＝4，故选C.5．（2022·上海卷）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1.(1)过C1的左顶点引C1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l交C1于P、Q两点．若l与圆x2＋y2＝1相切，求证：OP⊥OQ；(3)设椭圆C2：4x2＋y2＝1，若M、N分别是C1、C2上的动点，且OM⊥ON，求证：O到直线MN的距离是定值．97\n97\n6．（2022·湖北卷）如图1－5所示，双曲线－＝1(a，b>0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则(1)双曲线的离心率e＝________；(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.97\n而S1＝|F1F2||B1B2|＝2bc,所以＝＝e3＝.7．（2022·四川卷）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)，若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|＝(　　)A．2B．2C．4D．28．（2022·陕西卷）图1－4是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽________米．9．（2022·安徽卷）过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝3，则△AOB的面积为(　　)A.B.C.D．297\n点横坐标之积为1，所以点B的横坐标为.再由抛物线的定义得＝－＝，＝＋＝3＋＝.又因为点O到直线AB的距离为d＝，所以S△AOB＝××＝.10．（2022·浙江卷）定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________.11．（2022·山东卷）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物C的准线的距离为.(1)求抛物线C的方程；(2)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点M的横坐标为，直线l2：y＝kx＋与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，|AB|2＋|DE|2的最小值．【答案】解：(1)依题意知F，圆心Q在线段OF的垂直平分线y＝上，因为抛物线C的准线方程为y＝－，97\n所以＝，即p＝1，因此抛物线C的方程为x2＝2y.(2)假设存在点M(x0>0)满足条件，抛物线C在点M处的切线斜率为y′x＝x0＝x＝x0＝x0.97\n97\n12．（2022·课标全国卷）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　　)A.B．2C．4D．813．（2022·全国卷）已知抛物线C：y＝(x＋1)2与圆M：(x－1)2＋2＝r2(r>0)有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l.(1)求r；(2)设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距离．97\n14．（2022·湖南卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．【答案】解：(1)解法1：设M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝－3.易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，所以＝x＋5.化简得曲线C1的方程为y2＝20x.解法2：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离．因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线．故其方程为y2＝20x.97\n15．（2022·北京卷）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．97\n16．（2022·课标全国卷）设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；(2)若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．17．（2022·重庆卷）过抛物线y2＝2x的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，若|AB|＝，|AF|＜|BF|，则|AF|＝________.18．（2022·重庆卷）如图1－3，设椭圆的中心为原点O，长轴在x轴上，上顶点为A，左、右焦点分别为97\nF1，F2，线段OF1，OF2的中点分别为B1，B2，且△AB1B2是面积为4的直角三角形．图1－3(1)求该椭圆的离心率和标准方程；(2)过B1作直线l交椭圆于P，Q两点，使PB2⊥QB2，求直线l的方程．19．（2022·天津卷）设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，97\nO为坐标原点．(1)若直线AP与BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率；(2)若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞.20．（2022·山东卷）在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物C的准线的距离为.(1)求抛物线C的方程；(2)是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M97\n的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点M的横坐标为，直线l2：y＝kx＋与抛物线C有两个不同的交点A，B，l与圆Q有两个不同的交点D，E，求当≤k≤2时，|AB|2＋|DE|2的最小值．97\n97\n21．（2022·湖南卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．【答案】解：(1)解法1：设M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝－3.易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，所以＝x＋5.化简得曲线C1的方程为y2＝20x.