2020-2021学年聊城市东昌府区八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.若代数式x-2x有意义，则实数x的取值范围是( )A.x≥1B.x≥2C.x>1D.x>22.在一次田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如表所示，则这些运动员成绩的中位数、众数分别是( )成绩(米)4.504.604.654.704.754.80人数232341A.4.65、4.70B.4.65、4.75C.4.70、4.70D.4.70、4.753.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，∠B=70°，∠C=40°，DE//AB交BC于点E.若AD=3，BC=10，则CD的长是( )A.7B.10C.13D.144.如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B=∠E，BF=CE，点B、F、C、E在同一条直线上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )A.AC=DFB.∠A=∠DC.AC//DFD.AB=DE5.某射击小组有20人，教练将他们某次射击成绩统计如下：环数5678910人数127631则这组数据的众数和中位数分别是( )
A.7，7B.8，7.5C.8，6D.7，7.56.下列命题正确的是( )A.三角形的一个外角大于任何一个内角B.三角形的三条高都在三角形内部C.三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等D.两边和其中一边的对角相等的三角形全等7.在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点坐标分别为O(0,0)、A(100,0)、B(100,100)、C(0,100).若正方形OABC内部(边界及顶点除外)一格点P满足：S△POA×S△PBC=S△PAB×S△POC，就称格点P为“好点”，则正方形OABC内部“好点”的个数为( )个．(注：所谓“格点”，是指平面直角坐标系中横、纵坐标均为整点)A.99B.197C.198D.2008.如图，一只蚂蚁在正方形ABCD内爬行，点O是对角线的交点，∠MON=90°，OM，ON分别交线段AB，BC于M、N，若蚂蚁在正方形ABCD内随机停留，则蚂蚁停留在阴影区域的概率为( )A.12B.13C.14D.259.下列分式中，最简分式是( )A.x+1x2-1B.x2-1x2+1C.x2-362x+12D.(y-x)2x-y10.△ABC内有一点P，且P1、P2分别是点P关于AB、BC的对称点交AB于点M，交BC于点N，P1P2=6cm，则△PMN的周长为( )A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm
11.甲、乙、丙三名运动员参加了射击预选赛，他们射击的平均环数x及其方差s2如表所示．需要选一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，如果选定的是乙，则乙的情况应为( )甲乙丙x89s211.2A.x=8，S2=0.7B.x=8，S2=1.2C.x=9，S2=1D.x=9，S2=1.512.一副透明三角板，按如图所示的方式叠放在一起，则图中α的度数是( )A.75°B.60°C.65°D.55°二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）13.命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题是______；它是______.(填“真命题”或“假命题”)14.已知：x5=y2，则x+yx-y= ．15.如图，CE平分∠ACB.且CE⊥DB，∠DAB=∠DBA，AC=9，△CBD的周长为14，则DB的长为______．16.若方程kx-2-3xx-2=0有增根，则k的值为______．17.如图，扇形OAB中，∠AOB=120°，OA=12，C是OB的中点，CD⊥OB交弧AB于点D，以OC为半径的弧CE交OA于点E，则图中阴影部分的面积是______．三、解答题（本大题共8小题，共64.0分）18.计算：(1)(b2ax)2÷(-ax3b)×6ab(2)x4x2-4x+1÷12x2-x．
