2017-2018学年上海市某校高二（上）开学数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）)1.方程9x=3x+2的解为________．2.已知集合A＝{-1, 3, 2m-1}，集合B＝{3, m2}．若B⊆A，则实数m＝________．3.若2cos(π-x)+sin(π-x)＝0，则tan(π4+x)=________．4.如果函数f(x)=log33+xa-x是奇函数，则f(x)的定义域是________．5.已知数列{an}等比数列，且a1＝-1，a9＝-9，则a5＝________．6.函数y=sinx,x∈[π,3π2]的反函数为________．7.不等式组x+a+1>0ax>0 (a≠0)的解集为⌀，则实数a的取值范围是________．8.设{an}是公比为q的等比数列，首项a1=164，对于n∈N*，bn=log12an，当且仅当n=4时，数列{bn}的前n项和取得最大值，则q的取值范围为________．9.（理）对于任意x∈(0,π2]，不等式psin2x+cos4x≥2sin2x恒成立，则实数p的范围为________．10.已知函数f(x)=3sin2x+2cos2x在区间[a, b]上至少含有20个零点时，b-a的最小值是________．11.已知函数y＝f(x)存在反函数y＝f-1(x)，且f(x)+f(-x)＝2017，则f-1(x)+f-1(2017-x)＝________．12.已知等差数列{an}的首项为a，公差为b；等比数列{bn}的首项为b，公比为a，其中a，b均为正整数，且a1<b1<a2<b2<a3，若存在关系式am+1＝bn，则b＝________．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）)13.设0<b<1+a，若关于x的不等式(x-b)2>(ax)2的解集中的整数解恰有3个，则（）A.-1<a<0B.0<a<1C.1<a<3D.3<a<614.先将函数y＝sin2x的图象向右平移π3个单位长度，再作所得的图象关于y轴的对称图形，则最后函数图象的解析式为（）A.y=sin(-2x-2π3)B.y=sin(-2x+2π3)C.y=sin(-2x-π3)D.y=sin(-2x+π3)15.设f(x)＝x3+log2(x+x2+1)，则对任意实数a，b，a+b≥0是f(a)+f(b)≥0的（）A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件试卷第5页，总6页
16.已知集合M＝{0, 2}，无穷数列{an}满足an∈M，且t=a13+a232+a333+⋯+a1003100，则实数t一定不属于（）A.[0, 1)B.(0, 1]C.[13,23)D.(13,23]三、解答题)17.已知集合A＝{x|x2+(a-1)x-a>0}，B＝{x|(x+a)(x+b)>0}，a≠b，全集为U＝R．（1）若a>b>-1，求A∩B；（2）若a2+14∈CUA，求a的取值范围．18.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．（1）若a、b、c成等比数列，且cosB=35，求cotA+cotC的值；（2）若A、B、C成等差数列，且b＝2，求△ABC 的周长l的最大值．19.设函数f(x)对任意的x∈R，都有f(2x)＝af(x)，其中a为常数，当x∈[1, 2)时，f(x)=sin(π2x)（1）求函数f(x)在x∈[2n, 2n+1)上的解析式；（2）若-1≤a<0，求f(x)在x∈[1, +∞)时的值域．20.（1）已知0<x1<x2，求证：x1+1x2+1>x1x2；20.（2）已知f(x)＝lg(x+1)-12log3x，求证：f(x)在定义域内是单调递减函数；20.（3）在（2）的条件下，求集合M＝{n|f(n2-214n-1998)≥0, n∈Z}的子集个数．21.已知点(1,13)是函数f(x)＝ax(a>0, a≠1)的图象上的一点，等比数列{an}的前n项和为f(n)-c，数列{bn}(bn>0)的首项为c，且前n项和Sn满足：Sn-Sn-1=Sn+Sn-1(n≥2)（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若数列{cn}的通项cn=bn⋅(13)n，求数列{cn}的前n项和Rn；（3）若数列{1bnbn+1}的前项和为Tn，是否存在最大的整数t，使得对任意的正整数n，均有Tn>t36总成立？若成立，求出t；若不存在，请说明理由．试卷第5页，总6页
参考答案与试题解析2017-2018学年上海市某校高二（上）开学数学试卷一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）1.x=log322.13.-14.(-3, 3)5.-36.f-1(x)＝π-arcsinx，x∈[-1, 0]7.{a|a＝0, 或a≤-1}8.(22, 4)9.[2, +∞)10.28π311.012.3二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）13.C14.A15.f（x）＝x3+log2（x+x2+1），f（x）的定义域为R∵f（﹣x）＝﹣x3+log2（﹣x+x2+1）＝﹣x3+log21x+x2+1＝﹣x3﹣log2（x+x2+1）＝﹣f（x）∴f（x）是奇函数∵f（x）在（0，+∞）上是增函数∴f（x）在R上是增函数a+b≥0可得a≥﹣b∴f（a）≥f（﹣b）＝﹣f（b）∴f（a）+f（b）≥0成立若f（a）+f（b）≥0则f（a）≥﹣f（b）＝f（﹣b）由函数是增函数知a≥﹣b∴a+b≥0成立∴a+b≥0是f（a）+f（b）≥0的充要条件16.C三、解答题17.根据题意，若a>b>-1，则-a<-b<1，集合A＝{x|x2+(a-1)x-a>0}＝{x|x<-a或x>1}，集合B＝{x|(x+a)(x+b)>0}＝{x|x<-a或x>-b}，则A∩B＝{x|x<-a或x>1}；根据题意，A＝{x|x2+(a-1)x-a>0}，则∁uA＝{x|(x-1)(x+a)≤0}若a2+14∈CUA，则(a2-34)(a2+14+a)≤0，则有a2-34≤0，解可得：-32≤a≤32，故a的取值范围为{a|-32≤a≤32}．18.∵cosB=35，∴sinB=1-cos2B=1-925=45，∵a、b、c试卷第5页，总6页
