模块整合六：导数及其应用第33课：导数的概念及运算【考点阐释】《考试说明》要求：了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义，能根据定义求几个简单函数的导数，能利用导数公式表及导数的四则运算法则求简单函数的导数。本节的能级要求为导数的概念A级，其余为B级。【高考体验】一、课前热身（1）（2022江苏卷）在平面直角坐标系中，点P在曲线上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为.（2）（2022宁夏海南卷文）曲线在点（0,1）处的切线方程为。（3）（2022全国卷Ⅰ理）已知直线y=x+1与曲线相切，则α的值为.（4）（2022江西卷理）设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为.（5）（2022福建卷理）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.（6）(2022陕西卷理)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为,令，则的值为.二、教材回归二1.函数的平均变化率一般地，函数在区间上的平均变化率为2.函数在处的导数（1）定义设函数在区间上有定义，，若无限趋于0时，比值无限趋于一个常数A，则称在处可导，并称该常数A为函数在点处的导数，记作（2）几何意义函数在点处的导数的几何意义是过曲线上的点的切线的斜率。3.基本初等函数的导数公式46/46\n（C为常数）；（a为常数）；；；基；；；.4.导数的四则运算法则（1）=（2）=（3）=，。1；三、同步导学例1：已知质点M按规律做直线运动（位移单位：cm，时间单位：s）。（1）当t=2，时，求；（2）当t=2，时，求；（3）求质点M在t=2时的瞬时速度。例2：求下列各函数的导数：（1）（2）（3）（4）例3：已知曲线y=（1）求曲线在x=2处的切线方程；（2）求曲线过点（2，4）的切线方程.四、高考定位1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义，主要以填空题形式来考查；2.能根据导数定义求最基本函数的导数，能利用导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；3.会求切线的方程，区分在点处与过点的切线方程；4.导数运算每年必考，常与导数的应用交汇，考查导数的运算能力。【课堂互动】46/46\n1.（2022江苏卷）直线是曲线的一条切线，则实数b＝．2.（2022安徽卷理）已知函数在R上满足，则曲线在点处的切线方程是3.设f(x)=x(x+1)(x+2)…(x+n),则f′(0)=_________4.（2022安徽卷文）设函数，其中，则导数的取值范围是__________5.（2022江西卷）若存在过点的直线与曲线和都相切，则等于__________6.（2022海南、宁夏卷）设函数(a,b∈Z)，曲线在点处的切线方程为y=3.（1）求的解析式；（2）证明：曲线上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值，并求出此定值.【好题精练】1.一个物体的运动方程为其中y的单位：m，t的单位：s，那么物体在3s末的瞬时速度是_______.2.已知f(x)=sinx(cosx+1)，则等于_______.3.设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围为_______.4.若点P在曲线y=x3-3x2+(3-)x+上移动，经过点P的切线的倾斜角为，则角的取值范围是_______.5.（2022南通调研）给出下列的命题：①若函数；②若函数图像上P(1,3)及邻近点Q(1+则；③46/46\n加速度是动点位移函数对时间t的导数；④，其中正确的命题是_______.6.（2022南通调研）曲线C：在x=0处的切线方程为_______.7.（2022徐州调研）.已知函数f(x)=sinx+cosx，则=.8.已知，，则.9.已知函数的导函数为，且满足，则 .10.设,则．11.求下列函数在x=x0处的导数.（1）f（x）=（2）12.设函数，曲线在点处的切线方程为．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求此定值．13.已知曲线Cy=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标14.球半径以2的速度膨胀（1）半径为5cm时，表面积的变化率是多少？（2）半径为8cm时，体积的变化率是多少？第34课：导数在研究函数中的应用【考点阐释】《考试说明》要求：了解函数的单调性和导数的关系，能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间；了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件，会利用导数求函数的极大值和极小值（对多形式一般不超过三次）。