2020-2021学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1.已知集合A={1, 2, 3}，B={-1, 0, 2, 3}，则A∩B=()A.{0, 1, 2}B.{0, 2}C.{2, 3}D.{-1, 0, 1, 2, 3}2.复数(1-i)2＝（）A.0B.1C.2iD.-2i3.(x+1)5的展开式中x的系数为（）A.1B.5C.10D.154.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A.23B.2C.3D.335.若抛物线y2＝4x上的点A到焦点的距离为10，则点A到y轴的距离是（）A.6B.7C.8D.96.“φ=π”是“函数y=sin(2x+φ)为奇函数的”( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.直线l:y＝kx+1与圆C:x2+(y-1)2＝4的位置关系是（）A.相切B.相交C.相离D.不确定8.等差数列{an}的首项为1，公差不为0，若a1，a2，a4成等比数列，则{an}前5项的和为（）A.10B.15C.21D.289.已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)-2|x|的零点个数是（）A.0B.1C.2D.310.斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形ABCD（＝）中作正方形ABFE，以F为圆心，试卷第11页，总12页, AB长为半径作圆弧；然后在矩形CDEF中作正方形DEHG，以H为圆心，DE长为半径作圆弧；……；如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线．记圆弧，，的长度分别为l，m，n，对于以下四个命题：①l＝m+n；②m2＝l⋅n；③2m＝l+n；④．其中正确的是（）A.①②B.①④C.②③D.③④二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．)11.函数f(x)＝+lnx的定义域为________．12.已知平面向量＝(2, 1)，＝(4, y)，且 // ，则实数y＝________．13.已知双曲线的两个焦点为(-3, 0)，(3, 0)，一个顶点是，则C的标准方程为________；C的焦点到其渐近线的距离是________．14.若函数f(x)＝sin(ωx)+cos(ωx+）的一个周期是π，则常数ω的一个取值可以为________．15.从4G到5G通信，网络速度提升了40倍．其中，香农公式是被广泛公认的通信理论基础和研究依据，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递率C取决于信道带宽W、信道内信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功率N的大小，其中叫做信噪比．根据香农公式，以下说法正确的是________．（参考数据：lg5≈0.6990）①若不改变信噪比，而将信道带宽W增加一倍，则C增加一倍；②试卷第11页，总12页, 若不改变信道带宽W和信道内信号的平均功率S，而将高斯噪声功率N降低为原来的一半，则C增加一倍；③若不改变带宽W，而将信噪比从255提升至1023，C增加了25%；④若不改变带宽W，而将信噪比从999提升至4999，C大约增加了23.3%．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．)16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，M，N分别为棱PD，BC的中点，PA＝AB＝2．(Ⅰ)求证：MN // 平面PAB；(Ⅱ)求直线MN与平面PCD所成角的正弦值．17.在△ABC中，c＝2，C＝30∘．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使其能够确定唯一的三角形，求：(Ⅰ)a的值；(Ⅱ)△ABC的面积．条件①：；条件②：A＝45∘；条件③：．18.在学期末，为了解学生对食堂用餐满意度情况，某兴趣小组按性别采用分层抽样的方法，从全校学生中抽取容量为200的样本进行调查．被抽中的同学分别对食堂进行评分，满分为100分．调查结果显示：最低分为51分，最高分为100分．随后，兴趣小组将男、女生的评分结果按照相同的分组方式分别整理成了频数分布表和频率分布直方图，图表如下：分数区间频数[50, 60)3[60, 70)3[70, 80)16[80, 90)38[90, 100]20男生评分结果的频数分布表为了便于研究，兴趣小组将学生对食堂的评分转换成了“满意度情况”，二者的对应关系如下：试卷第11页，总12页, 分数[50, 60)[60, 70)[70, 80)[80, 90)[90, 100]满意度情况不满意一般比较满意满意非常满意(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)为进一步改善食堂状况，从评分在[50, 70)的男生中随机抽取3人进行座谈，记这3人中对食堂“不满意”的人数为X，求X的分布列；(Ⅲ)以调查结果的频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取一名学生，求其对食堂“比较满意”的概率．19.已知椭圆的离心率，且经过点D(0, 1)．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)已知点A(-1, 0)和点B(-4, 0)，过点B的动直线l交椭圆C于M，N两点（M在N左侧），试讨论∠BAM与∠OAN的大小关系，并说明理由．20.设函数f(x)＝alnx+，a∈R．