第八章第六节双曲线一、选择题1．“ab<0”是“方程ax2＋by2＝c表示双曲线”的( )A．必要但不充分条件 B．充分但不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±x，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝13．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )A.B.C．2D．34．已知双曲线x2－＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则·的最小值为( )A．－2B．－C．1D．05．设椭圆＋＝1和双曲线－x2＝1的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的一个交点，则cos∠F1PF2的值为( )A.B.C.D．－6．已知双曲线mx2－y2＝1(m>0)的右顶点为A，若该双曲线右支上存在两点B、C使得△ABC为等腰直角三角形，则实数m的值可能为( )A.B．1C．2D．3二、填空题6\n7．已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．8．已知双曲线kx2－y2＝1(k>0)的一条渐近线与直线2x＋y＋1＝0垂直，那么双曲线的离心率为________；渐近线方程为____________．9．P为双曲线x2－＝1右支上一点，M、N分别是圆(x＋4)2＋y2＝4和(x－4)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为________．三、解答题10．已知双曲线关于两坐标轴对称，且与圆x2＋y2＝10相交于点P(3，－1)，若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行，求此双曲线的方程．11．双曲线－＝1(a＞1，b＞0)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离与点(－1,0)到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．12．P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．6\n详解答案一、选择题1．解析：若ax2＋by2＝c表示双曲线，即＋＝1表示双曲线，则<0，这就是说“ab<0”是必要条件，然而若ab<0，c可以等于0，即“ab<0”不是充分条件．答案：A2．解析：不妨设顶点(a,0)到直线x－3y＝0的距离为1，即＝1，解得a＝2.又＝，所以b＝，所以双曲线的方程为－＝1.答案：A3．解析：设双曲线C的方程为－＝1，焦点F(－c,0)，将x＝－c代入－＝1可得y2＝，所以|AB|＝2×＝2×2a.∴b2＝2a2.c2＝a2＋b2＝3a2.∴e＝＝.答案：B4．解析：设点P(x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0)、F2(2,0)，则有＝x2－1，y2＝3(x2－1)，·＝(－1－x，－y)·(2－x，－y)＝(x＋1)(x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝4(x－)2－，其中x≥1.因此，当x＝1时，·取得最小值－2.答案：A5．解析：由题意可知m－2＝3＋1，解得m＝6.法一：由椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P为第一象限内的点，F1(0，－2)，F2(0,2)，联立＋＝1与－x2＝1组成方程组，解得P(，6\n)．所以由两点距离公式计算得|PF1|＝＋，|PF2|＝－.又|F1F2|＝4，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝.法二：由椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P为第一象限内的点，F1(0，－2)．F2(0,2)，由题意得|PF1|＋|PF2|＝2，|PF1|－|PF2|＝2，|F1F2|＝4，解得|PF1|＝＋，|PF2|＝－，同上由余弦定理可得cos∠F1PF2＝.答案：B6．解析：由题意可得，点A的坐标为(，0)，设直线AB的方程为y＝tan45°(x－)，即x＝y＋，与双曲线方程联立可得，，则(m－1)y2＋2y＝0，解得y＝0或y＝.由题意知y＝为B点的纵坐标，且满足>0，即0<m<1，根据选项知．答案：A二、填空题7．解析：根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a，b的等式，即－＝1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c的等式，2c＝4，即c＝2.再有双曲线自身的一个等式a2＋b2＝c2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a＝1，b＝，c＝2，所以，离心率e＝2.答案：28．解析：双曲线kx2－y2＝1的渐近线方程是y＝±x.∵双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＋1＝0垂直，∴＝，k＝，∴双曲线的离心率为e＝＝，渐近线方程为x±y＝0.答案： x±y＝09．解析：双曲线的两个焦点为F1(－4,0)、F2(4,0)，为两个圆的圆心，半径分别为r1＝2，r2＝1，|PM|max＝|PF1|＋2，|PN|min＝|PF2|－1，故|PM|－|PN|的最大值为(|PF1|＋2)－(|PF2|－1)＝|PF1|－|PF2|＋3＝5.答案：56\n三、解答题10．解：切点为P(3，－1)的圆x2＋y2＝10的切线方程是3x－y＝10.∵双曲线的一条渐近线与此切线平行，且双曲线关于两坐标轴对称，∴两渐近线方程为3x±y＝0.设所求双曲线方程为9x2－y2＝λ(λ≠0)．∵点P(3，－1)在双曲线上，代入上式可得λ＝80，∴所求的双曲线方程为－＝1.11．解：直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.由点到直线的距离公式，且a＞1，得到点(1,0)到直线l的距离d1＝，同理得到点(－1,0)到直线l的距离d2＝.∴s＝d1＋d2＝＝.由s≥c，得≥c，即5a≥2c2.于是得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0.解不等式，得≤e2≤5.由于e＞1，∴e的取值范围是[，]．12．解：(1)点P(x0，y0)(x≠±a)在双曲线－＝1上，有－＝1.由题意又有·＝，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝＝.(2)联立，得4x2－10cx＋35b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①设＝(x3，y3)，＝λ＋，即6\n又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.化简得：λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2，又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.6
