2021-2022学年辽宁省沈阳134中八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分）1．下列实数中，无理数是（ ）A．0B．C．﹣2D．2．下列运算正确的是（ ）A．＝3B．＝3C．＝±3D．3﹣2＝13．下列表述能确定物体具体位置的是（ ）A．敬业小区B．胜利南街右边C．北偏东30°D．东经118°，北纬28°4．下到方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A．B．C．D．5．已知△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，则△ABC的形状是（ ）A．等腰三角形或直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形6．如图所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，AP＝AC，则数轴上点P所表示的数是（ ）A．2B．﹣2C．2﹣1D．1﹣27．已知图形A在y轴的右侧，如果将图形A上的所有点的横坐标都乘﹣1，纵坐标不变得到图形B，则（ ）A．两个图形关于x轴对称
B．两个图形关于y轴对称C．两个图形重合D．两个图形不关于任何一条直线对称8．如图，等腰直角△OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝2，则点B坐标为（ ）A．（1，1）B．（，1）C．（，）D．（1，）9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象如图所示，观察图象可得（ ）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜010．对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论中正确的是（ ）A．函数值随自变量的增大而增大B．点（4﹣a，a）在该函数的图象上C．函数的图象与直线y＝﹣x﹣2平行D．函数图象与坐标轴围成三角形的周长为6+2二、填空题（每小题3分，共18分）11．若x＜﹣1＜y且x，y是两个连续的整数，则x+y的值是 ．12．若y＝+4，则x2+y2的算术平方根是 ．13．在一次函数y＝﹣2x+5图象上有A（x1，y1）和A（x2，y2）两点，且x1＞x2，则y1 y2（填“＞，＜或＝”）．14．小明从邮局买了面值0.5元和0.8元的邮票共9枚，花了6.3元，小明买了两种邮票各多少枚？若设买了面值0.5元的邮票x枚，0.8元的邮票y枚，则根据题意可列出方程组为 ．
15．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知轿车比货车每小时多行驶10千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系．根据图象提供的信息，下列说法正确的是 ．①甲乙两地的距离为450千米②点A的实际意义是两车出发2小时相距150千米③x＝3时，两车相遇④货车的速度为90千米/小时16．已知长方形ABCD，AB＝6，BC＝10，M为线段AD上一点且AM＝8，点P从B出发以每秒2个单位的速度沿线段BC﹣CD的方向运动，至点D停止，设运动时间为t秒，当△AMP为等腰三角形时，t的值为 ．三、计算题（第17题6分，第18题8分，共14分）17．计算：（1）；（2）．18．解二元一次方程组：（1）；（2）．
四、解答题（19.20.21每题8分，22.23每题10分，24.25每题12分，共68分）19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，1），C（5，1）．（1）画出△ABC关于y轴的对称的△A1B1C1．（2）△A1B1C的面积为 ；（3）y轴上存在一点P使得△ABP的周长最小，点P的坐标为 ，周长最小值为 ．20．观察、发现：．（1）化简：＝ ；（2）直接写出：＝ ；（3）求值：．21．已知等腰三角形ABC的底边BC＝10cm，D是腰AB上一点，且CD＝8cm，BD＝6cm．（1）求证：CD⊥AB；（2）求该三角形的腰的长度．22．学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是：服装按单价打七折，但校方需承担1200元的运费；B