(Ⅰ)设l是y＝f(x)图象的一条切线，求证：当a＝0时，l与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；(Ⅱ)若函数g(x)＝f(x)-x在定义域上单调递减，求a的取值范围．21.对于数列{an}，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{an}为P数列．(Ⅰ)数列{an}为-1，1，3，5，7，数列{bn}为．判断数列{an}，{bn}是否为P数列，并说明理由；(Ⅱ)设数列{an}是首项为2的P数列，其前n项和为Sn(n∈N*)．求证：当n≥2时，；(Ⅲ)设无穷数列{an}是首项为a(a>0)，公比为q试卷第11页，总12页, 的等比数列，有穷数列{bn}，{cn}是从{an}中取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，其所有项和分别为T1，T2．若T1＝T2．判断{an}是否为P数列，并说明理由．试卷第11页，总12页, 参考答案与试题解析2020-2021学年北京市石景山区高三（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.C2.D3.B4.A5.D6.A7.B8.B9.C10.A二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.(0, +∞)12.213.-＝1,14.2（答案不唯一）15.①③④三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.（1）证明：在四棱锥P-ABCD中，取PA的中点E，连接EB，因为M是PD的中点，所以EM // AD，且．又因为底面ABCD是正方形，所以BN // AD，且．所以EM．所以四边形MNBE是平行四边形．所以MN // EB．由于EB⊂平面PAB，所以MN // 平面PAB．( II)因为底面ABCD是正方形AB⊥AD．又因为PA⊥平面ABCD．所以以点A为坐标原点，AB、AP分别为x、y，如图建立空间直角坐标系．A(0，6，C(2，2，D(2，2，P(0，8，M(0，1，N(8，1．＝(2，7，＝(-2，0，设平面PCD的法向量为．试卷第11页，总12页, 有：即令y＝1，所以.．设直线MN与平面PCD所成角为θ．有：＝＝＝．所以直线MN与平面PCD所成角的正弦值为．17.选择条件①：．（1）在△ABC中，因为，所以．因为c＝2，C＝30∘．根据余弦定理：，得试卷第11页，总12页, ，整理，得a2＝16，由于a>0，所以a＝2．（2）由( I)可知，．因为a＝4，c＝7，所以a2＝b2+c3．所以A＝90∘．因此，△ABC是直角三角形．所以．选择条件②：A＝45∘．（1）在△ABC中，因为A＝45∘，c＝2．根据正弦定理：，所以．（2）在△ABC中，因为sinB＝sin(A+C)．所以sinB＝sin(30∘+45∘)＝sin30∘cos45∘+cos30∘sin45∘＝．所以＝．选择条件③：不给分18.（1）因为(0.005+a+0.020+3.040+0.020)×10＝1，所以a＝6.015．（2）依题意，随机变量X的所有可能取值为0，1，3，3．，，试卷第11页，总12页, ，．所以随机变量X的分布列为：X0163P(Ⅲ)设事件A＝“随机抽取一名学生，对食堂‘比较满意’”．因为样本人数200人，其中男生共有80人，所以样本中女生共有120人．由频率分布直方图可知，女生对食堂“比较满意”的人数共有：120×4.020×10＝24人．由频数分布表，可知男生对食堂“比较满意”的共有16人，．所以随机抽取一名学生，对食堂“比较满意”的概率为．19.（1）由已知b＝1，，又a2＝b2+c7，解得a＝2，b＝1．所以椭圆C的方程为．（2）依题意设直线l的方程为y＝k(x+4)，设M(x1, y3)，N(x2, y2)．联立消去y2+6)x2+32k2x+64k3-4＝0，则△＝16(5-12k2)>0，解得．则，．若x1＝-2，则，与(*)式矛盾6≠-1．同理x2≠-6试卷第11页，总12页, ．所以直线AM和AN的斜率存在，分别设为kAM和kAN．因为＝＝＝＝＝2k+，所以kAM＝-kAN．所以∠BAM＝∠OAN．20.（1）证明：当a＝0时，，，设f(x)图象上任意一点，切线l斜率为．过点的切线方程为．令x＝试卷第11页，总12页, 0，解得，解得x＝2x0．切线与坐标轴围成的三角形面积为．所以l与坐标轴围成的三角形的面积与切点无关；（2）由题意，函数g(x)的定义域为(0．因为g(x)在(0, +∞)上单调递减，所以在(0，即当x∈(0, +∞)，，所以，因为当x∈(0, +∞)，．所以当x＝1时，，所以a≤2．所以a的取值范围为(-∞, 3]．21.（1）数列{an}不是P数列，数列{bn}是P数列．对于数列{an}，-1+1+7+5>7n}不是P数列；对于数列{bn}，，所以数列{bn}是P数列．（2）证明：由题意知，an+6>Sn，即Sn+1-Sn>Sn，即Sn+1>7Sn．又因为S1＝a1＝2>0，所以Sn>0．所以当n≥2时，，命题得证．(Ⅲ)数列{an}不是P数列．理由如下：假设数列{an}是P数列，则a2＝aq>a得q>3，所以数列{an}是单调递增数列，且an>0，n∈N*．（1）若数列{bn}中的元素都在数列{cn}中，则T1<t5；（2）若数列{cn}中的元素都在数列{bn}中，则t1>T2；（3）若数列{bn}和数列{cn}有部分公共元素，将数列{bn}和{cn}的公共元素去掉得到新的数列{bn'}和{cn'}，不妨设数列{bn'}和{cn'}中的最大元素am在数列{cn'}中，则数列{an}的前m-3项和Sm-1<am．因为an>0，n∈N*，所以数列{bn'}中的所有项和小于等于Sm-2．试卷第11页，总12页, 所以数列{bn'}中的所有项和小于am．所以T1</am．因为an></t5；（2）若数列{cn}中的元素都在数列{bn}中，则t1>