解法2：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离．因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线．故其方程为y2＝20x.(2)证明：当点P在直线x＝－4上运动时，P的坐标为(－4，y0)，又y0≠±3，则过P且与圆C2相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y－y0＝k(x＋4)，即kx－y＋y097\n＋4k22．(2022·湖北卷)设A是单位圆x2＋y2＝1上的任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足|DM|＝m|DA|(m>0，且m≠1)．当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；(2)过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H.是否存在m，使得对任意的k>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)如图(1)，设M(x，y)，A(x0，y0)，则由|DM|＝m|DA|(m＞0，且m≠1)，可得x＝x0，|y|＝m|y0|，所以x0＝x，|y0|＝|y|.①因为点A在单位圆上运动，所以x＋y＝1.②97\n将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2＋＝1(m＞0，且m≠1)．因为m∈(0,1)∪(1，＋∞)，所以故(x1－x2)(x1＋x2)≠0.于是由③式可得＝－m2.④97\n又Q，N，H三点共线，所以kQN＝kQH，即＝.于是由④式可得kPQ·kPH＝·＝·＝－.而PQ⊥PH等价于kPQ·kPH＝－1，即－＝－1，又m＞0，得m＝，故存在m＝，使得在其对应的椭圆x2＋＝1上，对任意的k＞0，都有PQ⊥PH.23．（2022·湖北卷）如图1－5所示，双曲线－＝1(a，b>0)的两顶点为A1，A2，虚轴两端点为B1，B2，两焦点为F1，F2.若以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，切点分别为A，B，C，D.则(1)双曲线的离心率e＝________；(2)菱形F1B1F2B2的面积S1与矩形ABCD的面积S2的比值＝________.97\n24．（2022·广东卷）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q(0,2)的距离的最大值为3.(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C上，是否存在点M(m，n)，使得直线l：mx＋ny＝1与圆O：x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．97\n25．（2022·北京卷）已知曲线C：(5－m)x2＋(m－2)y2＝8(m∈R)．(1)若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2)设m＝4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线y＝kx＋4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y＝1与直线BM交于点G.求证：A，G，N三点共线．97\n26．（2022·安徽卷）如图1－5，点F1(－c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作直线PF2的垂线交直线x＝于点Q.(1)如果点Q的坐标是(4,4)，求此时椭圆C的方程；(2)证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．97\n图1－5解得x＝－c，y＝，97\n所以直线PQ与椭圆C只有一个交点．27．（2022·北京卷）在直角坐标系xOy中，直线l过抛物线y2＝4x的焦点F，且与该抛物线相交于A，B两点，其中点A在x轴上方，若直线l的倾斜角为60°，则△OAF的面积为________．28．（2022·福建卷）如图1－4，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．图1－4【答案】解：解法一：(1)因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，所以4a＝8，a＝2.又因为e＝，即＝，所以c＝1，所以b＝＝.故椭圆E的方程是＋＝1.(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.97\n因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.由得Q(4,4k＋m)．假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．设M(x1,0)，则·＝0对满足(*)式的m、k恒成立．因为＝，＝(4－x1,4k＋m)，由·＝0，得－＋－4x1＋x＋＋3＝0，整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0.(**)由于(**)式对满足(*)式的m，k恒成立，所以解得x1＝1.故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.解法二：(1)同解法一．(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(*)此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以P.由得Q(4,4k＋m)．假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上．取k＝0，m＝，此时P(0，)，Q(4，)，以PQ为直径的圆为(x－2)2＋(y－)2＝4，交x轴于点M1(1,0)，M2(3,0)；取k＝－，m＝2，此时P，Q(4,0)，以PQ为直径的圆为2＋2＝，交x轴于点M3(1,0)，M4(4,0)．所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0)．以下证明M(1,0)就是满足条件的点：因为M的坐标为(1,0)，所以＝，＝(3,4k＋m)，从而·＝－－3＋＋3＝0，故恒有⊥，即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M.29．（2022·课标全国卷）设抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F97\n为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点．