（新高考）此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号2021-2022学年上学期高三第一次月考备考金卷数学（A）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，集合，集合，根据补集的概念及运算，可得，故选C．2．已知复数，，则的虚部为（）A．B．C．D．【答案】B
【解析】，故虚部为，故选B．3．“点，到直线的距离相等”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为点，到直线的距离相等，所以，所以或．因为“或”是“”的必要非充分条件，所以“点，到直线的距离相等”是“”的必要非充分条件，故选B．4．碳14是碳的一种具有放射性的同位素，它常用于确定生物体的死亡年代，即放射性碳定年法．在活的生物体内碳14的含量与自然界中碳14的含量一样且保持稳定，一旦生物死亡，碳14摄入停止，机体内原有的碳14含量每年会按确定的比例衰减（称为衰减期），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．1972年7月30日，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土，该女尸为世界考古史上前所未见的不腐湿尸，女尸身份解读：辛追，生于公元前217年，是长沙国丞相利苍的妻子，死于公元前168年．至今，女尸碳14的残余量约占原始含量的（）（参考数据：，，）A．B．C．D．【答案】C【解析】每经过5730年衰减为原来的一半，
生物体内碳14的含量与死亡年数之间的函数关系式为．现在是2021年，所以女尸从死亡至今已有年，由题意可得，因为，所以，故选C．5．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（）A．AB与CF成45°角B．BD与EF成45°角C．AB与EF成60°角D．AB与CD成60°角【答案】D【解析】由题意得，将正方体的平面展开图还原为正方体，如图，CF和BD平行，AB垂直与BD，所以AB与CF成角，故A错误；BD与CF平行，CF垂直与EF，所以BD与EF成角，故B错误；EF与CG平行，AB与CG成角，所以AB与EF成角，故C错误；CD与AE平行，在三角形AEB中，AE=EB=AB，所以，所以AB与CD成角，故D正确，故选D．6．设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则
的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由正弦定理得，因为为锐角三角形，所以，即，所以，所以，所以的取值范围是，故选A．7．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【答案】A【解析】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以，又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率，故选A．8．已知函数，实数，满足不等式，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴，∴函数关于对称，又，∵，∴，∴恒成立，则是增函数，∵，∴，∴，得，故选A．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则（）A．B．展开式中没有常数项C．展开式所有二项式系数和为1024D．展开式所有项的系数和为256【答案】BD【解析】因为只有第5项的二项式系数最大，且第5项的二项式系数为，所以，A错误；因为，，因为，所以展开式中没有常数项，B正确；展开式所有二项式系数和为，C错误；令，可得展开式所有项的系数和为，D正确，故选BD．10．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，下列结论正确的是（）A．2个球都是红球的概率为B．2个球中恰有1个红球的概率为C．至少有1个红球的概率为D．2个球不都是红球的概率为【答案】AB【解析】对于A选项，2个球都是红球的概率为，A选项正确；对于B选项，2个球中恰有1个红球的概率为，B选项
正确；对于C选项，至少有1个红球的概率为，C选项错误；对于D选项，2个球不都是红球的概率为，D选项错误，故选AB．11．已知函数的图象经过点，则（）A．点是函数的图象的一个对称中心B．函数的最小正周期是C．函数的最大值为2D．直线是图象的一条对称轴【答案】ACD【解析】因为函数的图象经过点，所以，得，因为，所以，所以，因为图象的对称中心是点，
所以令，得，当时，，所以点是函数图象的一个对称中心，所以A正确；因为函数的最小正周期，所以B错误；因为，所以的最大值为2，所以C正确；因为图象的对称轴方程是，，所以令，，得，，当时，，所以直线是函数图象的一条对称轴，所以D正确，故选ACD．12．在数学课堂上，为提高学生探究分析问题的能力，教师引导学生构造新数列：现有一个每项都为1的常数列，在此数列的第项与第项之间插入首项为2，公比为2的等比数列的前项，从而形成新的数列，数列的前项和为，则（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】设介于第个1与第个1之间或者为这两个1当中的一个，则从新数列的第1个1到第个1一共有项，
从新数列的第1个1到第个1一共有项，所以，解得，而，所以，故A正确，B错误；，令，则，，，所以，故D正确，C错误，故选AD．第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知，，则的取值范围是________．【答案】【解析】，，，，的取值范围是，故答案为．14．已知关于，的一组数据：