本节的能级要求为B级。46/46\n【高考体验】一、课前热身（1）（2022江苏卷）函数的单调减区间为.（2）（2022苏北四市调研）函数上的最大值为.（3）（2022盐城调研）已知函数(是自然对数的底数),若实数是方程的解,且,则▲(填“＞”，“≥”，“＜”，“≤”).（4）（2022苏、锡、常、镇调研）若函数在定义域内是增函数，则实数的取值范围是．（5）（2022通州调研）f（x）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足，对任意正数a、b，若a＜b，则的大小关系为．（6）（2022江苏卷）f(x)=ax3-3x+1对于x∈［-1,1］总有f(x)≥0成立，则a=.二、教材回归1.函数的单调性与导数（1）设函数在某区间内可导，如果，那么函数在这个区间上为增函数；如果，那么函数在这个区间上为减函数；（2）函数为增函数的条件；2.函数的极值解方程，当时，（1）如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；（2）如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；3.求函数在上的最值（1）求函数在内的极值；（2）将函数得各极值与的函数值比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个为最小值。三、同步导学例1：（2022通州调研）已知函数.46/46\n（1）求函数的图像在处的切线方程；（2）求的最大值；(3)设实数，求函数在上的最小值.例2：（2022南通调研）设a为实数，已知函数.（1）当a=1时，求函数的极值．（2）若方程=0有三个不等实数根，求a的取值范围．例3：（2022南通调研）已知函数在[1，＋∞）上为增函数，且θ∈（0，π），，m∈R．（1）求θ的值；（2）若在[1，＋∞）上为单调函数，求m的取值范围；（3）设，若在[1，e]上至少存在一个，使得成立，求的取值范围．四、高考定位1.以解答题的形式考查应用导数研究函数的单调性和极值（最值）；2.利用函数的单调性求参数的范围；3.利用数形结合思想，及函数的单调性判断方程的根。【课堂互动】1.(2022南京师大附中期中)函数在（0，）内的单调增区间为.2.(2022苏州中学期中)若函数在上是增函数，则实数的取值范围是3.（2022通州调研）函数的图像经过四个象限的充要条件是4.（2022镇江调研）方程在[0，1]上有实数根，则m的最大值是5.（2022扬州调研）若函数满足：对于任意的都有恒成立，则的取值范围是6.（2022苏北四市调研）46/46\n已知函数（1）试求所满足的关系式；（2）若，方程有唯一解，求的取值范围；（3）若，集合，试求集合。【好题精练】1．（2022年广东文）函数的单调递增区间是____________．2.（2022福建卷理）若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是_____________.3.若上是减函数，则的取值范围是4.若函数有三个单调区间，则的取值范围是5.（2022年江苏9）已知二次函数的导数为，，对于任意实数都有，则的最小值为________6．（2022年江苏13）已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则7.函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，则a=，b=8．已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10，则f(2)=___________9.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值，则a的取值范围为10.,分别是定义在上的奇函数和偶函数，当时,，且，则不等式的解集是____11.（2022全国Ⅱ卷）设函数，其中常数a>1(1)讨论f(x)的单调性;(2)若当x≥0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围。12.（2022辽宁卷）设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。46/46\n（I）求a的值，并讨论f（x）的单调性；（II）证明：当w.w.w.k.s.5.u.c.o.m13．设函数，.⑴当时，求函数图象上的点到直线距离的最小值；⑵是否存在正实数，使对一切正实数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.14.(2022南京调研)已知函数（1）若函数在处的切线方程为，求的值；（2）若函数在为增函数，求的取值范围；（3）讨论方程解的个数，并说明理由。第35课：简单复合函数的导数【考点阐释】《考试说明》要求：会求简单复合函数的导数，高考一般不单独考查，为附加题部分知识。