(1)若∠BFD＝90°，△ABD的面积为4，求p的值及圆F的方程；(2)若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．【答案】解：(1)由已知可得△BFD为等腰直角三角形，|BD|＝2p，圆F的半径|FA|＝p.由抛物线定义可知A到l的距离d＝|FA|＝p.因为△ABD的面积为4，所以|BD|·d＝4，即·2p·p＝4，解得p＝－2(舍去)，p＝2.所以F(0,1)，圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.(2)因为A，B，F三点在同一直线m上，所以AB为圆F的直径，∠ADB＝90°.由抛物线定义知|AD|＝|FA|＝|AB|，所以∠ABD＝30°，m的斜率为或－.当m的斜率为时，由已知可设n：y＝x＋b，代入x2＝2py得x2－px－2pb＝0.由于n与C只有一个公共点，故Δ＝p2＋8pb＝0.解得b＝－.因为m的截距b1＝，＝3，所以坐标原点到m，n距离的比值为3.当m的斜率为－时，由图形对称性可知，坐标原点到m，n距离的比值为3.30．（2022·课标全国卷）设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为(　　)A．1－ln2B.(1－ln2)C．1＋ln2D.(1＋ln2)【答案】B　【解析】因为y＝ex和y＝ln(2x)互为反函数，关于直线y＝x对称，所以当曲线y＝ex和y＝ln(2x)的切线的斜率都为1时，两条切线间的距离即为|PQ|的最小值．令y′＝ex＝1，得x＝ln2.所以y＝ex的斜率为1的切线的切点是(ln2,1)，所以切点(ln2,1)到直线y＝x的距离为d＝＝97\n.所以|PQ|min＝2d＝2＝(1－ln2)．故选B.31．（2022·辽宁卷）如图1－7，椭圆C0：＋＝1(a＞b＞0，a，b为常数)，动圆C1：x2＋y2＝t，b＜t1＜a.点A1，A2分别为C0的左，右顶点．C1与C0相交于A，B，C，D四点．图1－7(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；(2)设动圆C2：x2＋y2＝t与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b＜t2＜a，t1≠t2.若矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等．证明：t＋t为定值．因此t＋t＝a2＋b2为定值．32．（2022·浙江卷）如图1－6，椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，其左焦点到点P(2,1)的距离为.不过原点O的直线l与C相交于A，B两点，且线段AB被直线OP平分．97\n(1)求椭圆C的方程；(2)求△ABP面积取最大值时直线l的方程．图1－6【答案】解：(1)设椭圆左焦点为F(－c,0)，则由题意得得所以椭圆方程为＋＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M.当直线AB与x轴垂直时，直线AB的方程为x＝0，与不过原点的条件不符，舍去．故可设直线AB的方程为y＝kx＋m(m≠0)，由消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，①则Δ＝64k2m2－4(3＋4k2)(4m2－12)＞0，97\n33．（2022·江西卷）已知三点O(0,0)，A(－2,1)，B(2，1)，曲线C上任意一点M(x，y)满足|＋|＝·(＋)＋2.(1)求曲线C的方程；(2)动点Q(x0，y0)(－2<x0<2)在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为l，问：是否存在定点P(0，t)(t<0)，使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△PDE的面积之比是常数？若存在，求t的值；若不存在，说明理由．【答案】解：(1)由＝(－2－x,1－y)，＝(2－x,1－y)，得|＋|＝，97\n·(＋)＝(x，y)·(0,2)＝2y，由已知得＝2y＋2，化简得曲线C的方程：x2＝4y.(2)假设存在点P(0，t)(t<0)满足条件，则直线PA的方程是y＝x＋t，PB的方程是y＝x＋t.曲线C在Q处的切线l的方程是y＝x－，它与y轴交点为F.由于－2<x0<2，因此－1<<1.①当－1<t<0时，－1<<－，存在x0∈(－2,2)使得＝，即l与直线PA平行，故当－1<t<0时不符合题意．②当t≤－1时，≤－1<，≥1>，所以l与直线PA，PB一定相交．分别联立方程组解得D，E的横坐标分别是xD＝，xE＝，则xE－xD＝(1－t).又|FP|＝－－t，有S△PDE＝·|FP|·|xE－xD|＝·.又S△QAB＝·4·＝，于是＝·＝·.对任意x0∈(－2,2)，要使为常数，则t要满足解得t＝－1，此时＝2，故存在t＝－1，使△QAB与△PDE的面积之比是常数2.34．（2022·江苏卷）如图1－6，在平面直角坐标系xOy中，椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)．已知点(1，e)和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．97\n(1)求椭圆的方程；(2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2和BF1交于点P.(i)若AF1－BF2＝，求直线AF1的斜率；(ii)求证：PF1＋PF2是定值．97\n从而PF1＝(2－BF2)．同理PF2＝(2－AF1)．因此，PF1＋PF2＝(2－BF2)＋(2－AF1)＝2－.又由①②知AF1＋BF2＝，AF1·BF2＝，所以PF1＋PF2＝2－＝.因此，PF1＋PF2是定值．35．（2022·福建卷）已知双曲线－＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(　　)A.B．4C．3D．5【答案】A　【解析】由抛物线方程知抛物线的焦点坐标F(3,0)，所以双曲线方程中半焦距c＝3.因为双曲线的焦点为F(c,0)，双曲线的渐近线方程为：y＝±x，焦点到渐近线的距离d＝＝b，所以双曲线的焦点到渐近线的距离为b.因为双曲线方程中a＝2，c＝3，所以b＝＝＝.36．（2022·四川卷）如图1－7所示，动点M与两定点A(－1,0)、B(2,0)构成△MAB，且∠MBA＝2∠MAB，设动点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)设直线y＝－2x＋m与y轴相交于点P，与轨迹C相交于点Q、R，且|PQ|＜|PR|，求的取值范围．图1－7【答案】解：(1)设M的坐标为(x，y)，显然有x>0，且y≠0.当∠MBA＝90°时，点M的坐标为(2，±3)．