成等比数列，∴b2＝ac，∴依据正弦定理得：sin2B＝sinAsinC，∴cotA+cotC=cosAsinA+cosCsinC=sinCcosA+cosCsinAsinAsinC=sin(A+C)sin2B=sinBsin2B=1sinB=54．∵b＝2，A、B、C成等差数列，可得2B＝A+C＝180∘-B，即B＝60∘，sinB=32，∴由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=232=433，即a=433sinA，c=433sinC，∵A+C＝120∘，即C＝120∘-A，∴△ABC周长为l＝a+b+c=433(sinA+sinC)+2=433[sinA+sin(120∘-A)]+2=433×2sin60∘cos(A-60∘)+2＝4cos(A-60∘)+2，∵0<A<120∘，∴-60∘<A-60∘<60∘，∴12<cos(A-60∘)≤1，即4<4cos(A-60∘)+2≤6，则当A＝B＝C＝60∘时，△ABC周长取得最大值为6．19.当x∈[2n, 2n+1)时，x2n∈[1, 2)，∴f(x2n)＝sin(π2⋅x2n)，∴f(x)＝af(x2)＝a2f(x22)＝a3f(x23)＝…＝anf(x2n)＝ansin(π2⋅x2n)．由于[1, +∞)＝[1, 2)∪[2, 22)∪[22, 23)）∪...∪[2n, 2n+1)∪…故只研究函数f(x)在[2n, 2n+1)的值域即可，当x∈[2n, 2n+1)，则x2n∈[1, 2)，于是f(x)＝af(x2)＝a2f(x22)＝a3f(x23)＝…＝anf(x2n)＝ansin(π2⋅x2n)＝ansin(πx2n+1)．x∈[2n, 2n+1)，则π2≤πx2n+1<π，⇒0<sin(πx2n+1)≤1，∵-1≤a<0，∴当n是偶数时，f(x)在[2n, 2n+1)上单调递减, 值域为(0, an]，且(0, 1]⊇(0, a2]⊇(0, a4]⊇...⊇(0, a2k]⊇…，当n是奇数时，f(x)在[2n, 2n+1)上单调递增，值域为[an, 0)，且[a, 0)⊇[a3, 0)⊇[a5, 0)⊇...⊇[a2k-1, 0)⊇…，综上函数的值域为[a, 0)∪(0, 1]20.证明：∵x2+1>0，x2>0，欲证：x1+1x2+1>x1x2，只需证：x2(x1+1)>x1(x2+1)，即证：x1x2+x2>x1x2+x1，只需证：x2>x1，显然x2>x1成立，∴x1+1x2+1>x1x2．试卷第5页，总6页
f(x)的定义域为(0, +∞)．设0<x1<x2，则f(x1)-f(x2)＝lg(x1+1)-lg(x2+1)+12log3x2-12log3x1＝lgx1+1x2+1+12log3x2x1=lgx1+1x2+1-log9x1x2．∵0<x1<x2，∴0<x1x2<x1+1x2+1<1，∴lgx1+1x2+1>log9x1+1x2+1>log9x1x2，∴f(x1)-f(x2)＝lgx1+1x2+1-log9x1x2>log9x1x2-log9x1x2=0．∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在定义域(0, +∞)上是减函数．由（2）知f(x)是定义在(0, +∞)上的减函数，且f(9)＝0，∵f(n2-214n-1998)≥0，∴0<n2-214n-1998≤9．∴13447<(n-107)2≤13456．∵115<13447<116，13456=116，n∈Z，∴n-107＝116或n-107＝-116．∴集合M有两个元素．∴集合M有4个子集．21.由题意可得a=13，等比数列{an}的前n项和为f(n)-c=13n-c，由等比数列的求和公式可得c＝1，即a1=-23，公比q=13，则an＝-2⋅13n；数列{bn}(bn>0)的首项为1，且前n项和Sn满足：Sn-Sn-1=Sn+Sn-1(n≥2)，可得Sn-Sn-1=1，即有Sn=S1+n-1＝1+n-1＝n，即Sn＝n2，bn＝n2-(n-1)2＝2n-1；通项cn=bn⋅(13)n=(2n-1)⋅(13)n，前n项和Rn＝1⋅13+3⋅(13)2+...+(2n-1)⋅(13)n，13Rn＝1⋅(13)2+3⋅(13)3+...+(2n-1)⋅(13)n+1，相减可得23Rn=13+2[(13)2+...+(13)n]-(2n-1)⋅(13)n+1=13+2⋅19(1-13n-1)1-13-(2n-1)⋅(13)n+1，化简可得Rn=34-4n+14⋅3n；试卷第5页，总6页
1bnbn+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)，数列{1bnbn+1}的前项和为Tn=12(1-13+13-15+⋯+12n-1-12n+1)=12(1-12n+1)，由Tn=12(1-12n+1)在n为自然数集递增，可得最小值为T1=13，t36<13，可得t<12，则存在最大的整数t＝11，使得对任意的正整数n，均有Tn>t36总成立．试卷第5页，总6页
