专题四 解析几何、坐标系与参数方程时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(导学号：05856057)(2022·黑河调研)已知过两点A(1,2a)，B(－a,2)的直线的斜率为1，则a＝( )A．1B．2C．3D．42．(导学号：05856058)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于( )A．11B．9C．5D．33．(导学号：05856059)(2022·上饶联考)“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．(导学号：05856060)(2022·泉州质检)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )A．内切B．相交C．外切D．相离5．(导学号：05856061)(2022·潭州调研)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|＋|PB|的取值范围是( )A．[，2]B．[，2]C．[，4]D．[2，4]6．(导学号：05856062)(2022·济宁二模)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞14/14\n0)的左、右焦点为F1、F2，离心率为，过F2的直线l交C于A、B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方程为( )A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋＝1D.＋＝17．(导学号：05856063)(2022·株州联考)已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，过点A的直线与C在第一象限相切于点B，记C的焦点为F，则直线BF的斜率为( )A.B.C.D.8．(导学号：05856064)(2022·黄石调研)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝19．(导学号：05856065)(2022·江门质检)已知a＞b＞0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )A．x±y＝0B.x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝010．(导学号：05856066)(2022·湘潭调研)已知抛物线y2＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x－4y＋9＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是( )A.B.C．2D.11．(2022·宜宾质检)已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则14/14\nC的离心率为( )A.B.C.D.12．(导学号：05856067)(2022·黄岗调研)已知抛物线y2＝2px的焦点F与双曲线－＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x轴交于点K，点A在抛物线上且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为( )A．4B．8C．16D．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(导学号：05856068)(2022·百色联考)已知双曲线－y2＝1(a＞0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________.14．(2022·天水二模)若直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r＞0)相交于A，B两点，且∠AOB＝120°(O为坐标原点)，则r＝________.15．(2022·阳江调研)若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且只有两个点到直线4x－3y＝2的距离等于1，则半径r的取值范围是________．16．(导学号：05856070)(2022·苏州质检)已知椭圆C：＋＝1，点M与C的焦点不重合．若M关于C的焦点的对称点分别为A，B，线段MN的中点在C上，则|AN|＋|BN|＝________.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(导学号：05856071)(本小题满分10分)(2022·鸡西联考)如图，射线OA，OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P(1,0)作直线AB分别交OA，OB于A，B两点，当AB的中点C恰好落在直线y＝x上时，求直线AB的方程．14/14\n18.(导学号：05856072)(本小题满分12分)(2022·安顺摸底考试)已知圆C：x2＋(y－a)2＝4，点A(1,0)．(1)当过点A的圆C的切线存在时，求实数a的取值范围；(2)设AM、AN为圆C的两条切线，M、N为切点，当MN＝时，求MN所在直线的方程．14/14\n19.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．20.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy中，直线l：y＝t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2＝2px(p＞0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.(1)求；(2)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由．14/14\n21.(导学号：05856073)(本小题满分12分)(2022·潍坊二模)如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，tan∠BCO＝.(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时，圆形保护区的面积最大．14/14\n22.(导学号：05856074)(本小题满分12分)(2022·泉州质检)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P(，)在椭圆E上．(1)求椭圆E的方程；(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.14/14\n专题四 解析几何、坐标系与参数方程1.C2．B 由题意知a＝3，b＝4，∴c＝5.由双曲线的定义有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6.∴|PF2|＝9.3．A 由题意可知解得a＝－2或a＝1，所以“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的充分不必要条件．4．B 由x2＋y2－2ay＝0(a＞0)得x2＋(y－a)2＝a2(a＞0)，所以圆M的圆心为(0，a)，半径为r1＝a，因为圆M截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，所以＝，解得a＝2，圆N的圆心为(1,1)，半径为r2＝1，所以|MN|＝＝，r1＋r2＝3，r1－r2＝1，因为r1－r2＜|MN|＜r1＋r2，所以圆M与圆N相交，故选B.5．B 易得A(0,0)，B(1,3)．