当∠MBA≠90°时，x≠2，由∠MBA＝2∠MAB，有tan∠MBA＝，97\n即－＝.化简可得，3x2－y2－3＝0.而点(2，±3)在曲线3x2－y2－3＝0上，37．（2022·湖南卷）在直角坐标系xOy中，曲线C1上的点均在圆C2：(x－5)2＋y2＝9外，且对C1上任意一点M，M到直线x＝－2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值．(1)求曲线C1的方程；(2)设P(x0，y0)(y0≠±3)为圆C2外一点，过P作圆C2的两条切线，分别与曲线C1相交于点A，B和C，D.证明：当P在直线x＝－4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．【答案】解：(1)解法1：设M的坐标为(x，y)，由已知得|x＋2|＝－3.易知圆C2上的点位于直线x＝－2的右侧，于是x＋2＞0，所以＝x＋5.化简得曲线C1的方程为y2＝20x.解法2：由题设知，曲线C1上任意一点M到圆心C2(5,0)的距离等于它到直线x＝－5的距离．因此，曲线C1是以(5,0)为焦点，直线x＝－5为准线的抛物线．故其方程为y2＝20x.(2)证明：当点P在直线x＝－4上运动时，P的坐标为(－4，y0)，又y0≠±3，则过P且与圆C297\n相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为y－y0＝k(x＋4)，即kx－y＋y0＋4k＝0.于是＝3.整理得72k2＋18y0k＋y－9＝0.　　①设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k1，k2，则k1，k2是方程①的两个实根．故【2022高考真题精选】(2022年高考全国新课标卷理科7)设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为（A）（B）（C）2（D）3答案：B解析：由题意知，为双曲线的通径，所以，，又，故选B.97\n(2022年高考浙江卷理科8)已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】由恰好将线段AB三等分得，由又，故选C(2022年高考安徽卷理科2)双曲线的实轴长是（A）2(B)(C)4(D)4(2022年高考陕西卷理科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为，则抛物线的方程是（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】设抛物线方程为，则准线方程为于是(2022年高考全国卷理科10)已知抛物线C：的焦点为F，直线与C交于A，B两点．则=(A)(B)(C)(D)97\n(2022年高考江西卷理科14)若椭圆的焦点在轴上，过点（1，）作圆的切线，切点分别为A,B，直线恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是(2022年高考全国新课标卷理科14)在平面直角坐标系中，椭圆的中心为原点，焦点在轴上，离心率为。过的直线交于两点，且的周长为16，那么的方程为。答案:解析：由椭圆的的定义知，，又因为离心率，因此，所求椭圆方程为：；(2022年高考重庆卷理科15)设圆位于抛物线与直线所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆的半径能取到的最大值为解析：。为使圆的半径取到最大值，显然圆心应该在x轴上且与直线相切，设圆97\n的半径为，则圆的方程为，将其与联立得：，令，并由，得：(2022年高考四川卷理科14)双曲线P到左准线的距离是.答案：16解析：由双曲线第一定义，|PF1|-|PF2|=±16，因|PF2|=4，故|PF1|=20，（|PF1|=-12舍去），设P到左准线的距离是d，由第二定义，得，解得.(2022年高考全国卷理科15)已知F1、F2分别为双曲线C:-=1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2∠的平分线．则|AF2|=.【答案】6【解析】，由角平分线的性质得又(2022年高考安徽卷理科21)（本小题满分13分）设，点的坐标为（1,1），点在抛物线上运动，点满足，经过点与轴垂直的直线交抛物线于点，点满足,求点的轨迹方程97\n，即，因为，等式两边同时约去得这就是所求的点的轨迹方程。(2022年高考浙江卷理科21)（本题满分15分）已知抛物线:，圆:的圆心为点M（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂直于AB，求直线的方程97\n，由得解得点的坐标为直线的方程为.(2022年高考广东卷理科19)设圆C与两圆中的一个内切，另一个外切.（1）求C的圆心轨迹L的方程.（2）已知点且P为L上动点，求的最大值及此时点P的坐标.97\n，若P不在直线MF上，在中有故只在T1点取得最大值2。(2022年高考陕西卷理科17)（本小题满分12分）如图，设是圆珠笔上的动点，点D是在轴上的投影，M为D上一点，且97\n（Ⅰ）当的在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的长度。(2022年高考重庆卷理科20)（本小题满分12分，第一问4分，第二问8分）如图（20），椭圆的中心为原点O，离心率，一条准线的方程为。（Ⅰ）求该椭圆的标准方程。（Ⅱ）设动点P满足,其中M,N是椭圆上的点。直线OM与ON的斜率之积为。问：是否存在两个定点，使得为定值。若存在，求的坐标；若不存在，说明理由。97\n(2022年高考四川卷理科21)(本小题共l2分)椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．(I)当|CD|=时，求直线l的方程；(II)当点P异于A、B两点时，求证：为定值.97\n(2022年高考全国卷理科21)已知O为坐标原点，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为的直线与C交与A、B两点，点P满足(Ⅰ)证明：点P在C上；（Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上.【解析】：(Ⅰ)证明：由，，由设，，97\n，，故点P在C上（Ⅱ）法一：点P，P关于点O的对称点为Q，，，即，同理即，A、P、B、Q四点在同一圆上.法二：由已知有则的中垂线为：设、的中点为∴∴则的中垂线为：则的中垂线与的中垂线的交点为∴到直线的距离为∴即97\n∴、、、四点在同一圆上。(2022年高考北京卷理科19)（本小题共14分）已知椭圆.过点（m,0）作圆的切线I交椭圆G于A，B两点.（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将表示为m的函数，并求的最大值.97\n【2022年高考真题精选】（2022浙江理数）（8）设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（A）（B）（C）（D）解析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系。