本节的能级要求为B级。【高考体验】一、课前热身（1）函数的导数是.（2）函数的导数是（3）函数的导数是（4）如y=f(x)是可导函数，且则当x=1时函数的导数值为（5）设函数的最大值为3，则f(x)的图象的一条对称轴的方程是.（6）已知则.46/46\n二、教材回归若，，则，即三、同步导学例1:求函数的导数例2：有一个长度为5m的梯子贴靠在笔直的墙上，假设其下端沿地板以3m/s的速度离开墙脚滑动，求当其下端离开墙脚14m时，梯子上端下滑的速度例3：（2022南通调研）已知函数记函数k为常数）.（1）若函数f(x)在区间上为减函数，求的取值范围；（2）求函数f(x)的值域.四、高考定位1.对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误2.复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系【课堂互动】1.y=esinxcos(sinx)，则y′(0)等于.2.函数的导数是3.如函数的导数为0，则x的值是4.若，且，则5.如果函数是可导函数，则y对x的导数是6.（2022南通调研）已知等式，其中ai（i=0，1，2，…，10）为实常数．求：（1）的值；（2）的值．46/46\n【好题精练】1．函数的导数是2.函数的导数是3.函数的导数是4.函数在x=1处的导数值是5.函数fn(x)=n2x2(1－x)n(n为正整数)，则fn(x)在［0,1］上的最大值为6．曲线在点P（处的切线方程为7.函数的值域为8．如函数在x=处有最值，则9.在半径为R的圆内，作内接等腰三角形，当底边上高为_______时它的面积最大10.函数在上的最大值为______，最小值为______。11.求函数的导数(1)y=(x2－2x+3)e2x;(2);(3)y=12.在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？13．（2022宁夏海南卷理）已知函数（I）如，求的单调区间；（II）若在单调增加，在单调减少，证明＜6.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m14.利用导数求和(1)Sn=1+2x+3x2+…+n(x≠0,n∈N*)(2)Sn=C+2C+3C+…+nC,(n∈N*)46/46\n第36课：导数的综合运用【考点阐释】《考试说明》要求：会用导数解决某些实际问题，利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点本节的能级要求为B级。【高考体验】一、课前热身（1）(2022南通调研)水波的半径以50的速度向外扩张，当半径250cm时，圆面积的膨胀率是（2）已知函数，若直线对任意的都不是曲线的切线，则的取值范围为（3）（2022通州调研）设函数，若时，恒成立，则实数的取值范围是_.（4）(2022盐城调研)已知关于x的方程有三个不同的实数解，则实数k的取值范围是（5）(2022南京调研)在平面直角坐标系xOy中，设A是曲线：与曲线：的一个公共点，若在A处的切线与在A处的切线互相垂直，则实数a的值是（6）（2022南通调研）设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数m的取值范围是二、教材回归导数在实际生活中的应用主要是解决有关最大（小）值问题，一般应，则问题转化为导数问题，解题中应该注意。三、同步导学例1：(2022淮安调研)已知函数，.（1）求的单调区间和极值；（2）设≥１，函数，若对于任意，总存在，使得成立，求的取值范围；46/46\n（3）对任意，求证：.例2：(2022南京调研)设，函数.(1)当时,求曲线在处的切线方程;(2)当时,求函数的最小值.例3：（2022年江苏卷）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及CD的中点P处，已知AB=20km,CB=10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且A,B与等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为km．（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO=(rad)，将表示成的函数关系式；②设OP(km)，将表示成x的函数关系式．（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短思考题：四、高考定位1.以解答题的形式考查导数与三角函数，解析几何，不等式等知识相结合的问题。会构造函数来求导。2.解决实际应用问题关键在于建立数学模型和目标函数把“问题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系，并把问题的主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题，再划归为常规问题，选择合适的数学方法求解【课堂互动】1．