公司的优惠条件是：服装按单价打八折，公司承担运费．如果设参加演出的学生有x人．（1）写出：①学校购买A公司服装所付的总费用y1（元）与参演学生人数x之间的函数关系式 ；②学校购买B公司服装所付的总费用y2（元）与参演学生人数x之间的函数关系式 ．（2）若参演学生人数为150人，选择哪个公司比较合算，请说明理由．23．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接AC，OA＝4，＝．（1）根据题意，写出点A的坐标 ，点C的坐标 ；（2）求AC所在直线的表达式；（3）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），折叠后纸片重叠部分（即△CEF）的面积为 ；（4）请直接写出EF所在直线的函数表达式 ．24．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF．（1）思路梳理：将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，如图1，使AB与AD重合，易证∠GAF＝∠EAF＝45°，可证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为 ；（2）类比引申：如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到正方形ABCD的边CB，DC的延长线上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想EF，BE，DF之间的数量关系为 ，并给出证明；（3）联想拓展：如图3，等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，把∠MAN绕点A旋转，在整个旋转过程中AM、AN分别与直线BC交于点D、E，若BD＝2，EC＝4，则BE的长为 ．
25．【模型建立】（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．【模型应用】（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，则直线l2的函数表达式为 ．（3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到x轴上，若OB＝2，OC＝1，在x轴上存在点M使得以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标 ．（4）如图4，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若△CPD是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标 ．
参考答案一、选择题（下列各题备选答案中，只有一个答案是正确的。每小题2分，共20分）1．下列实数中，无理数是（ ）A．0B．C．﹣2D．【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项．解：0，﹣2，是有理数，是无理数，故选：B．2．下列运算正确的是（ ）A．＝3B．＝3C．＝±3D．3﹣2＝1【分析】根据算术平方根的定义，二次根式的加减运算法则计算，即可进行判断．解：A、＝3，所以A选项正确，符合题意；B、＝3，所以B选项错误，不符合题意；C、＝＝3，所以C选项错误，不符合题意；D、3﹣2＝，所以D选项错误，不符合题意．故选：A．3．下列表述能确定物体具体位置的是（ ）A．敬业小区B．胜利南街右边C．北偏东30°D．东经118°，北纬28°【分析】根据确定位置的有序数对有两个数解答．解：在平面直角坐标系中，要用两个数据才能表示一个点的位置，纵观各选项，只有东经118°，北纬28°能确定物体的位置．故选：D．4．下到方程组中，是二元一次方程组的是（ ）A．B．
C．D．【分析】根据二元一次方程组的定义求解即可．解：A．此方程组符合二元一次方程组的定义，此选项符合题意；B．此方程组含有3个未知数，此选项不符合题意；C．xy＝4不是二元一次方程，此选项不符合题意；D．x2﹣1＝0不是一次方程，此选项不符合题意；故选：A．5．已知△ABC的三边长a，b，c满足（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，则△ABC的形状是（ ）A．等腰三角形或直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形D．直角三角形【分析】根据（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0得a﹣b＝0，或c2﹣a2﹣b2＝0，求出a、b、c之间的数量关系进行判断．解：∵（a﹣b）（c2﹣a2﹣b2）＝0，∴a﹣b＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，∴a＝b或a2+b2＝c2，∴△ABC的形状是等腰三角形或直角三角形，故选：A．6．如图所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，AP＝AC，则数轴上点P所表示的数是（ ）A．2B．﹣2C．2﹣1D．1﹣2【分析】由正方形边长，可求对角线AC＝2，则P点表示的数是1﹣2．解：∵ABCD是边长为2的正方形，∴AC＝2，