答案：C97\n（2022全国卷2理数）（12）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则（A）1（B）（C）（D）2【答案】B【解析】设直线l为椭圆的有准线，e为离心率，过A，B分别作AA1，BB1垂直于l，A1，B为垂足，过B作BE垂直于AA1与E，由第二定义得，，由，得，∴即k=，故选B.（2022辽宁理数）(9)设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(A)(B)(C)(D)（2022辽宁理数）(7)设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=(A)(B)8(C)(D)16【答案】B【解析】抛物线的焦点F（2，0），直线AF的方程为，所以点、，从而|PF|=6+2=897\n（2022重庆理数）（10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是A.直线B.椭圆C.抛物线D.双曲线解析：排除法轨迹是轴对称图形，排除A、C，轨迹与已知直线不能有交点，排除B答案：D（2022四川理数）（9）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（A）（B）（C）（D）（2022天津理数）(5)已知双曲线的一条渐近线方程是y=,它的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为97\n（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题。依题意知，所以双曲线的方程为（2022山东理数）(7)由曲线y=,y=围成的封闭图形面积为（A）(B)(C)(D)【答案】A【解析】由题意得:所求封闭图形的面积为,故选A。（2022安徽理数）5、双曲线方程为，则它的右焦点坐标为A、B、C、D、【答案】C【解析】双曲线的，，，所以右焦点为.（2022湖北理数）9.若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是A.B.C.D.【答案】C97\n【解析】曲线方程可化简为，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，解得，因为是下半圆故可得（舍），当直线过（0，3）时，解得b=3,故所以C正确.（2022福建理数）7．若点O和点分别是双曲线的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则的取值范围为()A．B．C．D．（2022福建理数）2．以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为()A．B．C．D．【答案】D【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为（1，0），即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即，选D。（2022浙江理数）（13）设抛物线的焦点为，点.若线段的中点在抛物线上，则到该抛物线准线的距离为_____________。97\n解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p的值为，B点坐标为（）所以点B到抛物线准线的距离为，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易题（2022全国卷2理数）（15）已知抛物线的准线为，过且斜率为的直线与相交于点，与的一个交点为．若，则．（2022江西理数）15.点在双曲线的右支上，若点A到右焦点的距离等于，则=【答案】2【解析】考查圆锥曲线的基本概念和第二定义的转化，读取a=2.c=6,,（2022重庆理数）(14)已知以F为焦点的抛物线上的两点A、B满足,则弦AB的中点到准线的距离为___________.解析：设BF=m,由抛物线的定义知中，AC=2m,AB=4m,直线AB方程为与抛物线方程联立消y得所以AB中点到准线距离为97\n（2022江苏卷）6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线上一点M，点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是___▲_______答案：4解析：考查双曲线的定义。，为点M到右准线的距离，=2，MF=4。（2022浙江理数）(21)（本题满分15分）已知m＞1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点.（Ⅰ）当直线过右焦点时，求直线的方程；（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围.解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。（Ⅰ）解：因为直线经过，所以,得，又因为，所以，故直线的方程为。（Ⅱ）解：设。97\n由，消去得则由，知，97\n又因为且所以。所以的取值范围是。（2022辽宁理数）(20)（本小题满分12分）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.（1）求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程.（2022江西理数）97\n21.（本小题满分12分）设椭圆，抛物线。（1）若经过的两个焦点，求的离心率；（2）设A（0，b），,又M、N为与不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为，且△QMN的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：，由。(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设,由的垂心为B，有。由点在抛物线上，，解得：故，得重心坐标.由重心在抛物线上得：，，又因为M、N在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为。（2022北京理数）（19）（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△97\nPMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。97\n故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.