(2022淮安调研)已知，记,,…,,则____2.已知函数f(x)的定义域为，部分对应值如下表x－20－2xyO4f(x)1－11为的导函数，函数的图象如图所示，若两正数a，b满足f(2a+b)<146/46\n，则的取值范围是3.（2022苏北四市调研）设曲线在点处的切线为，曲线在点处的切线为，若存在，使得，则实数的取值范围是．4.对正整数n，设曲线在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为则数列的前n项和的公式是5．质点P在半径为10cm的圆上逆时针作匀速圆周远动，角速度为2，设A（10，0）为起始点，则时刻t时，点P在y轴上的射影点M的速度是6．（2022湖南卷理）某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为万元。（Ⅰ）试写出关于的函数关系式；（Ⅱ）当=640米时，需新建多少个桥墩才能使最小？【好题精练】1．已知函数y=a(x3-3x)的递增区间为（-1，1），则a的取值范围是2.（2022年江西理）设在内单调递增，，则是的条件3.函数在处取得极值，则=4.已知函数是区间上单调递减函数，则实数m的取值范围是5.（2022南京调研）已知函数，，是其图象上不同的两点.若直线的斜率总满足，则实数的值是46/46\n6．曲线y=x(x+1)(2－x)有两条平行于直线y=x的切线，则两切线之间的距离是7.（2022盐城三模）已知定义在R上的函数满足，当时，.若对任意的，不等式组均成立，则实数k的取值范围是.8．酒杯的现状为倒立的圆锥，杯深8cm，上口宽6cm，水以20的流量倒入杯中，当水深为4cm时，则水升高的瞬时速度是9.（08年天津卷）已知是函数的一个极值点，若直线与函数的图象有3个交点，则的取值范围10.设函数当时，恒有，则确定a的取值范围是11.（2022通州调研）如图所示，一条直角走廊宽为2米。现有一转动灵活的平板车，其平板面为矩形ABEF，它的宽为1米。直线EF分别交直线AC、BC于M、N，过墙角D作DP⊥AC于P，DQ⊥BC于Q；⑴若平板车卡在直角走廊内，且∠，试求平板面的长(用表示)；AB2m2mMNEDFPQCCl⑵若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多少米?12.（2022北京理）设函数（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.46/46\n13．（2022通州调研）函数．（1）试求f(x)的单调区间；（2）当a>0时，求证：函数f(x)的图像存在唯一零点的充要条件是a=1；（3）求证：不等式对于恒成立．14.（2022扬州调研）网已知函数高考资源网（I）求曲线处的切线方程；高考资源网（Ⅱ）求证函数在区间[0，1]上存在唯一的极值点，并用二分法求函数取得极值时相应x的近似值（误差不超过0.2）；（参考数据e≈2.7，≈1.6，e0.3≈1.3）高考资源网（III）当试求实数的取值范围。高考资源网第37课：定积分【考点阐释】《考试说明》要求：了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，会用微积分基本定理求定积分。高考时为附加题部分内容。本节的能级要求为A级【高考体验】一、课前热身（1）.（2）.（3）若<3，则t的取值范围.（4）若，则a，b，c的大小关系是（5）由曲线，，，所围成的面积为（6）图中,阴影部分的面积是.二、教材回归1.求曲边梯形面积的步骤46/46\n①②；③；④。2.定积分的定义一般地，设函数在区间上有定义，将区间等分成n个小区间，每个小区间长度为，在每个小区间上取一点，依次为作和如果无限趋近于0时，无限趋近于常数S，那么称S为函数在区间上的记为S=其中，f(x)称为，，a称为，b称为。3.定积分的几何意义在区间上的代数和（即x轴上方的面积减去x下方的面积）。4.微积分基本定理对于被积函数f（x），如果，则=三、同步导学例2：计算下列定积分：（1）；（2）；（3）例3：(苏州市2022届高三三校联考)已知二次函数为常数）；.若直线1、2与函数f（x）的图象以及1，y轴与函数f（x）的图象所围成的封闭图形如阴影所示.（1）求、b、c的值（2）求阴影面积S关于t的函数S（t）的解析式；46/46\n例4：(2022盐城调研)如图所示，已知曲线，曲线与关于点对称，且曲线与交于点O、A，直线与曲线、、轴分别交于点、、，连结.y（Ⅰ）求曲边三角形（阴影部分）的面积;（Ⅱ）求曲边三角形（阴影部分）的面积.四、高考定位1.“分割、近似求和、取极限”的数学思想，弄清定积分的几何意义，会求曲线围成的面积；2.定积分在物理中的应用。3.微积分基本定理公式【课堂互动】1.已知自由落体的运动速度v=gt（g为常数），则当t时，物体下落的距离是2.曲线与两坐标轴所围成图形的面积为3.=4.(2022苏州中学期中)由所围成的封闭图形的面积为5.