第3讲 不等式和绝对值不等式分层A级 基础达标演练(时间：40分钟 满分：80分)1．求不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集．解 令：f(x)＝|x－8|－|x－4|＝当x≤4时，f(x)＝4＞2；当4＜x≤8时，f(x)＝－2x＋12＞2，得x＜5，∴4＜x＜5；当x＞8时，f(x)＝－4＞2不成立．故原不等式的解集为：{x|x＜5}．2．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，求实数k的取值范围．解 ∵|x－1|＋|x|≥|x－1－x|＝1，∴当k＜1时，不等式|x－1|＋|x|≤k无解，故k＜1.3．(2022·佛山质检)求不等式|x＋1|＋|2x－4|>6的解集．解 由题意知，原不等式可化为：或或解得x>3或x<－1，∴x∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．4．(2022·福建卷)设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解 (1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1，所以M＝{x|0＜x＜1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0，故ab＋1＞a＋b.5．(2022·天津改编)已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝{x∈R|x＝4t＋－6，t∈(0，＋∞)}，求集合A∩B.解 |x＋3|＋|x－4|≤9，当x<－3时，－x－3－(x－4)≤9，即－4≤x<－3；当－3≤x≤4时，x＋3－(x－4)＝7≤9恒成立；当x>4时，x＋3＋x－4≤9，即4<x≤5.综上所述，A＝{x|－4≤x≤5}．4\n又∵x＝4t＋－6，t∈(0，＋∞)，∴x≥2－6＝－2，当t＝时取等号．∴B＝{x|x≥－2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤5}．6．(2022·郑州二检)不等式|x＋1|－|x－2|>k的解集为R，求实数k的取值范围．解 法一 根据绝对值的几何意义，设数x，－1,2在数轴上对应的点分别为P、A、B，则原不等式等价于PA－PB>k恒成立．∵AB＝3，即|x＋1|－|x－2|≥－3.故当k<－3时，原不等式恒成立．法二 令y＝|x＋1|－|x－2|，则y＝－|x－2|>k恒成立，从图象中可以看出，只要k<－3即可．故k<－3满足题意．7．(2022·辽宁)已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．(1)证明 f(x)＝|x－2|－|x－5|＝当2<x<5时，－3<2x－7<3.所以－3≤f(x)≤3.(2)解 由(1)可知，当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；当2<x<5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x<5}；当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－≤x≤6}．8．已知不等式|x＋1|－|x－3|>a.(1)若不等式有解；(2)不等式的解集为R；4\n(3)不等式的解集为∅，分别求出a的取值范围．解 法一 因为|x＋1|－|x－3|表示数轴上的点P(x)与两定点A(－1)，B(3)距离的差，即|x＋1|－|x－3|＝PA－PB.由绝对值的几何意义知，PA－PB的最大值为AB＝4，最小值为－AB＝－4，即－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.(1)若不等式有解，a只要比|x＋1|－|x－3|的最大值小即可，故a<4.(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，只要a比|x＋1|－|x－3|的最小值还小，即a<－4.(3)若不等式的解集为∅，a只要不小于|x＋1|－|x－3|的最大值即可，即a≥4.法二 由|x＋1|－|x－3|≤|x＋1－(x－3)|＝4.|x－3|－|x＋1|≤|(x－3)－(x＋1)|＝4.可得－4≤|x＋1|－|x－3|≤4.(1)若不等式有解，则a<4；(2)若不等式的解集为R，则a<－4；(3)若不等式解集为∅，则a≥4.分层B级 创新能力提升1．(2022·皖南八校联考)不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．解 由绝对值的几何意义易知：|x＋3|＋|x－1|的最小值为4，所以不等式|x＋3|＋|x－1|≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.2．(2022·陕西卷)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，求实数a的取值范围．解 ∵f(x)＝|x＋1|＋|x－2|＝∴f(x)≥3.要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，∴|a|≥3，即a≤－3或a≥3.3．(2022·苏中三市调研)若关于x的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1在R上的解集为∅，求实数a的取值范围．解 要使不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1在R上的解集为∅，则a2－2a－1<(|x－1|＋|x－3|)min.又(|x－1|＋|x－3|)min＝2，∴a2－2a－1<2，即a2－2a－3<0，∴－1<a<3.4．(2022·南京四校调研)已知一次函数f(x)＝ax－2.(1)当a＝3时，解不等式|f(x)|<4；(2)解关于x的不等式|f(x)|<4；4\n(3)若不等式|f(x)|≤3对任意x∈[0,1]恒成立，求实数a的取值范围．解 (1)当a＝3时，则f(x)＝3x－2，∴|f(x)|<4⇔|3x－2|<4⇔－4<3x－2<4⇔－2<3x<6⇔－<x<2，∴不等式的解集为.(2)|f(x)|<4⇔|ax－2|<4⇔－4<ax－2<4⇔－2<ax<6，当a>0时，不等式的解集为；当a<0时，不等式的解集为.(3)|f(x)|≤3⇔|ax－2|≤3⇔－3≤ax－2≤3⇔－1≤ax≤5⇔∵x∈[0,1]，∴当x＝0时，不等式组恒成立；当x≠0时，不等式组转化为.又∵≥5，≤－1，∴－1≤a≤5且a≠0.5．(2022·辽宁)已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．(1)求a的值；(2)若≤k恒成立，求k的取值范围．解 (1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意．当a>0时，－≤x≤，得a＝2.(2)记h(x)＝f(x)－2f，则h(x)＝所以|h(x)|≤1，因此k≥1.故k的取值范围是[1，＋∞)．4
