大学《概率论与数理统计》期末考试试题一、填空题（3×5=15）1．设A，B互斥，已知P(A)=α，P(B)=β，则α2．设DX=4，DY=9，D（2X-3Y）=61，则ρXY=1/23．设为来自正态总体的样本,则服从t(3) 分布4．设总体X~P(λ)（泊松分布），则=矩估计量5．已知总体X~N(μ，)，（X1，…，Xm）是来自X的样本，其样本修正方差为。当μ未知时，对假设H0，，H1：进行检验，这时可构造统计量，其拒绝域为应该给出显著水平二、单项选择题（3×5=15）1．由0，1，2，…，9共10个数字组成7位的电话号码，A=“不含数字8和9”，则P(A)=（D）（A）（B）（C）（D）2．若（X，Y）~N（μ1，μ2；，；ρ），下列命题错误的是（D）（A）X~N（μ1，）且Y~N（μ2，）（B）若X，Y独立，则X、Y不相关（C）若X、Y不相关，则X、Y独立（D）f(x，y)=fX(x)fY(y)对任意的x∈R,y∈R，成立，其中fX(x),fY(y)分别是X与Y的密度，f(x,y)为(X，Y)的联合密度3．设X1，X2，…Xn，为正态总体（μ，σ2），
分别为样本均值，样本方差，样本修正方差，则（C）（A）（B）（C）（D）4．设随机变量T~t(n)，则~（B）分布（A）χ2(n)（B）F(n,1)（C）F(1,n)（D）F(n-1,1)5．对正态总体的均值μ进行假设检验，如果在显著性水平0.05下，接受原假设H0：μ=μ0，那么在显著性水平0.01下，下列结论正确的是（A）（A）必接受H0（B）可能接受H0也可能拒绝H0（C）必拒绝H0（D）不接受，也不拒绝H0三、（12分）设有一箱同规格的产品，已知其中由甲厂生产，由乙厂生产，由丙厂生产，又知甲、乙、丙三厂次品率分别为0.02，0.02，0.04。1、现从中任取一件产品，求取到次品的概率？2、现取到1件产品为次品，问它是甲、乙、丙三厂中哪个厂生产的可能性大？解:(1)设B为”取得一件是次品”A1为”取得的一件产品来自于甲”A2为”取得的一件产品来自于乙”A3为”取得的一件产品来自于丙”显然A1,A2,A3是导致B发生的原因,即B能且只能与A1,A2,A3之一同时发生.由于他们的次品率已知,即
而,这样由全概率公式得到(2)为了比较那个可能性更大,我们要求来自于每个厂的概率四、（10分）设随机向量（X、Y）的联合概率分布律为YX01210.060.090.1520.140.21α1、求常数α2、求P{X=Y}，P{Y<X}解:(1)因为0.06+0.09+0.15+0.14+0.21+α=1得到α=0.35(2)P(X=Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=2)=0.09+0.35=0.44
P(Y<X)=P(X=1,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=1)=0.06+0.14+0.21=0.41五、（8分）设随机变量X的概率密度函数为求DX。解：＝2／3DX=EX2-(EX)2=0.5-4/9六、（8分）设总体X~N（40，52），抽取容量为36的样本，求。解：由于n=36,所以＝七、（10分）为了估计灯泡使用时数的均值µ，测试10个灯泡，得到使用时数的平均值小时，修正标准差S*=20小时，如果已知灯泡使用时数服从正态分布，求µ的置信区间。（α=0.05）解：方差未知，检验均值，由于由题意有，n=10,,S*=20,α=0.05,1－α=0.95所以
查表得到＝2.26再解出其中均值的区间即可。八、（10分）有甲乙两台机床生产同一型号的滚珠，滚珠直径近似服从正态分布，从这两台机床的产品中分别抽取7个和9个，经算得滚珠直径的样本修正方差分别为=0.1695，=0.0325，问乙机床产品是否更稳定（方差更小）？（α=0.05）解：由题意知构造检验统计量由备择假设得到拒绝域形式为其中C为某个待决定的常数，又显著水平为0.05，这样可以完全确定C，如下等价的查表得到C＝3.58最后采用样本信息来计算F统计量得到F＝5.2>C从而说明样本计算的结果在拒绝域中，所以拒绝原假设，从而接受备择假设，即乙机床更稳定。九、（12分）根据某地区运货量Y（亿吨）与工业总产值X（百亿元）的时间序列资料（xi，yi）。i=1，2，…，10，经算得，，，，。