19.计算：(1)12x2y+23x2-34xy2(2)2y2-1-2y+1-1y-120.如图，梯形OABC是正六边形的一部分，画出它关于x轴对称的其余部分，如果AB的长为2，求出各顶点的坐标．21.解下列分式方程(1)7x-2+x2-x=4(2)3-20.3x-0.1=46x-222.为了解今年某县2000名九年级学生“创新能力大赛”的笔试情况.随机抽取了部分参赛同学的成绩，整理并制作如图所示的图表(部分未完成)请你根据表中提供的信息，解答下列问题：分数段频数频率60≤x<70300.170≤x<8090n80≤x<90m0.490≤x≤100600.2(1)此次调查的样本容量为______；(2)在表中：m=______；n=______；(3)补全频数分布直方图；
(4)如果比赛成绩80分以上(含80分)为优秀，那么你估计该县九年级学生笔试成绩的优秀人数大约是多少名？23.一汽车从甲地出发开往相距240千米的乙地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，1小时后速度改为原来的54倍，比原计划提前25小时到达乙地，求汽车出发后第1小时内的行驶速度。24.在△ABC中，点D在BC上，满足∠CAD=30°，AD=2，BD=2DC．(1)如图1.若∠BAD=75°，过点C作AB的平行线交AD的延长线于点E，①∠ACE的度数是______：(直接写出结果)②求AC的长．(2)如图2，点E在AD的延长线上，连接CE，若∠BAD=90°，∠ACE=75°，求BE的长．25.如图，在等腰△ABC中，∠A=30°，O和D为线段AC的三等分点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆．(1)求证：AB是圆O的切线；(2)若圆O的半径为1，求阴影部分面积是多少？
参考答案及解析1.答案：B解析：解：根据题意得x-2≥0x≠0，解得x≥2．故选：B．利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出即可．此题主要考查了二次根式有意义以及分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．2.答案：D解析：解：∵15÷2=7…1，第8名的成绩处于中间位置，∴男子跳远的15名运动员的成绩处于中间位置的数是4.70m，∴这些运动员跳远成绩的中位数是4.70m；∵男子跳远的15名运动员的成绩出现次数最多的是4.75m，∴这些运动员跳高成绩的众数是4.75m；综上，可得这些运动员跳高成绩的中位数是4.70m，众数是4.75m．故选：D．首先根据这组数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，判断出这些运动员跳远成绩的中位数即可；然后找出这组数据中出现次数最多的数，则它就是这些运动员跳远成绩的众数，据此解答即可．本题考查中位数、众数的定义，解题的关键是记住中位数、众数的定义，属于中考基础题．3.答案：A解析：解：∵DE//AB，∠B=70°，∴∠DEC=∠B=70°．又∵∠C=40°，∴∠CDE=70°．∴CD=CE．∵AD//BC，DE//AB，∴四边形ABED是平行四边形．∴BE=AD=3．
∴CD=CE=BC-BE=BC-AD=10-3=7．故选：A．根据平行线的性质，得∠DEC=∠B=70°，根据三角形的内角和定理，得∠CDE=70°，再根据等角对等边，得CD=CE.根据两组对边分别平行，知四边形ABED是平行四边形，则BE=AD=3，从而求解．此题综合运用了平行四边形的判定及性质、平行线的性质、等角对等边的性质．4.答案：A解析：解：A、SSA无法判断三角形全等．B、根据AAS即可证明三角形全等．C、根据ASA即可证明三角形全等．D、根据SAS即可证明三角形全等．故选：A．根据全等三角形的判定方法一一判断即可．本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．5.答案：D解析：本题考查众数和中位数，解答本题的关键是明确众数和中位数的定义，找出这组数据的众数和中位数．根据表格中的数据可以求得这组数据的众数和中位数，从而可以解答本题．解：由表格可得，数据7，出现7次，出现次数最多，故这组数据的众数是7，20个数据从小到大排列，排在第10、11位的两个数据为7和8，所以中位数是：(7+8)÷2=7.5．故选D． 6.答案：C解析：解：A、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角，原命题是假命题；B、钝角三角形的三条高不在三角形内部，原命题是假命题；C、三角形的一条中线将三角形分成两个三角形面积相等，是真命题；D、两边和其夹角相等的三角形全等，原命题是假命题；故选：C．