解法二：若存在点使得与的面积相等，设点的坐标为则.因为,所以所以即，解得因为，所以故存在点S使得与的面积相等，此时点的坐标为.（2022四川理数）（20）（本小题满分12分）已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.【解析】解：(1)设P(x,y)，则化简得x2－=1(y≠0)………………………………………………………………4分(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)与双曲线x2－=1联立消去y得(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝097\n由题意知3－k2≠0且△＞0设B(x1,y1),C(x2,y2)，则97\n综上＝0，即FM⊥FN故以线段MN为直径的圆经过点F………………………………………………12分（2022天津理数）（20）（本小题满分12分）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值【解析】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力，满分12分（1）解：由，得，再由，得由题意可知，解方程组得a=2,b=1所以椭圆的方程为(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去Y并整理，得由得97\n（2022江苏卷）18、（本小题满分16分）在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m>0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。【解析】本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。97\n（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得化简得。故所求点P的轨迹为直线。（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，即，直线NTB方程为：，即。联立方程组，解得：，所以点T的坐标为。（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB方程为：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。（方法一）当时，直线MN方程为：令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。（方法二）若，则由及，得，97\n此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。若，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。【2022年高考真题精选】1．(2022·山东理)设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为()．A．B．5C．D．（2022·宁夏海南理）双曲线-=1的焦点到渐近线的距离为（A）（B）2（C）（D）197\n解析：双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线的距离为,选A答案：A（2022·天津理）设抛物线=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，=2，则BCF与ACF的面积之比=（A）（B）（C）（D）（2022··浙江理）过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为．若，则双曲线的离心率是()97\nA．B．C．D．答案：C解析：对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，，则有，因．（2022·宁夏海南理）设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点。若AB的中点为（2，2），则直线的方程为_____________．（2022·天津理）若圆与圆（a>0）的公共弦的长为，则___________。答案：1解析：由知的半径为，由图可知解之得(2022·山东理)（本小题满分14分）设椭圆E:（a,b>0）过M（2，），N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。97\n,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上,存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且．97\n因为,所以,,①当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”．②当时,．③当AB的斜率不存在时,两个交点为或,所以此时,综上,|AB|的取值范围为即:（2022·广东理）（本小题满分14分）已知曲线与直线交于两点和，且．记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为．设点是上的任一点，且点与点和点均不重合．97\n（1）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；（2）若曲线与有公共点，试求的最小值．【解析】解：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，∴化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为（）．xAxBD（2）曲线，即圆：，其圆心坐标为，半径由图可知，当时，曲线与点有公共点；当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为．（2022·安徽理）（本小题满分13分）点在椭圆上，直线与直线垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为，直线的倾斜角为．（I）证明:点是椭圆与直线的唯一交点；（II）证明:构成等比数列．97\n【解析】解：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。解：（I）（方法一）由得代入椭圆,得．将代入上式,得从而因此,方程组有唯一解,即直线与椭圆有唯一交点P．（2022·福建理19）（本小题满分13分）已知A,B分别为曲线C：+=1（y0,a>0）与x轴97\n的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T．