1、建立Y与X的样本线性回归方程2、对Y与X的线性相关性进行检验（α=0.05）附表：Φ(1.96)=0.975,Φ(2.4)=0.991802,Φ(3.6)=0.999841T～t(9)P{T<1.83}=0.95,P{T<2.26}=0.975F~F（6，8）P{F<3.58}=0.95P{F<4.32}=0.975F~F（7，9）P{F<3.29}=0.95P{F<4.20}=0.975F~F（1，8）P{F<5.32}=0.95P{F<7.57}=0.975相关系数检验：λ0.05(8)=0.632，λ0.05(9)=0.602，λ0.05(10)=0.57一、填空题（每小题3分，共15分）设随机变量X与Y相互独立且具有同一分布律p{X=-1}=p{X=1}=1/2,则p{XY=1}=____1/2___。已知X的密度函数为，则DX=____0.5____。EX=1,X=N(1,)设随机变量T服从t(n),则服从___F(1,n)____分布.设为来自总体的样本,则服从____1/2t(4)___分布。设总体X~,则参数的最大似然估计量=_______。二、单项选择题（每小题3分，共15分）１、设Ａ，Ｂ是两个概率不为零的不相容事件，下列结论肯定正确的是（ D）
(A)(B)p(AB)=P(A)P(B)(C)A与B相容(D)P(A-B)=P(A)2、设cov(X,Y)=(B)(A)-1(B)-2(C)2(D)13、设为来自总体X的样本，且EX=μ>0，DX=>0,按无偏性，有效性标准，下列μ的点估计量中最好的是（C）(A)(B)(C)(D)4、在假设检验中，显著性水平为，则下列等式正确的是（D）（A）（B）（C）（D）5、一元线性回归模型是（C）（A）（B）（C）（D）三、（12分）一袋中装有同样大小的球10个，其中7个为黑球，3个白球，采用不放回每次取一球，求下列事件的概率。第三次才取到白球，前三次至少有一次取到白球。解：（1）设第i次得到白球为Ai，这样第三次才取得白球的事件为这样
现在，，所以（2）先求一次也没有得到白球的概率，事件为其概率为这样至少取得一次的概率为1－＊。四、（10分）设二维随机变量（X，Y）具有概率密度函数确定常数k；求（X,Y）的边缘密度函数；问X,Y是否独立。解：(1)由于得到k=12,(2)边缘密度为
（3）由于所以相互独立！五、（8分）设随机变量X的概率密度为求EX2。解：六、（8分）设总体X服从，抽取容量为16样本，求。解：因为n=16,所以从而，
七、（10分）某种元件寿命X近似服从，抽查10只元件，测算出寿命样本的标准差S=20。求元件的寿命方差σ2的置信水平0.95的置信区间。解：由于方差未知，八、（10分）某种商品的价格,某天在市场随机抽查10件，得到该种商品价格的样本均值元，样本标准差=8元。问这天市场上，这种商品价格均值是否偏高？（α=0.05）九、（12分）据某地区居民收入X与消费支出Y的10组数据,算得，，，，。建立Y与X的样本线性回归方程；检验Y与X的线性相关关系（α=0.05）。解：（1）由已知条件得到
这样得到样本线性回归方程为：（2）计算样本相关系数得拒绝原假设H0,说明x,y之间存在线性相关关系。附表：N（0，1）分布函数值x1.61．6451．962Φ(x)0.94520.950.9750.977T~t(8):p{T<1.86}=0.95p{T<2.31}=0.975T~t(9):p{T<1.83}=0.95p{T<2.26}=0.975P{}=0.025P{}=0.05P{}=0.1P{}=0.9P{}=0.95P{}=0.975P{}=0.025P{}=0.05P{}=0.1P{}=0.9P{}=0.95P{}=0.975p{F<5.32}=0.95p{F<7.57}=0.975相关系数检验：(8)=0.632(9)=0.602(10)=0.576