根据三角形外角、高、中线好全等三角形的判定判断解答即可．此题考查命题与定理，关键是根据三角形外角、高、中线好全等三角形的判定判断．7.答案：B解析：解：设该P点的坐标为(x、y)，且0<x<100、0<y<100并为正整数．由题意得x(100-x)=y(100-y)，∴x2-y2=100(x-y)⇒(x-y)(x+y-100)=0∴x=y或x+y-100=0当x=y时，解得满足条件的P点坐标有99个；当x+y-100=0时，解得满足条件的P点坐标由99个；又∵(50,50)为公共交点．∴正方形OABC内部“好点”的个数为99+99-1=197故选：B．首先设该P点的坐标为(x、y)，且0<x<100、0<y<100并为正整数．根据S△POA×S△PBC=S△PAB×S△POC，列出关于x、y的关系式，再分解因式，求得满足条件的P点坐标个数．本题考查正方形的性质、坐标与图形性质．对于本题同学们一定要认真阅读理清题意，再就是不要忽视公共交点．8.答案：C解析：解：∵四边形ABCD为正方形，点O是对角线的交点，∴∠MBO=∠NCO=45°，OB=OC，∠BOC=90°，∵∠MON=90°，∴∠MOB+∠BON=90°，∠BON+∠NOC=90°，∴∠MOB=∠NOC．在△MOB和△NOC中，有∠MOB=∠NOCOB=OC∠MBO=∠NCO，∴△MOB≌△NOC(ASA)．同理可得：△AOM≌△BON(ASA)．∴S阴影=S△BOC=14S正方形ABCD．∴蚂蚁停留在阴影区域的概率P=S阴影S正方形ABCD=14．故选：C．
根据正方形的性质可得出“∠MBO=∠NCO=45°，OB=OC，∠BOC=90”，通过角的计算可得出∠MOB=∠NOC，由此即可证出△MOB≌△NOC，同理可得出△AOM≌△BON，从而可得知S阴影=14S正方形ABCD，再根据几何概率的计算方法即可得出结论．本题考查了几何概率．正方形的性质以及全等三角形的判断及性质，解题的关键是找出S阴影=S△BOC=14S正方形ABCD.本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据正方形的性质和角的计算找出相等的边角关系，再利用全等三角形的判定定理证出三角形全等是关键．9.答案：B解析：解：A．x+1x2-1=x+1(x+1)(x-1)=1x-1，不符合题意；B.x2-1x2+1不能约分，是最简分式，符合题意；C.x2-362x+12=(x+6)(x-6)2(x+6)=x-62，不符合题意；D.(y-x)2x-y=(x-y)2x-y=x-y，不符合题意；故选：B．一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式，据此逐一判断即可得．考查了最简分式，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．10.答案：D解析：解：∵P1、P2分别是点P关于AB、BC的对称点，∴PM=MP1，PN=NP2，∴△PMN的周长=PM+MN+PN=P1M+MN+NP2=P1P2=6cm．故选：D．证明△PMN的周长=线段P1P2的长即可．本题考查轴对称的性质，三角形的周长等知识，解题的关键是证明△PMN的周长=线段P1P2的长．11.答案：C解析：解：∵需要选一个成绩较好且状态稳定的人去参赛，∴乙的平均成绩要高，且方差要小，故选：C．
根据平均数和方差的意义即可得出答案．本题主要考查平均数和方差，熟练掌握平均数和方差的意义是解题的关键．12.答案：A解析：解：∵∠1=60°，2=45°，∴∠1=60°-45°=15°，∴α=90°-15°=75°，故选：A．根据外角的性质可得∠1=60°-45°=15°，再利用角之间的关系可得答案．此题主要考查了三角形的外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．13.答案：三边对应相等的三角形全等 真命题解析：解：命题“全等三角形的对应边相等”的逆命题是三边对应相等的三角形全等，逆命题是真命题；故答案为：三边对应相等的三角形全等；真命题．写出逆命题，进而进行判断真假即可．此题考查命题与定理，关键是根据全等三角形的判定方法解答．14.答案：73解析：试题分析：可设x=5k，则y=2k，代入所给代数式求值即可．设x=5k，则y=2k，x+yx-y=5k+2k5k-2k=73，故答案为73．15.答案：4解析：解：∵CE平分∠ACB且CE⊥DB，∴∠DCE=∠BCE，∠CED=∠CEB，又∵CE=CE，∴△CDE≌△CBE(ASA)，∴CD=CB，∵∠DAB=∠DBA，∴AD=BD，∴AC=AD+CD=BD+CD=9，