设P(x，y)，则消去m得：x2＋y2－x－3y＝0，所以点P在以AB为直径的圆上，PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，令|PA|＝sinθ，|PB|＝cosθ，则|PA|＋|PB|＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋)．因为|PA|≥0，|PB|≥0，所以0≤θ≤.所以≤sin(θ＋)≤1，≤|PA|＋|PB|≤2.6．A 由椭圆的性质知|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a，∴△AF1B的周长＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4，∴a＝，∴c＝1，∴b2＝a2－c2＝2，∴椭圆的方程为＋＝1，故选A.7．D ∵A(－2,3)在抛物线y2＝2px的准线上，∴－＝－2，∴p＝4，∴y2＝8x，设直线AB的方程为x＝k(y－3)－2①，将①与y2＝8x联立，即，得y2－8ky＋24k＋16＝0②，则Δ＝(－8k)2－4(24k＋16)＝0②，即2k2－3k－2＝0，解得k＝2或k＝－(舍去)，将k＝2代入①②解得即B(8,8)，又F(2,0)，∴kBF＝＝，故选D.14/14\n8．D 根据椭圆的性质，c＝3，又过点F(3,0)和直线AB的中点(1，－1)的直线方程为x－2y－3＝0，联立方程组消去x，并整理得(a2＋4b2)y2＋12b2y＋9b2－a2b2＝0，所以y1＋y2＝－，因为＝－1，所以a2＝2b2，又因为a2－b2＝9，解得a2＝18，b2＝9，所以椭圆的标准方程为＋＝1.9．A 椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，化简：a4－b4＝a4，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.10．A d1＋d2＝|PF|＋d2≥|FQ|，|FQ|＝＝.11．A 由题意设直线l的方程为y＝k(x＋a)，分别令x＝－c与x＝0得|FM|＝k(a－c)，|OE|＝ka，由△OBE～△FBM，得＝，即＝，整理得＝，所以椭圆离心率为e＝.12．D 依题意知，抛物线焦点坐标为(4,0)．作AA′垂直抛物线的准线，垂足为A′，根据抛物线定义|AA′|＝|AF|，所以在△AA′K中，|AK|＝|AA′|，故∠KAA′＝45°，此时不妨认为直线AK的倾斜角为45°，则直线AK的方程为y＝x＋4，14/14\n代入抛物方程y2＝16x中得y2＝16(y－4)，即y2－16y＋64＝0，解得y＝8，A的坐标为(4,8)．故△AFK的面积为×8×8＝32.13. 双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为x＋y＝0，即y＝－x，因为a＞0，所以＝，所以a＝.14．2 如图直线3x－4y＋5＝0与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A、B两点，O为坐标原点，且∠AOB＝120°，则圆心(0,0)到直线3x－4y＋5＝0的距离为r，＝r，∴r＝2.故答案为2.15．(4,6) ∵圆心(3，－5)，直线4x－3y－2＝0，∴d＝＝5，∴4＜r＜6.16．12 设MN交椭圆点P，连接F1P和F2P(其中F1、F2是椭圆C的左、右焦点)，利用中位线定理可得|AN|＋|BN|＝2|F1P|＋2|F2P|＝2×2a＝4a＝12.17．由题意可得kOA＝tan45°＝1，kOB＝tan(180°－30°)＝－，所以直线lOA：y＝x，lOB：y＝－x.设A(m，m)，B(－n，n)，所以AB的中点C(，)，由点C在直线y＝x上，且A，P，B三点共线得解得m＝，14/14\n∴A(，)，又P(1,0)，∴kAB＝kAP＝＝，∴lAB：y＝(x－1)，即直线AB的方程为(3＋)x－2y－3－＝0.10分18．(1)过点A的切线存在，即点A在圆外或圆上，∴1＋a2≥4，∴a≥或a≤－.4分(2)设MN与AC交于点D，O为坐标原点．∵MN＝，∴DM＝.又MC＝2，∴CD＝＝，∴cos∠MCA＝＝∵AC＝＝，∴OC＝2，AM＝1，MN是以点A为圆心，半径AM＝1的圆A与圆C的公共弦，圆A的方程为(x－1)2＋y2＝1圆C的方程为x2＋(y－2)2＝4，或x2＋(y＋2)2＝4，∴MN所在直线的方程为：(x－1)2＋y2－1－x2－(y－2)2＋4＝0，即x－2y＝0或(x－1)2＋y2－1－x2－(y＋2)2＋4＝0，即x＋2y＝0，因此，MN所在直线的方程为x－2y＝0或x＋2y＝0.12分19．(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.联立解得或∴C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和(，).6分(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.因此A的极坐标为(2sinα，α)，14/14\nB的极坐标为(2cosα，α)．∴|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4|sin(α－)|.当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.12分20．(1)由已知得M(0，t)，P(，t)．又N为M关于点P的对称点，故N(，t)，ON的方程为y＝x，代入y2＝2px整理得px2－2t2x＝0，解得x1＝0，x2＝，因此H(，2t)，∴N为OH的中点，即＝2.6分(2)直线MH与C除H以外没有其它公共点．理由如下：直线MH的方程为y－t＝x，即x＝(y－t)．代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0，解得y1＝y2＝2t，即直线MH与C只有一个公共点．∴除H以外直线MH与C没有其它公共点.12分21．(1)如图，以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.由条件知A(0,60)，C(170,0)，直线BC的斜率kBC＝－tan∠BCO＝－.又∵AB⊥BC，∴直线AB的斜率kAB＝.设点B的坐标为(a，b)．则kBC＝＝－，kAB＝＝.解得a＝80，b＝120.∴BC＝＝150.因此新桥BC的长是150m.6分14/14\n(2)设保护区的边界圆M的半径为rm，OM＝dm(0≤d≤60)．由条件知，直线BC的方程为y＝－(x－170)，即4x＋3y－680＝0.由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，即r＝＝.∵O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80m，∴即解得10≤d≤35.故当d＝10时，r＝最大，即圆面积最大．∴当OM＝10m时，圆形保护区的面积最大.12分22．(1)由已知，a＝2b.又椭圆＋＝1(a＞b＞0)过点P(，)，故＋＝1，解得b2＝1.∴椭圆E的方程是＋y2＝1.4分(2)设直线l的方程为y＝x＋m(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组得x2＋2mx＋2m2－2＝0，……①方程①的判别式为Δ＝4(2－m2)，由Δ＞0，即2－m2＞0，解得－＜m＜.由①得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2.∴M点坐标为(－m，)，直线OM方程为y＝－x，由方程组得C(－，)，D(，－)．14/14\n∴|MC|·|MD|＝(－m＋)·(＋m)＝(2－m2)．又|MA|·|MB|＝|AB|2＝[(x1－x2)2＋(y1－y2)2]＝[(x1＋x2)2－4x1x2]＝[4m2－4(2m2－2)]＝(2－m2)．∴|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.12分14/14