∵AP＝AC，∴AP＝2，∴P点表示的数是1﹣2，故选：D．7．已知图形A在y轴的右侧，如果将图形A上的所有点的横坐标都乘﹣1，纵坐标不变得到图形B，则（ ）A．两个图形关于x轴对称B．两个图形关于y轴对称C．两个图形重合D．两个图形不关于任何一条直线对称【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可选出答案．解：∵将图形A上的所有点的横坐标乘以﹣1，纵坐标不变，∴横坐标变为相反数，纵坐标不变，∴得到的图形B与A关于y轴对称，故选：A．8．如图，等腰直角△OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝2，则点B坐标为（ ）A．（1，1）B．（，1）C．（，）D．（1，）【分析】过点B作BC⊥OA，利用等腰直角三角形的性质解答即可．解：过点B作BC⊥OA，∵等腰直角△OAB的斜边OA在x轴上，且OA＝2，∴OC＝1，∠BOC＝45°，
∴BC＝OC＝1，∴B的坐标为（1，1），故选：A．9．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象如图所示，观察图象可得（ ）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．解：∵一次函数y＝kx+b的图象经过一、三象限，∴k＞0，又该直线与y轴交于正半轴，∴b＞0．综上所述，k＞0，b＞0．故选：A．10．对于一次函数y＝﹣2x+4，下列结论中正确的是（ ）A．函数值随自变量的增大而增大B．点（4﹣a，a）在该函数的图象上C．函数的图象与直线y＝﹣x﹣2平行D．函数图象与坐标轴围成三角形的周长为6+2【分析】根据一次函数的k的符号判断y随x增大而减小，把点坐标代入解析式判断是否点坐图象上，根据k是否相等判断两直线是否平行，由函数解析式求出直线与坐标轴交点坐标，从而求解图象与坐标轴围成图象的周长．解：∵y＝﹣2x+4中k＝﹣2，图象下降，y随x增大而减小，故选项A错误，不符合题意．把x＝4﹣a代入y＝﹣2x+4得y＝﹣2（4﹣a）+4＝﹣4+2a，∴（4﹣a，a）不在直线上，
故选项B错误，不符合题意．∵y＝﹣x﹣2中k＝﹣1，故选项C错误，不符合题意．设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，把x＝0代入y＝﹣2x+4得y＝4，∴点B坐标为（0，4），把y＝0代入y＝﹣2x+4得0＝﹣2x+4，解得x＝2，∴点A坐标为（2，0），在Rt△AOB中，由勾股定理得AB＝＝2，∴函数图象与坐标轴围成三角形的周长为AO+BO+AB＝6+2，故D选项正确，符合题意．故选：D．二、填空题（每小题3分，共18分）11．若x＜﹣1＜y且x，y是两个连续的整数，则x+y的值是 3 ．【分析】估算得出的范围，进而求出x与y的值，即可求出所求．解：∵4＜6＜9，∴2＜＜3，即1＜﹣1＜2，∴x＝1，y＝2，则x+y＝1+2＝3，
故答案为：312．若y＝+4，则x2+y2的算术平方根是 5 ．【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x，再求出y，然后代入代数式求值，再根据算术平方根的定义解答．解：根据题意得，3﹣x≥0且x﹣3≥0，解得x≤3且x≥3，所以，x＝3，y＝4，所以，x2+y2＝32+42＝25，∵25的算术平方根是5，∴x2+y2的算术平方根是5．故答案为：5．13．在一次函数y＝﹣2x+5图象上有A（x1，y1）和A（x2，y2）两点，且x1＞x2，则y1 ＜ y2（填“＞，＜或＝”）．【分析】先根据一次函数的性质判断出函数的增减性，进而可得出结论．解：∵一次函数y＝﹣2x+5中，k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小．∵x1＞x2，∴y1＜y2．故答案为：＜．14．小明从邮局买了面值0.5元和0.8元的邮票共9枚，花了6.3元，小明买了两种邮票各多少枚？若设买了面值0.5元的邮票x枚，0.8元的邮票y枚，则根据题意可列出方程组为 ．【分析】由题意可得等量关系①0.5元的邮票枚数+面值0.8元的邮票枚数＝9枚；②0.5元的邮票价格+面值0.8元的邮票总价格＝6.3元，由等量关系列出方程组即可．解：设买了面值0.5元的邮票x枚，0.8元的邮票y枚，由题意得．故答案为：．
