第二章第九节函数与方程一、选择题1．“a<－2”是“函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0”的( )A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．已知x0是函数f(x)＝＋lnx的一个零点，若x1∈(1，x0)，x2∈(x0，＋∞)，则( )A．f(x1)<0，f(x2)<0B．f(x1)>0，f(x2)>0C．f(x1)>0，f(x2)<0D．f(x1)<0，f(x2)>03．若函数f(x)＝x2＋mx＋1有两个不同的零点，则实数m的取值范围是( )A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)内( )A．没有零点B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点D．有无穷多个零点5．函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f(－1)·f(1)的值( )A．大于0B．小于0C．等于0D．无法确定6．已知定义在R上的函数f(x)＝(x2－3x＋2)g(x)＋3x－4，其中函数y＝g(x)的图象是一条连续曲线，则方程f(x)＝0在下面哪个范围内必有实数根( )A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)二、填空题7．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m的取值范围是________．8．若x0是方程()x＝x的解，则x0属于区间________．①(，1)，②(，)；③(，)；④(0，)．-5-\n9．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．三、解答题10．判断方程3x－x2＝0的负实数根的个数，并说明理由．11．二次函数f(x)＝x2－16x＋q＋3.若函数在区间[－1,1]上存在零点，求实数q的取值范围；12．已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋(x>0)．(1)若g(x)＝m有零点，求m的取值范围；(2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．详解答案一、选择题1．解析：当a<－2时，函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上单调递减，此时f(－1)＝3－a>0，f(2)＝3＋2a<0，所以函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0；当函数f(x)＝ax＋3在区间[－1,2]上存在零点x0时，有f(－1)f(2)<0，即2a2－3a－9>0，解得a>3或a<－.答案：A-5-\n2．解析：∵f(x0)＝0，f(x)＝＋lnx在定义域内为增函数，∴f(x1)<f(x0)<f(x2)．即f(x1)<0<f(x2)．答案：D3．解析：由题意知，一元二次方程x2＋mx＋1＝0有两不等实根，可得Δ>0，即m2－4>0，解得m>2或m<－2.答案：C4．解析：在同一个坐标系中作出y＝与y＝cosx的图象如图，由图象可得函数f(x)＝－cosx在[0，＋∞)上只有一个零点．答案：B5．解析：由题意，知f(x)在(－1,1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，∴f(－1)·f(1)符号不定，如f(x)＝x2，f(x)＝x.答案：D6．解析：f(x)＝(x2－3x＋2)g(x)＋3x－4＝(x－1)(x－2)g(x)＋3x－4，则f(1)＝－1<0，f(2)＝2>0.答案：B二、填空题7．解析：画出图象，令g(x)＝f(x)－m＝0，即f(x)与y＝m的图象的交点有3个，∴0<m<1.答案：(0,1)8．解析：令f(x)＝()x－x，则f()>0，f()＝()－()<0.∴f(x)在(，)内存在零点．答案：③9．解析：由原函数有零点，可将问题转化为方程ex－2x＋a＝0有解问题，即方程a＝2x－ex有解．令函数g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln2，所以g(x)在(－∞，ln2)上是增函数，在(ln2，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln2)＝2ln2－2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a∈(－∞，2ln2－2]．答案：(－∞，2ln2－2]三、解答题10．解：设f(x)＝3x－x2，-5-\n∵f(－1)＝－<0，f(0)＝1>0，又∵函数f(x)的图象在[－1,0]上是连续不断的，∴函数f(x)在(－1,0)内有零点．又∵在(－∞，0)上，函数y＝3x递增，y＝x2递减，∴f(x)在(－∞，0)上是单调递增的．∴f(x)在(－1,0)内只有一个零点．因此方程3x－x2＝0只有一个负实数根．11．解：∵函数f(x)＝x2－16x＋q＋3的对称轴是x＝8，∴f(x)在区间[－1,1]上是减函数．∵函数在区间[－1,1]上存在零点，则必有，即，∴－20≤q≤12.∴实数q的取值范围为[－20,12]12．解：(1)法一：∵g(x)＝x＋≥2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e，＋∞)，因而只需m≥2e，则g(x)＝m就有零点．法二：作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象如图：可知若使g(x)＝m有零点，则只需m≥2e.法三：由g(x)＝m得x2－mx＋e2＝0.此方程有大于零的根，故等价于，故m≥2e.(2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象．∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2.其图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.-5-\n故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．-5-
