小题专项集训(十一) 不等式(时间：40分钟 满分：75分)一、选择题(每小题5分，共50分)1．“a＋c＞b＋d”是“a＞b且c＞d”的( )．A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析 “a＋c＞b＋d”/⇒“a＞b且c＞d”，∴“充分性不成立”，“a＞b且c＞d”⇒“a＋c＞b＋d”．∴必要性成立．答案 A2．不等式≥2的解集是( )．A.B.C.∪(1,3]D.∪(1,3]解析 首先x≠1，在这个条件下根据不等式的性质，原不等式可以化为x＋5≥2(x－1)2，即2x2－5x－3≤0，即(2x＋1)·(x－3)≤0，解得－≤x≤3，故原不等式的解集是∪(1,3]．答案 D3．设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )．A．|a－b|≤|a－c|＋|b－c|B．a2＋≥a＋C．|a－b|＋≥2D.－≤－解析 本题考查了不等式的性质及不等式的证明．∵|a－b|＝|(a－c)＋(c－b)|≤|a－c|＋|b－c|，∴|a－b|≤|a－c|＋|b－c|恒成立；∵a2＋－＝≥0，∴a2＋≥a＋恒成立；4\n∵当a>b时，有|a－b|＋≥2成立；当a≤b时，|a－b|＋≥2不一定成立，故应选C.可以证明不等式－≤－也恒成立．答案 C4．(2022·济宁模拟)设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则不等式f(－x)<6的解集是( )．A．{x|－2<x<3}B．{x|－3<x<2}C．{x|x>3，或x<－2}D．{x|x>2，或x<－3}解析 由于f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，所以f(x)＝x2＋x，于是f(－x)<6，即x2－x－6<0，解得－2<x<3.答案 A5．若变量x，y满足约束条件则z＝x－2y的最大值是( )．A．4B．3C．2D．1解析 如图，画出约束条件表示的可行域，当直线z＝x－2y经过x＋y＝0与x－y－2＝0的交点A(1，－1)时，z取到最大值3，故选B.答案 B6．不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为( )．A．[－1,4]B．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D．[－2,5]解析 因为x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以要使x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选A.答案 A7．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是( )．A．6B．4C．2D．8解析 2a＋2b≥2＝4，当且仅当2a＝2b，即a＝b时等号成立．故选B.答案 B8．若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax＋by≤1，则以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积是( )．A.B.C．1D.4\n解析 由题意可得，当x＝0时，by≤1恒成立，b＝0时，by≤1显然恒成立；b≠0时，可得y≤恒成立，解得0<b≤1，所以0≤b≤1；同理可得0≤a≤1.所以点P(a，b)确定的平面区域是一个边长为1的正方形，故面积为1.答案 C9．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )．A．2000元B．2200元C．2400元D．2800元解析 设需用甲型货车x辆，乙型货车y辆，由题目条件可得约束条件为目标函数z＝400x＋300y，画图可知，当平移直线400x＋300y＝0过点(4,2)时，z取得最小值2200，故选B.答案 B10．设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则ab的最大值为( )．A．1B.C.D．2解析 不等式组所表示的可行域如图所示，当平行直线系ax＋by＝z过点A(4,6)时，目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值，z最大值＝4a＋6b＝12，∵4a＋6b＝12≥2，∴ab≤.答案 C二、填空题(每小题5分，共25分)11．若关于x的不等式m(x－1)>x2－x的解集为{x|1<x<2}，则实数m的值为________．解析 由不等式的解集知1,2是方程m(x－1)＝x2－x的根，将2代入可得m＝2.答案 212．若正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，则xy的最小值是________．解析 因为正实数x，y满足2x＋y＋6＝xy，所以由基本不等式得xy≥2·＋6(当且仅当x＝3，y＝6时等号成立)，令＝t，得不等式t2－2t－6≥0，解得t≤－(舍去)或t≥3，故xy的最小值为18.答案 184\n13．已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，则z＝2x－3y的取值范围是________．(答案用区间表示)解析 根据已知条件画出可行域(如下图所示)．平移直线3y－2x＝0，当经过A点时，z＝2x－3y取得最大值；当平移到C点时，z＝2x－3y取得最小值，A点坐标满足方程组解得A(1，－2)．C点坐标满足方程组解得C(3,1)，代入直线z＝2x－3y中求得z的最大值为8，最小值为3，所以取值范围为(3,8)．答案 (3,8)14．设常数a>0，若对任意正实数x，y不等式(x＋y)·≥9恒成立，则a的最小值为________．解析 (x＋y)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2＝(＋1)2，当且仅当y＝x时取等号．所以(x＋y)的最小值为(＋1)2，于是(＋1)2≥9，所以a≥4，故a的最小值为4.答案 415．已知实数x，y满足若z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则a的值为________．解析 依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域，如图所示．要使z＝y－ax取得最大值时的最优解(x，y)有无数个，则直线z＝y－ax必平行于直线y－x＋1＝0，于是有a＝1.答案 14
