课时提升作业(三十四)二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题(每小题5分,共25分)1.已知点(-3,-1)和点(4,-6)在直线3x-2y-a=0的两侧,则a的取值范围为( )A.(-24,7)B.(-7,24)C.(-∞,-7)∪(24,+∞)D.(-∞,-24)∪(7,+∞)【解析】选B.根据题意知(-9+2-a)·(12+12-a)<0,即(a+7)(a-24)<0,解得-7<a<24.2.(2022·东莞模拟)若2m+2n<4,则点(m,n)必在( )A.直线x+y-2=0的左下方B.直线x+y-2=0的右上方C.直线x+2y-2=0的右上方D.直线x+2y-2=0的左下方【解析】选A.因为2m+2n≥2·,所以4>2,即2m+n<4,所以m+n<2,即m+n-2<0,所以点(m,n)必在直线x+y-2=0的左下方.3.(2022·岳阳模拟)若实数x,y满足则S=2x+y-1的最大值为( )A.6B.4C.3D.2【解析】选A.作出的可行域将S=2x+y-1变形为y=-2x+S+1,作直线y=-2x平移至点A(2,3)时,S最大,将x=2,y=3代入S=2x+y-1得S=6.-11-\n4.(2022·天津模拟)设变量x,y满足约束条件:则z=x-3y的最小值是( )A.-2B.-4C.-6D.-8【解析】选D.根据题意,画出可行域与目标函数线如图所示,由图可知目标函数在点(-2,2)处取最小值-8.故选D.5.(2022·惠州模拟)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=( )A.B.C.1D.2【解题提示】根据线性约束条件画出可行域,再利用目标函数所表示的几何意义求出a的值.【解析】选B.由已知约束条件,作出可行域如图中△ABC内部及边界部分,-11-\n由目标函数z=2x+y的几何意义为直线l:y=-2x+z在y轴上的截距,知当直线l过可行域内的点B(1,-2a)时,目标函数z=2x+y的最小值为1,则2-2a=1,a=.故选B.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2022·抚顺模拟)若点(x,y)在不等式组表示的平面区域内运动,则t=x-y的取值范围是 .【解析】先根据约束条件画出可行域,由得B(2,0),由得A(0,1),当直线t=x-y过点A(0,1)时,t最小,t最小是-1,当直线t=x-y过点B(2,0)时,t最大,t最大是2,-11-\n则t=x-y的取值范围是[-1,2].答案:[-1,2]7.(2022·衡阳模拟)已知点P(t,2)在不等式组所表示的平面区域内运动,l为过点P和坐标原点O的直线,则l的斜率的取值范围为 .【解析】由不等式组可得所表示的可行域,由图可知:当取点P(1,2)时,直线l的斜率取得最大值,k==2.当取点P(2,2)时,直线l的斜率取得最小值,k==1,故k∈[1,2].答案:[1,2]8.已知实数x,y满足若z=y-ax取得最大值时的最优解(x,y)有无数个,则a= .【解析】依题意,在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域,如图所示.要使z=y-ax取得最大值时的最优解(x,y)有无数个,则直线z=y-ax必平行于直线y-x+1=0,于是有a=1.-11-\n答案:1【误区警示】此题经常出现两种情况:一是找不到解题的思路;二是最优解有无数个,说明目标函数对应的直线和边界平行,容易把边界判断错误导致结果不对.【加固训练】1.某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元.那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?【解析】设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元,则依题意得:z=2.5x+4y,且x,y满足即作出可行域如图,利用平移法可知z的最小值一定在A,B,C,D四点处的某一点处取得.z在可行域的四个顶点A(9,0),B(4,3),C(2,5),D(0,8)处的值分别是-11-\nzA=2.5×9+4×0=22.5,zB=2.5×4+4×3=22,zC=2.5×2+4×5=25,zD=2.5×0+4×8=32.比较之,zB最小,因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.【一题多解】本题还可以使用以下解法:设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元,z=2.5x+4y,且x,y满足即让目标函数表示的直线2.5x+4y=z在可行域上平移,由此可知z=2.5x+4y在(4,3)处取得最小值.