下列积分的值等于1的是①;②;③;④46/46\n6.（2022盐城一模）过点A（6，4）作曲线的切线l（1）求切线l的方程；（2）求切线l与x轴以及曲线所围成的封闭图形的面积S【好题精练】1.=2.一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x=0处运动到x=4（单位：m）处，则力F（x）做的功为3.抛物线及其在点A（1，0）和点B(3,0)处的切线所围成的图像面积是4.已知是一次函数，其图象过点（3，4），且，则的解析式为5.，则三者大小关系式6.由及x轴围成的介于0与之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为7.如果1N力能拉长弹簧，为将弹簧拉长6cm，所耗费的功是8.由曲线所围成图形的面积是____________9.计算=10.在曲线上的某点A处做一切线使之与曲线以及轴所围成的面积为.切点A的坐标为，切线方程为.11.已知,求值,使.12.设直线与抛物线所围成的图形面积为S,它们与直线围成的面积为T,若U=S+T达到最小值,求值;并求此时平面图形绕轴一周所得旋转体的体积.13.（2022南京师范附中调研）设是二次函数，方程有两个相等的实根，且。（1）求的表达式；（2）求的图象与两坐标轴所围成图形的面积；（3）若直线（把46/46\n）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求的值。14.（2022南通调研）先阅读：如图，设梯形ABCD的上、下底边的长分别是a，b（a＜b），高为h，求梯形的面积．DACB方法一：延长DA、CB交于点O，过点O作CD的垂线分别交AB、CD于E，F，则．设即．．方法二：作AB的平行线MN分别交AD、BC于M、N，过点A作BC的平行线AQ分别交MN、DC于P、Q，则．设梯形AMNB的高为，．再解下面的问题：已知四棱台ABCD－A′B′C′D′的上、下底面的面积分别是，棱台的高为h，类比以上两种方法，分别求出棱台的体积（棱锥的体积=底面积高）．模块整合六：导数及其应用第33课：导数的概念及运算一、课前热身（1）（-2，15），（2），（3）2，（4），（5），（6）-2二、教材回归46/46\n（1）；（2）；；点；；（3）0；；cosx;-sinx;；；；；（4）；；三、同步导学例2（1）8.02（2）8.002；（3）8例3：(1)∵∴y′（2）y=（x2+3x+2）（x+3）=x3+6x2+11x+6，∴y′=3x2+12x+11.（3）∵y=∴（4），∴例4：（1）∵y′=x2,∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=|x=2=4.∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.（2）设曲线y=与过点P（2，4）的切线相切于点，则切线的斜率k=|=.∴切线方程为即∵点P（2，4）在切线上，∴4=即∴46/46\n∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2,故所求的切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0.【课堂互动】1.ln2－1，2.，3.解析设g(x)=(x+1)(x+2)……(x+n),则f(x)=xg(x),于是f′(x)=g(x)+xg′(x),f′(0)=g(0)+0·g′(0)=g(0)=1·2·…n=n！答案n!，4.，5.或，6（1），于是解得或因为a,bZ，故（2）在曲线上任取一点．由知，过此点的切线方程为．令x=1，得，切线与直线x=1交点为．令y=x，得，切线与直线y=x的交点为．直线x=1与直线y=x的交点为(1,1)．从而所围三角形的面积为．所以，所围三角形的面积为定值2.【好题精练】1.5，2.cos2x+cosx，3.,4.,5.①②，6.y=2x+3，7.0，8.，9.6，10.cosx.11.（1）∵∴=0.（2）∵∴12.（Ⅰ）方程可化为．46/46\n当时，，又，于是解得故．（Ⅱ）设为曲线上任一点，由知曲线在点处的切线方程为，即．令得，从而得切线与直线的交点坐标为．令得，从而得切线与直线的交点坐标为．所以点处的切线与直线，所围成的三角形面积为．故曲线上任一点处的切线与直线，所围成的三角形的面积为定值，此定值为．13.由l过原点，知k=(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x03－3x02+2x0,∴=x02－3x0+2y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2又k=,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+22x02－3x0=0,∴x0=0或x0=由x≠0,知x0=∴y0=()3－3()2+2·=－∴k==－46/46\n∴l方程y=－x切点(，－)14.