一、填空题：（3×5＝15）1、设两事件A、B相互独立，且P（A）＝0.3，P（B）＝0.4，则P（A∪B）＝2、设随机变量X~N（-2，4），则E（2X2+5X）=E｛2（X+2）2－3X－8｝＝2＊4＋6－8＝63、设（X1，X2，X3，X4）为来自正态总体，则服从t(2)分布4、设总体X的概率密度函数为f(x;θ)＝，而X1，X2…，Xn为来自总体X的样本，则未知参数θ矩估计量为5、进行方差未知的单个正态总体的均值假设检验时，针对假设为，，可构造的统计量为t分布，其拒绝域为二、单项选择题（3×5＝15）1、设A、B为两个互斥事件，且P(A)P(B)>0，则结论正确的是（C）（A）P(B|A)>0，（B）P(A|B)＝P(A)（C）P(A|B)＝0,（D）P(AB)＝P(A)P(B)2、设，则为（D）（A）0.3（B）0.4(C)0.5(D)0.63、X服从正态分布，EX＝-2，EX2＝5，，则服从的分布为（A）（A）（B）（C）（D）4、设为来自正态总体的样本，均未知，
的置信水平0.95的置信区间为（B）（A）（B）（C）（D）5、在假设检验中，原假设H0，备择假设H1，显著性水平α，则检验的功效是指（B）（A）P{接受H0|H0不真}（B）P{拒绝H0|H0不真}（C）P{接受H0|H0真}（D）P{拒绝H0|H0真}三、（12分）同一种产品由甲、乙、丙三个厂家供应，由长期经验知，三家的正品率为0.95、0.90、0.80，三家产品数所占比例为2：3：5，现已混合一起，1、从中任取一件，求此件产品为正品的概率。2、现取到1件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个生产的可能性大？类似04－5A考题。解:(1)设B为”取得一件是正品”A1为”取得的一件产品来自于甲”A2为”取得的一件产品来自于乙”A3为”取得的一件产品来自于丙”显然A1,A2,A3是导致B发生的原因,即B能且只能与A1,A2,A3之一同时发生.由于他们的次品率已知,即而,这样由全概率公式得到
(2)为了比较那个可能性更大,我们要求来自于每个厂的概率来自于丙的概率更大！！！！！四、（10分）设二维随机向量（X，Y）具有概率密度为1、确定常数C；2、求（X，Y）的边缘密度函数；3、问X，Y是否独立。解：c=1五、（8分）设随机变量X的密度函数为
和，求EY。六、（8分）设总体X服从，抽取容量为16的样本，求.考过一次的!!!!!七、（10分）在一批元件中随机抽取256个，测得其寿命X的样本均值，样本修正标准差S*＝，试对这批元件的寿命均值EX＝μ进行区间估计（α＝0.05）解:由于总体未知,采用大样本由题意知n=256,,S*＝,对于给定的置信水平1-α=0.95,查表得到临界值所以,μ的置信水平为0.95的置信区间为(88-1.96*,88+1.96)即(86.04,89.96).即有95％的可靠性认为该批元件的寿命均值
在86.04和89.96小时之间。八、（10分）某个生产的滚珠直径正常情况下服从N（1.5,σ2）分布，某日抽取10个，测算它样本均值，样本标准差S＝0.088。能否认为该日生产的滚珠直径均值为1.5（α＝0.05）？九、（12分）抽样考查松树高度与直径的关系，测得12棵松树的高度为Y和直径X之间观测数据（xi，yi），i=1,2,…,12,，，，，1、求Y与X的样本线性回归方程2、对Y与X的线性相关关系进行检验（α＝0.05）附表：N（0，1）分布函数值x1.61.6451.962Ф(x)0.94520.950.975.0.97725T~t(8)P{T,P{TT~t(9)P{T,P{Tχ2~χ2(15)P{χ2<6.26}=0.025,P{χ2,P{χ2F~F(1,10)P{F相关系数检验表：λ0.05(10)=0.576，λ0.05(11)=0.553，λ0.05(12)=0.5326
一．填空题（3分5＝15分）1.c=4,=,=。2.，＝，=0.5。3.，。EX=np,DX=npq4.，，。除以自由度5.弃真，纳伪。弃真。二．单项选择题（3分5＝15分）1．B；2．（D）；3．（A）要乘n；4．（D）；5．（C）三．（10分）解答：设＝第k个灯的亮灯个数，则01p且相互独立，四．（10分）解答：设，，独立同分布。所以据中心极限定理：或所以：＝
五．（10分）解答：，，且，相互独立所以：，即所以:=2[1-]＝2（1-0.921）＝0.158六．（10分）解答：所以：即：七．（10分）解答：为大样本，，，的置信水平0.95的置信区间为：其一个实现为：，