因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求.2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c的一个零点为x=1,另外两个零点可分别作为一个椭圆、一个双曲线的离心率.(1)求a+b+c.(2)求的取值范围.【解析】(1)因为f(1)=0,所以a+b+c=-1.(2)因为c=-1-a-b,所以f(x)=x3+ax2+bx-1-a-b=(x-1)[x2+(a+1)x+a+b+1],从而另两个零点为方程x2+(a+1)x+a+b+1=0的两根,且一根大于1,一根大于零小于1,设g(x)=x2+(a+1)x+a+b+1,由根的分布知识画图可得即作出可行域如图所示.-11-\n而=表示可行域中的点(a,b)与原点连线的斜率k,直线OA的斜率k1=-,直线2a+b+3=0的斜率k2=-2,所以k∈（-2,-）,即∈（-2,-）.【方法技巧】线性规划和其他知识的结合 此题利用函数的零点,椭圆和双曲线的离心率来得到a,b的不等关系,构造约束条件,再结合的几何意义求得的范围.3.若⊆{(x,y)|x2+y2≤m2(m>0)},求实数m的范围.【解析】设A=B={(x,y)|x2+y2≤m2(m>0)},则集合A表示的区域为图中阴影部分,集合B表示以坐标原点为圆心,m为半径的圆及其内部,由A⊆B得,m≥|PO|,由解得即P(3,4),-11-\n所以|PO|=5,即m≥5.(20分钟 40分)1.(5分)(2022·山东高考)已知x,y满足约束条件当目标函数z=ax+by(a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为( )A.5B.4C.D.2【解析】选B.解方程组求得交点为,则2a+b=2,a2+b2的最小值即为在直线2a+b=2上找一点,使得它到原点的距离的平方最小.即求点到直线2a+b=2的距离的平方为=22=4.2.(5分)(2022·北京高考)设D为不等式组表示的平面区域,区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 .【解析】不等式组表示的平面区域如图所示,可得点(1,0)到区域D上点的最小距离即是点(1,0)到直线2x-y=0的距离,d==.-11-\n答案:3.(5分)已知点P(x,y)满足定点为A(2,0),则||sin∠AOP(O为坐标原点)的最大值为 .【解析】可行域如图阴影部分所示,A(2,0)在x正半轴上,所以||sin∠AOP即为P点纵坐标.当P位于点B时,其纵坐标取得最大值.答案:4.(12分)设不等式组确定的平面区域为U,确定的平面区域为V.(1)定义坐标为整数的点为“整点”.在区域U内任取一整点Q,求该点在区域V的概率.(2)在区域U内任取一点M,求该点在区域V的概率.【解题提示】(1)由题意知本题是一个古典概型,用列举法求出平面区域U的整点的个数,平面区域U,V的公共部分的整点个数,即可求出该点在区域V的概率.(2)由题意知,该题是一个几何概型,利用所给的约束条件确定面积,利用面积之比得到概率.-11-\n【解析】(1)由题意,区域U内共有15个整点,区域U,V的公共部分共有9个整点,设点Q在区域V的概率为P(Q),则P(Q)==.(2)设点M在区域V的概率为P(M),如图,易知,区域U的长方形的面积为8,区域V的三角形的面积为4,所以P(M)==.5.(13分)(能力挑战题)变量x,y满足(1)设z=,求z的最小值.(2)设z=x2+y2,求z的取值范围.(3)设z=x2+y2+6x-4y+13,求z的取值范围.【解析】由约束条件作出(x,y)的可行域如图所示.由解得A.由解得C(1,1).-11-\n由解得B(5,2).(1)因为z==,所以z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率.观察图形可知zmin=kOB=.(2)z=x2+y2的几何意义是可行域上的点到原点O的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到原点的距离中,dmin=|OC|=,dmax=|OB|=.所以2≤z≤29.(3)z=x2+y2+6x-4y+13=(x+3)2+(y-2)2的几何意义是可行域上的点到点(-3,2)的距离的平方.结合图形可知,可行域上的点到(-3,2)的距离中,dmin=1-(-3)=4,dmax==8.所以16≤z≤64.【加固训练】(2022·江苏高考)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部和边界).若点P(x,y)是区域D内的任意一点,则x+2y的取值范围是 .【解析】由y′=2x得抛物线y=x2在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,即得可行域如图中阴影目标函数z=x+2y⇒y=-x+z,平移目标函数,经过点A时x+2y最小,经过点B时x+2y最大,故x+2y的取值范围是.答案:-11-