（1）；（2）第34课：导数在研究函数中的应用一、课前热身（1）（2），（3）＜，（4），（5），（6）4二、教材回归1.（1）；（2）必要不充分条件2.（1）；（2）3.(1);(2)端点处；。三、同步导学例1（Ⅰ）定义域为又函数的在处的切线方程为：，即（Ⅱ）令得当时，，在上为增函数当时，，在上为减函数（Ⅲ），由（2）知：在上单调递增，在上单调递减．在上的最小值46/46\n当时，当时，例2(1)依题有，故.由x02+0－0+↗极大值↘极小值↗得在时取得极大值，在时取得极小值.(2)因为，所以方程的两根为a－1和a+1，显然，函数在x=a－1取得极大值，在x=a+1是取得极小值.因为方程=0有三个不等实根，所以即解得且.故a的取值范围是.例3（1）由题意，≥0在上恒成立，即．∵θ∈（0，π），∴．故在上恒成立，只须，即，只有．结合θ∈（0，π），得．（2）由（1），得．．∵在其定义域内为单调函数，∴或者在[1，＋∞）恒成立．等价于，即，46/46\n而，（）max=1，∴．等价于，即在[1，＋∞）恒成立，而∈（0，1]，．综上，m的取值范围是．（3）构造，．当时，，，，所以在[1，e]上不存在一个，使得成立．当时，．因为，所以，，所以在恒成立．故在上单调递增，，只要，解得．故的取值范围是．【课堂互动】1.，2.，3.，4.0，5.．6.1）由，得∴b、c所满足的关系式为．（2）由，，可得．方程，即，可化为，令，则由题意可得，在上有唯一解，令，由，可得，当时，由，可知是增函数；46/46\n当时，由，可知是减函数．故当时，取极大值．由函数的图象可知，当或时，方程有且仅有一个正实数解．故所求的取值范围是或．（3）由，，可得．由且且且．当时，；当时，；当时（），；当时，且；当时，∪．注：可直接通过研究函数与的图象来解决问题．【好题精练】1.，2.，3.，4.，5.，6.32,7.a=4,b=-11,8.11或18,9.［-1，2］,10.(－∞，－3)∪(0，3),11.（1）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m由知，当时，，故在区间是增函数；当时，，故在区间是减函数；当时，，故在区间是增函数。综上，当时，在区间和是增函数，在区间是减函数。（2）由（I）知，当时，在或处取得最小值。46/46\n由假设知w.w.w.k.s.5.u.c.o.m即解得1<a<6故的取值范围是（1，6）12.（Ⅰ）.有条件知，，故.于是.故当时，＜0；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m当时，＞0.从而在，单调减少，在单调增加.（Ⅱ）由（Ⅰ）知在单调增加，故在的最大值为，最小值为.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m从而对任意，，有.而当时，.从而13.⑴由得，令得∴所求距离的最小值即为到直线的距离⑵假设存在正数，令则由得：46/46\n∵当时，，∴为减函数；当时，，∴为增函数.∴∴∴∴的取值范围为14.（1）因为：，又在处的切线方程为所以解得：（2）若函数在上恒成立。则在上恒成立，即：在上恒成立。所以有（3）当时，在定义域上恒大于，此时方程无解；当时，在上恒成立，所以在定义域上为增函数。，，所以方程有惟一解。当时，因为当时，，在内为减函数；当时，在内为增函数。所以当事人时，有极小值即为最小值。当时，，此方程无解；当时，此方程有惟一解。当时，46/46\n因为且，所以方程在区间上有惟一解，因为当时，，所以所以因为，所以所以方程在区间上有惟一解。所以方程在区间上有惟两解。综上所述：当时，方程无解；当时，方程有惟一解；当时方程有两解。第35课：简单复合函数的导数一、课前热身（1）6cos3x（2），（3），（4）—2，（5），（6）10二、教材回归；三、同步导学例1(2)解y=μ3,μ=ax－bsin2ωx,μ=av－byv=x,y=sinγγ=ωxy′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av－by)′=3μ2(av′－by′)=3μ2(av′－by′γ′)=3(ax－bsin2ωx)2(a－bωsin2ωx)(3)解法一设y=f(μ),μ=,v=x2+1,则y′x=y′μμ′v·v′x=f′(μ)·v－·2x46/46\n=f′()··2x=解法二y′=［f()］′=f′()·()′=f′()·(x2+1)·(x2+1)′=f′()·(x2+1)·2x=f′()例2设经时间t秒梯子上端下滑s米,则s=5－,当下端移开14m时，t0=,又s′=－(25－9t2)·(－9·2t)=9t,所以s′(t0)=9×=0875(m/s)例3（1）因为f(x)在区间上为减函数，所以对任意的且恒有成立.即恒成立.因为，所以对且时，恒成立.又<1，所以（2）.下面分两种情况讨论：（1）当时，是关于x的增函数，值域为46/46\n（2）当时，又分三种情况：①当时，因为，所以即.所以f(x)是减函数，.又，当，所以f(x)值域为.