八．（10分）解答：的拒绝域：3.3<8.1接受，认为新工艺处理后的方差与旧工艺相同。九．（10分）解答：（1）n=10所以：（2）＝0.9446认为。一．填空题（3分5＝15分）1.若为来自总体的样本，
服从区间[0,2]上的均匀分布，则＝1,=1／6,=7／6。2.掷10枚均匀的硬币，记＝正面向上的硬币数，＝背面向上的硬币数，则＝10＊（1／4），=-1，＝-10＊（1／4）。X+Y=103.若二维随机向量，则＝0，=2，N(0,2)分布。4.设为来自总体的样本，记，，，则分布，t(8)分布，F(8,8)分布。5.总体，。与分别为来自与的两个相互独立的样本，给定显著性水平，若检验的原假设，备择假设，则检验用的统计量＝，在为真时F(8,10)分布，的拒绝域。期望已知p219二．单项选择题（3分5＝15分）1．设有随机变量与，且，，则的充分必要条件是（D）（A）与相互独立（B）与不是相互独立（C）（D）2．设总体,为来自的样本，，则随着的增大，（C）标准化了？（A）单调增加（B）单调减少（C）保持不变（D）不能确定
3．为来自总体的样本，若＝，则（A）（A）0（B）1（C）（D）4．为来自总体的样本，未知，下列区间哪一个不是的置信度0.95的置信区间（B）(下面的显著水平和应为1)（A）（B）（C）（D）5．设总体,为来自的样本，原假设，备择假设，显著性水平，若在＝0.01下拒绝，则在＝0.05下，（A）（A）必拒绝（B）必接受（C）可能接受也可能拒绝（D）以上选项都不对三．（10分）设随机变量，，与的相关系数=，随机变量。（1）求，（2）求解：由题意知EZ=(1/3)EX+(1/2)EY=1/3DZ=(1/9)DX+(1/4)DY+2*(1/6)cov(X,Y)=1+4+2*(1/6)*(-1/2)*3*4=3Cov(Z,X)=E(Z-EZ)(X-EX)=E((1/3)X+(1/2)Y-(1/3))(X-EX)
四．（10分）某厂有同类机床400台，某一时刻一台机床停工的概率为0.2，各机床工作相互独立，求该厂同时停工的车床数的分布，并求该厂同时停工的车床数在72至88之间的概率。（根据中心极限定理作近似计算）解：设X1，X2，…,X400为每一台机床对应是否停工的随机变量，其取两个值1为停工概率为0.2，否则为0，这样停工的机床总数为X＝X1＋X2＋…＋X400由于机床工作相互独立，所以X满足二项分布B(400,0.2),又EXi=0.2*1+0.8*0i=1,…,400,DXi=0.2*0.8=0.16EX=400*0.2=80DX=400*0.16=64根据中心极限定理有,所以X在72至88之间的概率为答…..五．（10分）设总体,为来自总体的样本，记，，（1）求，（2）求，解：（1）由题意知
（2）E(S2)=(n-1)/n4=(8/9)*4D(S2)=2/(n-1)*24=六．（10分）设总体的密度函数为为未知参数，为来自的样本，求的最大似然估计量。解：由题意为了解题方便,取对数得得到一阶条件所以得到最大似然估计量为:七．（10分）设轮胎寿命近似服从正态分布，抽取16只进行测试算得样本均值，样本修正均方差，试其寿命均值的置信度0.95的置信区间。解:由于方差未知,估计正态总体的均值,有这里,n=16,,,对于给定的置信度0.95,有
查表得:从而得到均值的置信区间为即八．（10分）某种药物的指标正常情况下服从正态分布，某日抽查25个样品，测得样本方差，能否认为该日生产的药物质量不稳定（方差增大）？（）单个总体检验方差，不考！九．（10分）据某地人均消费支出与人均收入的10组数据为，，算得：，，，，（1）建立的样本线性回归方程；（2）检验是否线性相关。（）
附表表1.分布函数值表x11.6451.9620.84130.950.9750.97725表2.r.v.，表3.r.v.,表4.相关系数检验表一、填空题（3×5=15）1．设互斥,已知2．为其分布函数,则3．设随机变量的概率密度为则。4．已知随机变量则概率5．设总体的概率密度函数为，而为来自总体的样本,则参数矩估计量为，参数矩估计量为
二、单项选择题（3×5=15）1．设为为两个随机事件，则必有（）（A）（B）（C）（D）2．设随机变量,则()分布(A)（C）（B）（D）3．设是来自总体的一个样本，且按无偏性,有效性标准,下列的点估计量中最好的是（A）(B)(C)（D）4．在假设检验中，显著性水平为则下列等式正确的是（）（A）（B）（C）（D）5．设为来自正态总体的样本，已知，的置信水平0.95的置信区间为（）