15．一辆轿车和一辆货车分别从甲、乙两地同时出发，匀速相向而行，相遇后继续前行，已知轿车比货车每小时多行驶10千米，设行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至轿车到达乙地这一过程中y与x之间的函数关系．根据图象提供的信息，下列说法正确的是 ①②③ ．①甲乙两地的距离为450千米②点A的实际意义是两车出发2小时相距150千米③x＝3时，两车相遇④货车的速度为90千米/小时【分析】根据函数图象中的数据和题意，可以直接判断①②③，再根据轿车比货车每小时多行驶10千米和两车3小时相遇，即可计算出货车的速度，从而可以判断④．解：由图象可得，甲乙两地的距离为450千米，故①正确；点A的实际意义是两车出发2小时相距150千米，故②正确；x＝3时，两车相遇，故③正确；货车的速度为：（450÷3﹣10）÷2＝70（千米/小时），故④错误；故答案为：①②③．16．已知长方形ABCD，AB＝6，BC＝10，M为线段AD上一点且AM＝8，点P从B出发以每秒2个单位的速度沿线段BC﹣CD的方向运动，至点D停止，设运动时间为t秒，当△AMP为等腰三角形时，t的值为 4﹣或2或 ．【分析】分三种情况：①当PA＝PM时，点P在AM的垂直平分线上，取AM的中点
N，过点N作NP⊥AM交BC于P，则四边形ABPN是矩形，得BP＝AN＝AM＝4，即可求解；②当AM＝AP＝8时，由勾股定理得BP＝2，即可求解；③当MA＝MP＝8时，过点M作MH⊥BC于H，则四边形ABHM为矩形，得MH＝AB＝6，BH＝AM＝8，∠MHP＝90°，由勾股定理得HP＝2，则BP＝BH﹣HP＝8﹣2，即可求解．解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，∠BAD＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，当△AMP为等腰三角形时，分三种情况：①当PA＝PM时，点P在AM的垂直平分线上，取AM的中点N，过点N作NP⊥AM交BC于P，如图1所示：则四边形ABPN是矩形，∴BP＝AN＝AM＝4，∴t＝4÷2＝2；②当AM＝AP＝8时，如图2所示：在Rt△ABP中，由勾股定理得：BP＝＝＝2，∴t＝2÷2＝；
③当MA＝MP＝8时，过点M作MH⊥BC于H，如图3所示：则四边形ABHM为矩形，∴MH＝AB＝6，BH＝AM＝8，∠MHP＝90°，在Rt△MHP中，由勾股定理得：HP＝＝＝2，∴BP＝BH﹣HP＝8﹣2，∴t＝（8﹣2）÷2＝4﹣；综上所述，t的值为：4﹣或2或，故答案为：4﹣或2或．三、计算题（第17题6分，第18题8分，共14分）17．计算：（1）；（2）．【分析】（1）分别化简、、，再合并同类二次根式即可；（2）化简、、以及|﹣2|，再合并同类项即可．解：（1）原式＝2﹣4+3＝；（2）原式＝9+（﹣3）+2﹣（﹣2）＝9﹣3+2﹣+2＝10﹣．18．解二元一次方程组：（1）；（2）．【分析】（1）根据代入消元法解决此题．
（2）将2x+3y＝5记作①式，x﹣3y＝1记作②式．由②变形得x＝3y+1…③，再运用代入消元法解决此题．解：（1）将x＝y﹣9代入x+3y＝7，得y﹣9+3y＝7．∴y+3y＝7+9．∴4y＝16．∴y＝4．∴x＝y﹣9＝4﹣9＝﹣5．∴这个方程组的解为．（2）将2x+3y＝5记作①式，x﹣3y＝1记作②式．由②，得x＝3y+1…③．将③代入①，得2（3y+1）+3y＝5．∴6y+2+3y＝5．∴6y+3y＝5﹣2．∴9y＝3．∴y＝．∴x＝3×+1＝2．∴这个方程组的解为．四、解答题（19.20.21每题8分，22.23每题10分，24.25每题12分，共68分）19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，3），B（2，1），C（5，1）．（1）画出△ABC关于y轴的对称的△A1B1C1．（2）△A1B1C的面积为 7 ；（3）y轴上存在一点P使得△ABP的周长最小，点P的坐标为 （0，） ，周长最小值为 + ．
【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；（2）根据三角形的面积公式求解即可；（3）利用待定系数法求出AB1所在直线解析式，从而得出点P坐标，再利用勾股定理可得三角形ABP周长最小值．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．（2）如图所示，连接A1C，△A1B1C的面积为×7×2＝7，故答案为：7；（3）如图所示，连接AB1，与y轴的交点即为所求点P，设AB1所在直线解析式为y＝kx+b，则，解得，
