第二章第十四节定积分与微积分基本定理一、选择题1．(ex＋2x)dx等于( )A．1 B．e－1C．eD．e＋12．自由落体的运动速度v＝gt(g为常数)，则当t∈[1,2]时，物体下落的距离为( )A.gB．gC.gD．2g3．设函数f(x)＝ax2＋b(a≠0)，若f(x)dx＝3f(x0)，则x0＝( )A．±1B.C．±D．24．设函数f(x)＝xm＋ax的导函数f′(x)＝2x＋1，则f(－x)dx的值等于( )A.B.C.D.5．由直线x＝－，x＝，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为( )A.B．1C.D.6．若(x2－)9(a∈R)展开式中x9的系数是－，则sinxdx等于( )A．1－cos2B．2－cos1C．cos2－1D．1＋cos2二、填空题7．已知a∈[0，]，则当(cosx－sinx)dx取最大值时，a＝________.8．设f(x)＝(e为自然对数的底数)，则f(x)dx的值为________．9.如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数y＝x2图象下方的点构成的区域，现在D内随机取一点，则该点在E中的概率为________．三、解答题-5-\n10．计算以下定积分．(1)(2x2－)dx；(2)(sinx－sin2x)dx；(3)|3－2x|dx.11．设f(x)是二次函数，其图象过点(1,0)，且f′(1)＝2，f(x)dx＝0，求f(x)的解析式．12．如图，设点P从原点沿曲线y＝x2向点A(2,4)移动，直线OP与曲线y＝x2围成图形的面积为S1，直线OP与曲线y＝x2及直线x＝2围成图形的面积为S2，若S1＝S2，求点P的坐标．详解答案一、选择题-5-\n1．解析：∵被积函数ex＋2x的原函数为ex＋x2，(ex＋2x)dx＝(ex＋x2)＝(e1＋1)－(e0＋0)＝e.答案：C2．解析：距离S＝gtdt＝gt2＝g.答案：C3．解析：f(x)dx＝(ax2＋b)dx＝(x3＋bx)＝9a＋3b＝3f(x0)．∴f(x0)＝3a＋b＝ax＋b，∴x＝3，∴x0＝±.答案：C4．解析：由于f(x)＝xm＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1，所以f(x)＝x2＋x，于是f(－x)dx＝(x2－x)dx＝(x3－x2)＝.答案：A5．解析：结合函数图象可得所求的面积是定积分cosxdx＝sinx＝－(－)＝.答案：D6．解析：由题意得Tr＋1＝C(x2)9－r(－1)r()r＝(－1)rCx18－3r，令18－3r＝9得r＝3，所以－C＝－，解得a＝2，所以sinxdx＝(－cosx)＝－cos2＋cos0＝1－cos2.答案：A二、填空题7．解析：(cosx－sinx)dx＝(sinx＋cosx)＝sina＋cosa－1＝sin(a＋)－1，∵a∈[0，]，∴当a＝时，cos(a＋)－1取最大值．答案：-5-\n8．解析：f(x)dx＝x2dx＋dx＝x3＋lnx＝＋lne＝.答案：9.解析：由定积分的几何意义可得阴影部分的面积为S阴＝2x2dx＝x3＝，又S正＝42＝16，所以由几何概型可得该点在E中的概率为P＝＝＝.答案：三、解答题10．解：(1)∵y＝2x2－的一个原函数是y＝x3－lnx，∴(2x2－)dx＝(x3－lnx)＝(×23－ln2)－(×13－ln1)＝－ln2－＝－ln2.(2)∵函数y＝sinx－sin2x的一个原函数是y＝－cosx＋cos2x，∴(sinx－sin2x)dx＝(cos2x－cosx)＝(cos－cos)－(cos0－cos0)＝[×(－)－]－(－1)＝－－＋＝－.(3)∵y＝|3－2x|＝∴|3－2x|dx＝|3－2x|dx＋|3－2x|dx＝(3－2x)dx＋(2x－3)dx＝(3x－x2)＋(x2－3x)＝[3×－]－(3×-5-\n1－12)＋(22－3×2)－[()2－3×]＝－－2＋(－2)－＋＝.11．解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)其图象过点(1,0)，∴a＋b＋c＝0，①f′(x)＝2ax＋b而f′(1)＝2，∴2a＋b＝2.②由f(x)dx＝0，∴(ax2＋bx＋c)dx＝x3＋x2＋cx|＝＋＋c＝0.③由①、②、③联立方程组，解得∴f(x)＝3x2－4x＋1.12．解：设直线OP的方程为y＝kx，点P的坐标为(x，y)，则(kx－x2)dx＝(x2－kx)dx，即(kx2－x3)＝(x3－kx2).解得kx2－x3＝－2k－(x3－kx2)，解得k＝，即直线OP的方程为y＝x，所以点P的坐标为(，)．-5-
