第六章第一节不等关系与不等式一、选择题1．设a，b∈R，若b－|a|>0，则下列不等式中正确的是( )A．a－b>0 B．a＋b>0C．a2－b2>0D．a3＋b3<02．设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．若a>b，则下列不等式正确的是( )A.<B．a3>b3C．a2>b2D．a>|b|4．设a，b为正实数，则“a<b”是“a－<b－”成立的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．已知0＜a＜，且M＝＋，N＝＋，则M、N的大小关系是( )A．M＞NB．M＜NC．M＝ND．不能确定6．若x>y>1，且0<a<1，则①ax<ay；②logax>logay；③x－a>y－a；④logxa<logya.其中不成立的个数是( )A．1B．2C．3D．4二、填空题7．已知a＋b＞0，则＋与＋的大小关系是________．8．以下四个不等式：①a<0<b，②b<a<0，③b<0<a，④0<b<a，其中是<成立的充分条件有________．-5-\n9．已知－≤α＜β≤，则的取值范围是________；的取值范围是________．三、解答题10．比较x3与x2－x＋1的大小．11．若a>b>0，c<d<0，e<0，求证：>.12．设x，y为实数，满足3≤xy2≤8,4≤≤9，求的最大值．详解答案一、选择题1．解析：由b>|a|，可得－b<a<b.由a<b，可得a－b<0，所以选项A错误．由－b<a，可得a＋b>0，所以选项B正确．由b>|a|，两边平方得b2>a2，则a2－b2<0，所以选项C错误．由－b<a，可得－b3<a3，则a3＋b3>0，所以选项D错误．答案：B2．解析：因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4易证，所以充分性满足，反之，不成立，如x＝y＝，满足x2＋y2≥4，但不满足x≥2且y≥2，所以x≥2且y≥2是x2＋y2≥4的充分而不必要条件．-5-\n答案：A3．解析：若a＝1，b＝－3，则>，a2<b2，a<|b|，知A、C、D错误；函数f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0，函数f(x)＝x3为增函数，若a>b，则a3>b3.答案：B4．解析：∵a>0，b>0，a<b，∴>，由不等式的性质a－<b－.∴由a<b可得出a－<b－；当a－<b－时，可得(a－b)－(－)<0，即(a－b)(1＋)<0.又∵a>0，b>0，∴a－b<0.∴a<b，故由a－<b－可得出a<b.∴“a<b”是“a－<b－”成立的充要条件．答案：C5．解析：∵0＜a＜，∴1＋a＞0,1＋b＞0,1－ab＞0，∴M－N＝＋＝＞0.答案：A6．解析：∵x>y>1,0<a<1，∴ax<ay，logax<logay，故①成立，②不成立．xa>ya>0，∴x－a<y－a，③不成立．又logax<logay<0，∴>.即logxa>logya，∴④也不成立．答案：C二、填空题7．解析：＋－(＋)＝＋＝(a－b)(－)＝.-5-\n∵a＋b＞0，(a－b)2≥0，∴≥0.∴＋≥＋.答案：＋≥＋解析：a<0<b⇒<，但<a<0<b，故①符合要求；b<a<0⇒<，但<b<a<0，故②符合要求；b<0<a<，因此③不是<成立的充分条件；0<b<a⇒<0<b<a，因此④正确．答案：①②④9．解析：∵－≤α＜，－＜β≤，∴－π＜α＋β＜π，∴－＜＜.∵－≤－β＜，∴－π≤α－β＜π.∴－≤＜.又∵α－β＜0，∴－≤＜0.答案：(－，) [－，0)三、解答题10．解：x3－(x2－x＋1)＝x3－x2＋x－1＝x2(x－1)＋(x－1)＝(x－1)(x2＋1)．∵x2＋1>0，∴当x>1时，(x－1)(x2＋1)>0，即x3>x2－x＋1；当x＝1时，(x－1)(x2＋1)＝0，即x3＝x2－x＋1；当x<1时，(x－1)(x2＋1)<0，即x3<x2－x＋1.11．证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0.又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.∴(a－c)2>(b－d)2>0.-5-\n∴0<<.又∵e<0，∴>.12．解：法一：由题设知，实数x，y均为正实数，则条件可化为lg3≤lgx＋2lgy≤lg8，lg4≤2lgx－lgy≤lg9，令lgx＝a，lgy＝b，则有，又设t＝，则lgt＝3lgx－4lgy＝3a－4b，令3a－4b＝m(a＋2b)＋n(2a－b)，解得m＝－1，n＝2，即lgt＝－(a＋2b)＋2(2a－b)≤－lg3＋4lg3＝lg27，∴的最大值是27.法二：将4≤≤9两边分别平方得，16≤≤81，①又由3≤xy2≤8可得，≤≤，②由①×②得，2≤≤27，即的最大值是27.-5-