根据表中这五组数据得到的线性回归直线方程为，则的值为________．【答案】【解析】由题意，根据表格中的数据，可得，，即样本中心为，则，即，解得，故答案为．15．已知平面向量，，是单位向量，且，则的最大值为_________．【答案】【解析】因为，所以，如图建系，设，，，因为，所以终点为单位圆上任意一点，又，所以，表示点与点间的距离，由图可得，当位于图中B点时，点B与点A间的距离最大，且为，
所以的最大值为，故答案为．16．已知定义在上的函数为增函数，且函数的图象关于点成中心对称，若实数、满足不等式，则当时，的最大值为_________．【答案】【解析】函数的图象关于点成中心对称，则函数的图象关于原点对称，所以，函数为奇函数，且该函数在上为增函数，由，得，，，则有，不等式组所表示的平面区域如下图所示的，联立，得，可得点，同理可得点，代数式可视为点到平面区域内的动点的距离的平方，由图象可知，当点与点或点重合时，取最大值，故答案为．
四、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，角，，所对的边分别是，，，且．（1）求证：三内角，，成等差数列；（2）若的面积为，，求的周长．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）由正弦定理得，，，又，所以，所以，，所以，所以，所以成等差数列．（2）由题意，，又，由正弦定理得，由，解得（边长为正，负的舍去），，所以三角形周长为．18．（12分）已知数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因为，所以，所以数列是以4为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，当时，，当时也成立，所以．（2）令，所以数列前项和．19．（12分）如图，四棱锥的底面是边长为6的正方形，．（1）证明：；（2）当四棱锥的体积为时，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）证明：分别取，的中点，，连接，，，∵，∴，∵，∴，∵，，∴平面，∵平面，∴，在中，∵垂直平分，∴，∵，，∴，∴．（2）由（1）知，平面平面，在上取一点O，连接，使，则是四棱锥的高，∵，解得，∵，则，即O为正方形的中心，以O为坐标原点，过点O且垂直于的直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，，设平面的法向量，则，取，，；设平面的一个法向量，则，取，，则，设二面角的平面角为，则，∴二面角的正弦值为．20．（12分）2021年五一节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握五一节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费站点记录了3日上午9:20~10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费站点，它们通过该收费站点的时刻的频率分布直方图如下图所示，其中时间段9:20~9:40记作，9:40~10:00记作，10:00~10:20记作，10:20~10:40记作，例如：9:46，记作时刻46．
（1）估计这600辆车在9:20~10:40时间内通过该收费站点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20~10:00之间通过的车辆数为X，求X的分布列；（3）根据大数据分析，车辆在每天通过该收费站点的时刻T服从正态分布，其中可用3日数据中的600辆车在9:20~10:40之间通过该收费站点的时刻的平均值近似代替，用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）．假如4日上午9:20~10:40这一时间段内共有1000辆车通过该收费站点，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数（结果保留到整数）．附：若随机变量T服从正态分布，则，，．【答案】（1）10:04；（2）答案见解析；（3）819．【解析】（1）这600辆车在9:20~10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为：，即10:04．（2）由频率分布直方图和分层抽样的方法可知，抽取的10辆车中，在10:00前通过的车辆数就是位于时间分组这一区间内的车辆数，即，所以X的可能取值为0，1，2，3，4．所以；；；；，
所以X的分布列为：01234（3）由（1）得，．所以，估计在9:46~10:40之间通过的车辆数也就是在通过的车辆数，由，得，所以估计在9:46~10:40之间通过的车辆数为．21．（12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆的上､下顶点分别为，，左焦点为F，左顶点为A，椭圆过点，且．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过左焦点F且斜率为的动直线l与椭圆C交于P､Q两点，试问在x轴上是否存在一个定点M，使得x轴为的平分线？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）存在，坐标为．
【解析】（1）由题意，椭圆，可得，，，，则，，所以，即，又因为椭圆过，所以，联立可得，，所以椭圆的方程为．（2）由题意设直线的方程为，，，，联立方程组，整理得，所以，，若轴为的平分线，得，所以，所以，所以，所以，所以，整理得，因为直线l为动直线，所以，即，故存在满足条件的定点M，其坐标为．22．（12分）已知函数．
（1）判断的单调性；（2）若，求证．【答案】（1）在上单调递增；（2）证明见解析．【解析】（1）函数的定义域为，因为，，所以，所以当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增，则当时，取得极小值，也是它的最小值，所以，所以，则在上单调递增．（2）因为，所以不妨设，所以要证，只需证．因为，所以只需证，只需证，只需证．设，则，，则，所以当时，，在上单调递减，则，
所以在上单调递增，则，即，所以．
