第一章第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．设集合A＝{x∈R|x－2＞0}，B＝{x∈R|x＜0}，C＝{x∈R|x(x－2)＞0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．命题“若－1＜x＜1，则x2＜1”的逆否命题是( )A．若x≥1或x≤－1，则x2≥1B．若x2<1，则－1<x<1C．若x2>1，则x>1或x<－1D．若x2≥1，则x≥1或x≤－13．设a1，a2，b1，b2均不为0，则“＝”是“关于x的不等式a1x＋b1>0与a2x＋b2>0的解集相同”的( )A．充分必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．“a＝0”是“函数y＝ln|x－a|为偶函数”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件5．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数6．设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件4\n二、填空题7．给出命题：已知实数a、b满足a＋b＝1，则ab≤.它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是________．8．(2022·盐城模拟)已知直线l1：ax－y＋2a＋1＝0和直线l2：2x－(a－1)y＋2＝0(a∈R)，则l1⊥l2的充要条件是a＝________.9．p：“向量a与向量b的夹角θ为锐角”是q：“a·b>0”的________条件．三、解答题10．已知集合A＝{x|x2－4mx＋2m＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若命题“A∩B＝∅”是假命题，求实数m的取值范围．11．(1)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件？如果存在求出p的取值范围；(2)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件？如果存在求出p的取值范围．12．设p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a≠0，q：实数x满足(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．详解答案一、选择题1．解析：A∪B＝{x∈R|x＜0或x＞2}，C＝{x∈R|x＜0或x＞2}，∵A∪B＝C，∴x∈A∪B是x∈C的充分必要条件．4\n答案：C2．解析：若原命题是“若p，则q”，则逆否命题为“若綈q则綈p”，故此命题的逆否命题是“若x2≥1，则x≥1或x≤－1”．答案：D3．解析：“不等式a1x＋b1>0与a2x＋b2>0的解集相同”⇒“＝”，但“＝”“不等式a1x＋b1>0与a2x＋b2>0的解集相同”，如：a1＝1，b1＝－1，a2＝－1，b2＝1.答案：C4．解析：当a＝0时，函数y＝ln|x|为偶函数；当函数y＝ln|x－a|为偶函数时，有ln|－x－a|＝ln|x－a|，∴a＝0.答案：A5．解析：否命题是既否定题设又否定结论．答案：B6．解析：当a＝1时，N＝{1}，此时有N⊆M，则条件具有充分性；当N⊆M时，有a2＝1或a2＝2得到a1＝1，a2＝－1，a3＝，a4＝－，故不具有必要性，所以“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．答案：A二、填空题7．解析：∵a＋b＝1⇒1＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2≥4ab⇒ab≤.∴原命题为真，从而逆否命题为真；若ab≤，显然得不出a＋b＝1，故逆命题为假，因而否命题为假．答案：18．解析：l1⊥l2⇔2a＋(a－1)＝0，解得a＝.答案：9．解析：若向量a与向量b的夹角θ为锐角，则cosθ＝>0，即a·b>0；由a·b>0可得cosθ＝>0，故θ为锐角或θ＝0°，故p是q的充分不必要条件．答案：充分不必要三、解答题10．解：因为“A∩B＝∅”是假命题，所以A∩B≠∅.设全集U＝{m|Δ＝(－4m)2－4(2m＋6)≥0}，4\n则U＝{m|m≤－1或m≥}．假设方程x2－4mx＋2m＋6＝0的两根x1，x2均非负，则有⇒⇒m≥.又集合{m|m≥}．关于全集U的补集是{m|m≤－1}，所以实数m的取值范围是{m|m≤－1}．11．解：(1)当x>2或x<－1时，x2－x－2>0，由4x＋p<0得x<－，故－≤－1时，“x<－”⇒“x<－1”⇒“x2－x－2>0”．∴p≥4时，“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的充分条件．(2)不存在实数p，使“4x＋p<0”是“x2－x－2>0”的必要条件．12．解：(1)由x2－4ax＋3a2<0，得(x－3a)(x－a)<0，当a＝1时，解得1<x<3，即p为真时实数x的取值范围是1<x<3.由，得2<x≤3，即q为真时实数x的取值范围是2<x≤3.若p∧q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是2<x<3.(2)p是q的必要不充分条件，即q⇒p且pq，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则AB，又B＝(2,3]，当a>0时，A＝(a,3a)；a<0时，A＝(3a，a)．所以当a>0时，有解得1<a≤2；当a<0时，显然A∩B＝∅，不合题意．综上所述，实数a的取值范围是1<a≤2.4