∴y＝x+，当x＝0时，y＝，∴P（0，）；∵AB1＝＝，AB＝＝，∴周长最小值为+，故答案为：（0，），+．20．观察、发现：．（1）化简：＝ ﹣ ；（2）直接写出：＝ ﹣ ；（3）求值：．【分析】（1）直接利用二次根式的性质得出有理化因式，进而化简得出答案；（2）直接利用（1）中规律得出答案；（3）直接利用运算规律化简，进而得出答案．解：（1）＝＝﹣；故答案为：﹣；（2）原式＝﹣；故答案为：﹣；（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+.....+﹣＝﹣1+＝﹣1+10＝9．21．已知等腰三角形ABC的底边BC＝10cm，D是腰AB上一点，且CD＝8cm，BD＝6cm．（1）求证：CD⊥AB；
（2）求该三角形的腰的长度．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理求出∠BDC＝90°，求出∠ADC＝90°即可；（2）在Rt△ADC中，由勾股定理得出a2＝（a﹣6）2+82，求出a即可．【解答】证明：（1）设AB＝AC＝acm，∵BC＝10cm，CD＝8cm，BD＝6cm，∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，即∠ADC＝90°，∴CD⊥AB；（2）∵∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2＝AD2+CD2，即a2＝（a﹣6）2+82，解得：a＝，即AB＝cm．22．学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商．经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即每套100元．经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是：服装按单价打七折，但校方需承担1200元的运费；B公司的优惠条件是：服装按单价打八折，公司承担运费．如果设参加演出的学生有x人．（1）写出：①学校购买A公司服装所付的总费用y1（元）与参演学生人数x之间的函数关系式 y1＝70x+1200 ；②学校购买B公司服装所付的总费用y2（元）与参演学生人数x之间的函数关系式 y2＝80x ．（2）若参演学生人数为150人，选择哪个公司比较合算，请说明理由．【分析】（1）①根据A公司给出的优惠条件是：服装按单价打七折，但校方需承担1200元的运费，可以写出学校购买A公司服装所付的总费用y1（元）与参演学生人数x
之间的函数关系式；②根据B公司的优惠条件是：服装按单价打八折，公司承担运费，可以写出学校购买B公司服装所付的总费用y2（元）与参演学生人数x之间的函数关系式；（2）先判断哪家公司比较合算，然后将x＝150代入（1）中的两个函数解析式，求出相应的函数值，再比较大小即可说明理由．解：（1）①由题意可得，学校购买A公司服装所付的总费用y1（元）与参演学生人数x之间的函数关系式是y1＝100x×0.7+1200＝70x+1200，故答案为：y1＝70x+1200；②由题意可得，学校购买B公司服装所付的总费用y2（元）与参演学生人数x之间的函数关系式是y2＝100x×0.8＝80x，故答案为：y2＝80x；（2）若参演学生人数为150人，选择A公司比较合算，理由：当x＝150时，y1＝70×150+1200＝11700，y2＝80×150＝12000，∵11700＜12000，∴若参演学生人数为150人，选择A公司比较合算．23．如图，把长方形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA，OC分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接AC，OA＝4，＝．（1）根据题意，写出点A的坐标 （4，0） ，点C的坐标 （0，2） ；（2）求AC所在直线的表达式；（3）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），折叠后纸片重叠部分（即△CEF）的面积为 ；（4）请直接写出EF所在直线的函数表达式 y＝2x﹣3 ．