（A）（B）（C）（D）三、（计算题）（10分）将两信息分别编码为A和B传送出去，接收站收到时，A被误作B的概率为0.02，而B被误作A的概率为0.01.信息A与信息B传送的频繁程度为2：1，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？四．（计算题）（10分）袋中有分别标有1，2，3，4的四只小球，依次袋中任取二球（不放回抽取）,以分别表示第一次，第二次取到的球所标的数码，求：（1）的联合分布律;(2)关于的边缘分布律，且判断随机变量与是否相互独立五、计算题：（10）设随机变量的密度函数为已知EX=1,求（1）A,B的值；（2）设求EY,DY.六、（计算题）（10分）已知某种电子元件的使用寿命服从指数分布，其分布密度为
试求未知参数的最大似然估计量七、计算题：（10分）某糖厂用自动打包糖果，设每包糖果的重量服从正态分布，从包装的糖果中随机抽测9包，获得每包的重量数据（单位：克）如下：99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，99.5，102.1，100.5，由样本值计算得样本方差求每包糖果平均重量的0.95的置信区间八、计算题（10）有两台机床生产同一型号的滚珠，滚珠直径近似服从正态分布，从这两台机床的产品中分别抽取7个和9个，测得滚珠直径如下：甲机床：15.2，14.5，15.5，14.8，15.1，15.6，14.7乙机床：15.0，15.2，14.8，15.2，14.9，15.1，14.8，15.3，15.0由样本值计算得问乙机床产品是否更稳定（取九、计算题：（10分）为判断食品支出与城市居民家庭收入之间是否存在线性相关关系,抽查了10个城市的数据,由调查数据算得，，，，。1、建立食品支出对城市家庭收入的样本线性回归方程
2、利用相关系数检验食品支出与城市家庭收入是否线性相关验（α=0.05）附表：Φ(1)=0.8413,Φ(1.41)=0.921,Φ(1.645)=0.95Φ(1.96)=0.975Φ(2)=0.97725相关系数检验：λ0.05(8)=0.632，λ0.05(9)=0.602，λ0.05(10)=0.576一．填空题1.0.42.13.3/24.0.68265.二．单项选择题ABCDD三计算题解：设C表示事件“将信息A传递出去”则事件“将信息B传递出去”以D表示事件“接收到信息A”则事件“接收到信息B”（2分）
依题意知：(4分)根据逆概公式：（8分）（10分）四．计算题：解：（1）随机向量的可能取值为（1,2）,（1,3）,（1,4）,（2,1）,（2,3）,（2,4）,（3,1）,（3,2）,（3,4）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,(1分)（6分）的联合发布律1234101/121/121/1221/1201/121/1231/121/1201/1241/121/121/120（7分）（2）关于的边缘分布律
12341/41/41/41/4(8分)12341/41/41/41/4(9分)不相互独立(10分)五、计算题解：（1）由可得：（2分）由可得：（4分）(5分)（2）(6分)(7分)(8分)(10分)六．计算题解：设样本的一组观测值为则似然函数为:(1分)(4分)当时,对数似然函数为:(6分)
令(8分)解得:(9分)未知参数的最大似然估计量:(10分)七.计算题:解:方差未知,估计正态总体均值的置信区间因为（4分）由于由分布临界值可查得临界值（5分）所以的置信度为0.95的置信区间为（8分）即(99.05,100.91),于是在置信水平0.95下每包糖果平均重量的0.95的置信区间为(99.05,100.91)（10分）八.计算题解:设甲,乙两机床的产品直径分别为检验等价于检验（2分）构造统计量（4分）的拒绝域:查表得：（6分）由样本数据算的：（8分）拒绝，认为乙机床产品比甲机床更稳定。（10分）九．计算题
（7分）（2）（8分）查表得：（9分）拒绝，即认为食品支出域城市家庭收入之间存在线性相关关系。（10分）