(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。97\n（2022·辽宁理）（本小题满分12分）已知，椭圆C过点A，两个焦点为（－1，0），（1，0）。（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。【解析】解：（Ⅰ）由题意，c=1,可设椭圆方程为，解得，（舍去）所以椭圆方程为。……………4分（Ⅱ）设直线AE方程为：，代入得97\n（2022·宁夏海南理）（本小题满分12分）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。97\n（2022·天津理）（本小题满分14分）以知椭圆的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交与两点，且。（1）求椭圆的离心率；（2）求直线AB的斜率；（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点在97\n的外接圆上，求的值由已知设，则它们的坐标满足方程组消去y整理，得．依题意，而①②由题设知，点B为线段AE的中点，所以③联立①③解得，将代入②中，解得．(III)解法一：由（II）可知当时，得，由已知得．97\n【2022年高考真题精选】（2022·海南、宁夏理）已知点P在抛物线上，那么点P到点的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A．B．C．D．解析：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图,故最小值在97\n三点共线时取得，此时的纵坐标都是，所以选A。（点坐标为）答案：A（2022·山东理）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26．若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为（A）(B)(C)(D)解析：本题考查椭圆、双曲线的标准方程。对于椭圆，曲线为双曲线，，标准方程为：答案：A（2022·山东理）已知圆的方程为x2+y2-6x-8y＝0．设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（A）10　　　　　　　（B）20　　　　　　　　（C）30　　　　　　　（D）40解析：本题考查直线与圆的位置关系。，过点的最长弦为最短弦为答案：B（2022·广东）经过圆的圆心，且与直线垂直的直线方程是．解析：易知点C为，而直线与垂直，我们设待求的直线的方程为97\n，将点C的坐标代入马上就能求出参数的值为，故待求的直线的方程为。答案：（2022·江苏）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：。（2022·江苏）在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=　▲　　。（2022·海南、宁夏理）设双曲线的右顶点为A，右焦点为F．过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为　　　　　　．解析：双曲线的右顶点坐标，右焦点坐标，设一条渐近线方程为，97\n建立方程组，得交点纵坐标，从而答案：AyxOBGFF1（2022·广东）设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．97\n（2022·山东理）如图，设抛物线方程为x2=2py(p＞0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．（Ⅰ）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（Ⅱ）已知当M点的坐标为（2，-2p）时，，求此时抛物线的方程；（Ⅲ）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线上，其中，点C满足（O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由．97\n②由①、②得因此，即所以A、M、B三点的横坐标成等差数列．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当x0=2时，将其代入①、②并整理得：　　　　　　　所以　x1、x2是方程的两根，因此又97\n所以由弦长公式得　　　　又，所以p=1或p=2，因此所求抛物线方程为或（Ⅲ）解：设D(x3,y3)，由题意得C(x1+x2,y1+y2),则CD的中点坐标为　设直线AB的方程为　由点Q在直线AB上，并注意到点也在直线AB上，　代入得　若D（x3,y3）在抛物线上，则　因此　x3=0或x3=2x0．即D(0，0)或（1）当x0=0时，则，此时，点M(0,-2p)适合题意．（2）当，对于D(0，0)，此时　　又AB⊥CD，所以即矛盾．97\n对于因为此时直线CD平行于y轴，又所以直线AB与直线CD不垂直，与题设矛盾，所以时，不存在符合题意的M点．综上所述，仅存在一点M(0，-2p)适合题意．（2022山东文）已知曲线所围成的封闭图形的面积为，曲线的内切圆半径为．记为以曲线与坐标轴的交点为顶点的椭圆．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设是过椭圆中心的任意弦，是线段的垂直平分线．是上异于椭圆中心的点．（1）若（为坐标原点），当点在椭圆上运动时，求点的轨迹方程；（2）若是与椭圆的交点，求的面积的最小值．解析：（Ⅰ）由题意得又，解得，．因此所求椭圆的标准方程为．（Ⅱ）（1）假设所在的直线斜率存在且不为零，设所在直线方程为，．解方程组得，，97\n所以．设，由题意知，所以，即，因为是的垂直平分线，所以直线的方程为，97\n，（2022海南、宁夏理）在直角坐标系xOy中，椭圆C1：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，97\nF2．F2也是抛物线C2：的焦点，点M为C1与C2在第一象限的交点，且｜MF2｜=．（Ⅰ）求C1的方程；（Ⅱ）平面上的点N满足，直线l∥MN，且与C1交于A，B两点，若，求直线l的方程．97\n故所求直线的方程为，或．【最新模拟】1．（2022·江西重点中学调研）已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，|Ax1＋By1＋C|>|Ax2＋By2＋C|，则(　　)A．直线l与直线P1P2不相交B．直线l与线段P2P1的延长线相交C．直线l与线段P1P2的延长线相交D．直线l与线段P1P2相交【答案】C　【解析】因为(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，所以P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l同侧，又|Ax1＋By1＋C|>|Ax2＋By2＋C|，所以P1(x1，y1)到直线l的距离大于P2(x2，y2)到直线l的距离，所以直线l与线段P1P2的延长线相交．