【分析】（1）由OA＝4，＝．得OC＝2，即可得出点A、C的坐标；（2）利用待定系数法求函数解析式；（3）由折叠的性质和平行线的性质得CE＝CF，设CE＝AE＝x，则OE＝4﹣x，在Rt△OCE中，由勾股定理列方程可得CE的长，从而求出面积；（4）设AC与EF的交点为G，可知点G为AC的中点，再用待定系数法求函数解析式即可．解：（1）∵OA＝4，＝．∴OC＝2，∴A（4，0），C（0，2）；故答案为：（4，0），（0，2）；（2）设直线AC的函数解析式为：y＝kx+b，∴，∴，∴直线AC的函数解析式为：y＝﹣；（3）由折叠知：AE＝CE，∠AEF＝∠CEF，∵BC∥OA，∴∠AEF＝∠CFE，∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF，设CE＝AE＝x，则OE＝4﹣x，在Rt△OCE中，由勾股定理得：（4﹣x）2+22＝x2，解得x＝，
∴CE＝，∴S△CEF＝×CF×OC＝×＝，故答案为：；（4）设AC与EF的交点为G，∵AE＝CE＝，∴OE＝，∴E（），由折叠知，EF垂直平分AC，∴点G为AC的中点，∴点G（2，1），设直线EF的函数解析式为：y＝mx+n，∴，∴，∴直线EF的函数解析式为y＝2x﹣3，故答案为：y＝2x﹣3．24．如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF＝45°，连接EF．（1）思路梳理：将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，如图1，使AB与AD重合，易证∠GAF＝∠EAF＝45°，可证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为 BE+FD＝EF ；（2）类比引申：如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到正方形ABCD
的边CB，DC的延长线上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想EF，BE，DF之间的数量关系为 DF＝EF+BE ，并给出证明；（3）联想拓展：如图3，等腰Rt△ABC，∠BAC＝90°，∠MAN＝45°，把∠MAN绕点A旋转，在整个旋转过程中AM、AN分别与直线BC交于点D、E，若BD＝2，EC＝4，则BE的长为 2+2 ．【分析】（1）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFG≌△AFE，根据全等三角形的性质得出EF＝FG，即可得出答案；（2）把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，证出△AFE≌△AFG，根据全等三角形的性质得出EF＝FG，即可得出答案；（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，证明△AFE≌△AFG（SAS），则EF＝FG，∠C＝∠ABF＝45°，△BDF是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断．解：（1）如图1所示：∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠FDG＝180°，点F、D、G共线，∴∠DAG＝∠BAE，AE＝AG，∴∠FAG＝∠FAD+∠GAD＝∠FAD+∠BAE＝90°﹣45°＝45°＝∠EAF，即∠EAF＝∠FAG．在△EAF和△GAF中，
，∴△AFG≌△AFE（SAS）．∴EF＝FG．∴EF＝DF+DG＝DF+BE，即EF＝BE+DF．故答案为：BE+FD＝EF；（2）DF＝EF+BE．证明：如图2所示．∵AB＝AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合，∵∠ADC＝∠ABE＝90°，∴点C、D、G在一条直线上．∴EB＝DG，AE＝AG，∠EAB＝∠GAD．又∵∠BAG+∠GAD＝90°，∴∠EAG＝∠BAD＝90°．∵∠EAF＝45°，∴∠FAG＝∠EAG﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°．∴∠EAF＝∠GAF．在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF（SAS）．∴EF＝FG．