②当k=1时，，且f(x)是减函数，故f(x)值域是③当时，是增函数，，.下面再分两种情况：（a）当时，的唯一实根，故，是关于x的增函数，值域为；（b）当时，的唯一实根，当时，，当时，；.故f(x)的值域为.综上所述，f(x)的值域为；（）；（）；（）.【课堂互动】1解析y′=esinx［cosxcos(sinx)－cosxsin(sinx)］,y′(0)=e0(1－0)=12.，3.，4.1，5. —，6.（1）在中，令，得．令，得．46/46\n所以．（2）等式两边对x求导，得．在中，令x=0，整理，得．【好题精练】1.，2.，3.，4.-1，5.解析∵f′n(x)=2xn2(1－x)n－n3x2(1－x)n-1=n2x(1－x)n-1［2(1－x)－nx］,令f′n(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=,易知fn(x)在x=时取得最大值，最大值fn()=n2()2(1－)n=4·()n+16.,7.,8.2,9.解析设圆内接等腰三角形的底边长为2x,高为h，那么h=AO+BO=R+,解得x2=h(2R－h),于是内接三角形的面积为S=x·h=从而令S′=0,解得h=R,由于不考虑不存在的情况，所在区间(0,2R)上列表如下h(0,R)R(,2R)46/46\nS′+0－S增函数最大值减函数由此表可知，当x=R时，等腰三角形面积最大答案R10.,11.(1)(2)（3）12.解法一根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm,则∵BD=40,AC=50－x,∴BC=又设总的水管费用为y元，依题意有y=30(5a－x)+5a(0＜x＜50)y′=－3a+,令y′=0,解得x=30在(0,50)上，y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函数在x=30(km)处取得最小值，此时AC=50－x=20(km)∴供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省解法二设∠BCD=Q,则BC=,CD=40cotθ,(0＜θ＜),∴AC=50－40cotθ设总的水管费用为f(θ),依题意，有f(θ)=3a(50－40·cotθ)+5a·=150a+40a·∴f′(θ)=40a·令f′(θ)=0,得cosθ=46/46\n根据问题的实际意义，当cosθ=时，函数取得最小值，此时sinθ=,∴cotθ=,∴AC=50－40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省13.（Ⅰ）当时，，故w.w.w.k.s.5.u.c.o.mw.w.w.k.s.5.u.c.o.m当当从而单调减少.(Ⅱ)由条件得：从而因为所以将右边展开，与左边比较系数得，故又由此可得于是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m14.(1)当x=1时Sn=1+2+3+…+n=n(n+1);46/46\n当x≠1时，∵x+x2+x3+…+xn=,两边都是关于x的函数，求导得(x+x2+x3+…+xn)′=()′即Sn=1+2x+3x2+…+nxn－1=(2)∵(1+x)n=1+Cx+Cx2+…+Cxn,两边都是关于x的可导函数，求导得n(1+=C+2Cx+3Cx2+…+nC,令x=1得，n·=C+2C+3C+…+nC,即Sn=C+2C+…+nC=n·第36课：导数的综合运用一、课前热身（1），（2），（3）(－∞，1)，（4）或，（5）设,所以在处的切线斜率为，在处的切线的斜率为，又在处的切线与在处的切线互相垂直，所以，即，又，所以，代入得，将，代入得，故答案填写4.（6）二、教材回归建立好目标函数；实际意义三、同步导学例1(1)∵∴当＞１时，＜０，当０＜＜１时，＞０．∴的单调递增区间为，单调递减区间为，极大值为．46/46\n(２)∵（≥１）∴当时，，单调递减，此时值域为．由(1)得，当时，值域为，由题意可得：≤－１，所以１≤≤.（3）令，则，∵，∴，原不等式等价于由（1）知在上单调递减，∴，即令，∵，当时，，∴在上单调递增，∴，即综上所述，对任意，恒有成立.例2（1）当时，令得所以切点为（1，2），切线的斜率为1，所以曲线在处的切线方程为：。（2）①当时，，，恒成立。在上增函数。故当时，②当时，，（）（i）当即时，在时为正数，所以在区间上为增函数。故当时，，且此时(ii)当，即时，在时为负数，在间46/46\n时为正数。所以在区间上为减函数，在上为增函数故当时，，且此时(iii)当；即时，在时为负数，所以在区间[1,e]上为减函数，故当时，。综上所述，当时，在时和时的最小值都是。所以此时的最小值为；当时，在时的最小值为，而，所以此时的最小值为。当时，在时最小值为，在时的最小值为，而，所以此时的最小值为所以函数的最小值为例3（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=(rad)，则,故，又OP＝10－10ta，所以，所求函数关系式为②若OP=(km)，则OQ＝10－，所以OA=OB=所求函数关系式为46/46\n（Ⅱ）选择函数模型①，令0得sin，因为，所以=，当时，，是的减函数；当时，，是的增函数，所以当=时，。