2．（2022·温州模拟）已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为(　　)A．4B．2C．2D.【答案】C　【解析】因为四边形PACB的最小面积是2，此时切线长为2，圆心到直线的距离为，d＝＝，k＝2.3．（2022·洛阳模拟）设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若＝2，且·＝1，则点P的轨迹方程是(　　)A.x2＋3y2＝1(x>0，y>0)B.x2－3y2＝1(x>0，y>0)C．3x2－y2＝1(x>0，y>0)D．3x2＋y2＝1(x>0，y>0)4．（2022·辽宁省本溪一中模拟）椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，弦AB过F1，若△ABF297\n的内切圆周长为π，A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则|y1－y2|值为________．5．（2022·许昌一中模拟）设F1、F2分别是双曲线x2－＝1的左、右焦点．若点P在双曲线上，且·＝0，则|＋|＝(　　)A．2B.C．4D．2【答案】D　【解析】根据已知△PF1F2是直角三角形，向量＋＝2，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出.·＝0，则|＋|＝2||＝||＝2.6.椭圆的中心在原点，焦距为，一条准线为，则该椭圆的方程为()A．B.C.D.7.已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为，P到直线的距离为，则的最小值()A．B．C．D．【答案】D【解析】因为抛物线的方程为，所以焦点坐标,准线方程为。因为点到轴的距离为，所以到准线的距离为，又,所以，焦点到直线的距离，而，所以97\n，选D.8.若在曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”。下列方程：①；②，③；④对应的曲线中存在“自公切线”的有（）A．①②B．②③C．①④D．③④9.已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，若是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A．B．C．D．10.在抛物线上取横坐标为的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆相切，则抛物线顶点的坐标为（）A．B．C．D．97\n【答案】A11.已知双曲线的两条渐近线均与相切，则该双曲线离心率等于A．B．C．D．12.已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在点P使，则该椭圆的离心率的取值范围为（）A.（0，B.（）C.（0，）D.（，1）【答案】D97\n【解析】根据正弦定理得，所以由可得，即，所以，又，即，因为，(不等式两边不能取等号，否则分式中的分母为0，无意义)所以，即，所以，即，所以，解得，即，选D.13.过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知点P的坐标为（-c,）,或（-c,-），因为，那么，这样根据a,b,c的关系式化简得到结论为，选B。14.设、分别为双曲线的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为A．B．C．D．97\n15.椭圆的焦点为，点在椭圆上，若，的小大为．【答案】【解析】椭圆的，，所以。因为，所以，所以。所以,所以。16.若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则=.【答案】【解析】因为焦点在轴上。所以，所以。椭圆的离心率为，所以，解得。17.已知点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是（4，a），则当时，的最小值是。97\n坐标为,所以，即的最小值为，所以的最小值为。18.过椭圆左焦点，倾斜角为的直线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为97\n19.如图4，椭圆的中心在坐标原点，F为左焦点，A，B分别为长轴和短轴上的一个顶点，当FB⊥AB时，此类椭圆称为“黄金椭圆”．类比“黄金椭圆”，可推出“焚金双曲线”的离心率为。【答案】【解析】由图知，，整理得，即，解得，故.20．（2022·银川一中模拟）设抛物线C：y2＝16x的焦点为F，过点Q(－4,0)的直线l与抛物线C相交于A，B两点，若|QA|＝2|QB|，则直线l的斜率k＝________.【答案】±　【解析】设直线l方程为x＝my－4，代入抛物线C：y2＝16x得y2－16my＋64＝0.97\n设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由|QA|＝2|QB|；得y1＝2y2，y1＋y2＝16m，y1y2＝64，得m＝±，k＝±.21．（2022·安阳模拟）以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线，若一条双曲线与它的共轭双曲线的离心率分别是e1，e2，则当它们的实轴、虚轴都在变化时，e＋e的最小值是________．【答案】4　【解析】e＝，e＝，则e＋e＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4(当且仅当a＝b时等号成立)．22．（2022·郑州质检）设椭圆M：＋＝1(a>)的右焦点为F1，直线l：x＝与x轴交于点A，若＋2＝0(其中O为坐标原点)．(1)求椭圆M的方程；(2)设P是椭圆M上的任意一点，EF为圆N：x2＋(y－2)2＝1的任意一条直径(E，F为直径的两个端点)，求·的最大值．97\n23.已知椭圆的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知动直线与椭圆相交于、两点．①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；②若点，求证：为定值．97\n24.如图所示，已知椭圆和抛物线有公共焦点,的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于两点（1）写出抛物线的标准方程；（2）若，求直线的方程；（3）若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值.【答案】解：（1）(2)设97\n97