∵FD＝FG+DG，∴DF＝EF+BE，故答案为：DF＝EF+BE；（3）把△ACE旋转到ABF的位置，连接DF，则∠FAB＝∠CAE．∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD+∠CAE＝45°，又∵∠FAB＝∠CAE，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，则在△ADF和△ADE中，，∴△ADF≌△ADE（SAS）．∴DF＝DE，∠C＝∠ABF＝45°．∴∠BDF＝90°．∴△BDF是直角三角形．∴BD2+BF2＝DF2．∴BD2+CE2＝DE2．∴DE＝＝2．∴BE＝BD+DE＝2+2．故答案为：2+2．25．【模型建立】（1）如图1，等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝CA，直线ED经过点C，过点A作AD⊥ED于点D，过点B作BE⊥ED于点E，求证：△BEC≌△CDA．
【模型应用】（2）如图2，已知直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线l1绕点A逆时针旋转45°至直线l2，则直线l2的函数表达式为 y＝5x﹣10 ．（3）如图3，将图1四边形放到平面直角坐标系中，点E与O重合，边ED放到x轴上，若OB＝2，OC＝1，在x轴上存在点M使得以O、A、B、M为顶点的四边形面积为4，请直接写出点M的坐标 （2，0）或（﹣2，0） ．（4）如图4，平面直角坐标系内有一点B（3，﹣4），过点B作BA⊥x轴于点A，BC⊥y轴于点C，点P是线段AB上的动点，点D是直线y＝﹣2x+1上的动点且在第四象限内．若△CPD是等腰直角三角形．请直接写出点D的坐标 （）或（4，﹣7）或（） ．【分析】（1）根据同角的余角相等可证∠BCE＝∠CAD，从而利用AAS可证△BEC≌△CDA；（2）过点B作BF⊥l1，交l2于F，过F作FH⊥y轴于H，则△ABF是等腰直角三角形，由（1）同理可得△OAB≌△HBF，则F（﹣3，5），利用待定系数法即可求得函数解析式；
（3）由（1）得△BOC≌△CDA，得A（3，1），可求出OM＝2，即可得出点M的坐标；（4）分点P为直角顶点或点C为直角顶点时或点D为直角顶点三种情况，分别画出图形，利用（1）中K型全等可得点D的坐标，即可解决问题．【解答】证明：（1）∵AD⊥ED，BE⊥ED，∴∠BEC＝∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠BCE＝∠CAD，在△BEC和△CDA中，，∴△BEC≌△CDA（AAS）；（2）过点B作BF⊥l1，交l2于F，过F作FH⊥y轴于H，则△ABF是等腰直角三角形，由（1）同理可证△OAB≌△HBF（AAS），∴OA＝BH，OB＝FH，∵直线l1：y＝x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，∴A（﹣2，0），B（0，3），∴OA＝2，OB＝3，∴OH＝5，FH＝3，∴F（﹣3，5），
设l2的函数解析式为y＝kx+b，将点A，F的坐标代入得k＝﹣5，b＝﹣10，∴直线l2的函数解析式为y＝﹣5x﹣10，故答案为：y＝﹣5x﹣10；（3）由（1）得△BOC≌△CDA，∴OC＝AD＝1，CD＝OB＝2，∴A（3，1），∵S△AOB＝＝3，∴S△OAM＝1，∴OM＝2，∴M（2，0）或（﹣2，0），故答案为：（2，0）或（﹣2，0）；（4）①若点P为直角顶点时，如图，
设点P的坐标为（3，m），则PB的长为4+m，∵∠CPD＝90°，CP＝PD，∠CPM+∠CDP+∠PDH＝180°，∴∠CPM+∠PDH＝90°，又∵∠CPM+∠DPM＝90°，∴∠PCM＝∠PDH，在△MCP与△HPD中，，∴△△MCP≌△HPD（AAS），∴CM＝PH，PM＝PD，∴点D的坐标为（7+m，﹣3+m），又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，∴﹣2（7+m）+1＝﹣3+m，解得：m＝﹣，即点D的坐标为（）；②若点C为直角顶点时，如图，
设点P的坐标为（3，n），则PB的长为4+n，CA＝CD，同理可证明△PCM≌△CDH（AAS），∴PM＝CH，MC＝HD，∴点D的坐标为（4+n，﹣7），又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，∴﹣2（4+n）+1＝﹣7，解得：n＝0，∴点P与点A重合，点M与点O重合，即点D的坐标为（4，﹣7）；③若点D为直角顶点时，如图，设点P的坐标为（3，k），则PB的长为（4+k），CD＝PD，同理可证明△CDM≌△PDQ（AAS），
∴MD＝PQ，MC＝DQ，∴D（），又∵点D在直线y＝﹣2x+1上，∴﹣2×＝﹣，解得：k＝﹣，∴点P与点A重合，点M与点O重合，即点D的坐标为（），综上所述，点D的坐标为（）或（4，﹣7）或（），故答案为：（）或（4，﹣7）或（）．