这时点P位于线段AB的中垂线上，且距离AB边km处。【课堂互动】1.，2.，3.，4.，5.20cos2t(cm/s)，6.（Ⅰ）设需要新建个桥墩，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令，得，所以=64当0<<64时<0，在区间（0，64）内为减函数；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m当时，>0.在区间（64，640）内为增函数，所以在=64处取得最小值，此时，故需新建9个桥墩才能使最小。【好题精练】1.a<0，2.充要条件，3.2，4.，5.，46/46\n6.。提示：y=-x+x+2x,∴y′=-3x+2x+2.所求直线与直线y=x平行.∴k=1.令y′=1,即3x－2x－1=0,(3x+1)(x－1)=0,x=－或1,x=－时,y=(－)+－=－,x=1时, y=-1+1+2×1=2.故切点为A,B(1,2)。切线方程为:l:y+=x+,即x－y－=0,l:y－1=x－2,即x-y+1=0,两切线间的距离为:d==.7.（-3，2）；8.,9.,10.,11.（1）EF=DM+DN-MF-EN=（）（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角（），平板车的长度不能超过，即平板车的长度；记，有=，===，此后研究函数的最小值，方法很多；如换元（记，则）或直接求导，以确定函数在上的单调性；当时取得最小值。12.解析本题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力．（Ⅰ）,曲线在点处的切线方程为.（Ⅱ）由，得，若，则当时，，函数单调递减，46/46\n当时，，函数单调递增，若，则当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，若，则当且仅当，即时，函数内单调递增，综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.2.,13.（1）． 当时，，在上单调递增； 当时，时，，在上单调递减；时，，在上单调递增．综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）充分性：a=1时，由（1）知，在x=1处有极小值也是最小值，即。而在上单调递减，在上单调递增，在上由唯一的一个零点x=1．必要性：=0在上有唯一解，且a>0,由（1）知，在x=a处有极小值也是最小值f(a)，f(a)=0,即．令，．当时，，在上单调递增；当a>1时，，在上单调递减。，=0只有唯一解a=1．46/46\n=0在上有唯一解时必有a=1．综上：在a>0时，=0在上有唯一解的充要条件是a=1．（3）证明：∵1<x<2,∴.令，∴，由（1）知，当a=1时，，∴，∴．∴，∴F（x）在（1，2）上单调递增，∴，∴。∴．14.（Ⅰ），又，处的切线方程为（Ⅱ），令，则上单调递增，上存在唯一零点，上存在唯一的极值点取区间作为起始区间，用二分法逐次计算如下区间中点坐标中点对应导数值取区间10.60.346/46\n由上表可知区间的长度为0.3，所以该区间的中点，到区间端点距离小于0.2，因此可作为误差不超过0.2的一个极值点的相应x的值。取得极值时，相应（Ⅲ）由，即，，令令上单调递增，，因此上单调递增，则，的取值范围是第37课：定积分一、课前热身（1）（2），（3），（4），（5），（6）18二、教材回归1.分割；以直代曲;求和；逼近46/46\n2.定积分；定积分；；被积函数；积分区间；积分下限；积分上限；3.曲线与x轴所围成图形面积4.三、同步导学例1（1）;(2)1；（3）例2（1）由图形可知二次函数的图象过点（0，0），（8，0），并且f(x)的最大值为16则，∴函数f（x）的解析式为（2）由得∵0≤t≤2，∴直线l1与f（x）的图象的交点坐标为（由定积分的几何意义知：例3（Ⅰ）易得曲线的方程为由，得点，又由已知得故（Ⅱ）【课堂互动】1.，2.3，3.，4.，5.③，6.（1）切线的方程；（2）面积【好题精练】46/46\n1.0，2.46，3.，4.，5.，6.,7.0.18,8.,9.,10.,11.12.,46/46\ny=axy=x21a1ay=x2y=ax图2图1故函数无最小值。当时，显然无最小值。13.（1）设，则又已知∴∴又方程有两个相等实根∴判别式，即故（2）依题意，有所求面积（3）依题意，有∴46/46\n，∴，于是14.解法一：将四棱台ABCD－A′B′C′D′补为四棱锥V－ABCD，设点V到面A′B′C′D′的距离为h′．由即所以，所以四棱台ABCD－A′B′C′D′的体积为．解法二：作一与上下底面平行的平面截得四边形的面积为S，它与上底面的距离为x，，．，，．46/46