又∵△CBD的周长为14，∴BC=14-9=5，∴CD=5，∴AD=9-5=4=BD，故答案为：4．先判定△CDE≌△CBE，即可得到CD=CB，再根据AD=BD，即可得出AC=AD+CD=BD+CD=9，依据△CBD的周长为14，即可得到CD=5，进而得到AD=4=BD．本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，等腰三角形提供了好多相等的线段和相等的角，判定三角形是等腰三角形是证明线段相等、角相等的重要手段．16.答案：6解析：本题考查了对分式方程的增根的理解和运用，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．根据增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值．解：方程两边都乘(x-2)，得k-3x=0，∵原方程有增根，∴最简公分母(x-2)=0，解得x=2，∴k=6．故答案为6． 17.答案：183+12π解析：解：如图，连接OD，AD，∵点C为OA的中点，∴OC=12OA=12OD，∵CD⊥OA，
∴∠CDO=30°，∠DOC=60°，∴△ADO为等边三角形，∴CD=63，∴S扇形AOD=60π×122360=24π，∴S阴影=S扇形AOB-S扇形COE-(S扇形AOD-S△COD)=120⋅π×122360-120⋅π×62360-(24π-12×6×63)=183π12π，故答案为183+12π．连接OD、AD，根据点C为OA的中点可得∠CDO=30°，继而可得△ADO为等边三角形，求出扇形AOD的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COE的面积，再减去S空白ADC即可求出阴影部分的面积．本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式18.答案：解：(1)原式=b24a2x2×(-3bax)×6ab=-9b22a2x3；(2)原式=x(2x-1)2⋅x(2x-1)=x22x-1．解析：(1)先算乘方，然后再算乘除，最后化简即可；(2)先把分母分解因式，然后再计算即可．此题主要考查了分式的乘除，关键是掌握分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．19.答案：解：(1)12x2y+23x2-34xy2=6y12x2y2+8y212x2y2-9x12x2y2=6y+8y2-9x12x2y2；(2)2y2-1-2y+1-1y-1=2(y+1)(y-1)-2(y-1)(y+1)(y-1)-y+1(y+1)(y-1)=-3y+3(y+1)(y-1)
=-3y+1．解析：(1)直接通分进而利用分时加减运算法则计算得出答案；(2)直接通分进而利用分时加减运算法则计算得出答案．此题主要考查了分式的加减运算，正确进行通分运算是解题关键．20.答案：解：如图所示：∠AOC=60°，过A作AM⊥OC，过B作BN⊥⊥OC，∵梯形OABC是正六边形的一部分，∴∠AOC=60°，AO=AB=BC=2，∴OM=AO×cos60°=1，AM=AO×sin60°=3，CN=CB×cos60°=1，BN=3，∴A(1,3)，B(3,3)，C(4,0)，D(3,-3)，E(1,-3).解析：首先找出A、B点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后根据正六边形的性质可得AO=AB=BC=2，∠AOC=60°，再根据三角函数值计算出OM、NC的长，进而得到各点坐标．此题主要考查了做轴对称变换，以及正多边形的性质，关键是掌握正六边形每个内角都是120°，每条边都相等．21.答案：解：(1)去分母得：7-x=4x-8，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解；(2)方程整理得：3-203x-1=42(3x-1)，去分母得：18x-6-40=4，移项合并得：18x=50，解得：x=259，经检验x=259是分式方程的解．解析：(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．22.答案：300 120 0.3解析：解：(1)30÷0.1=300(人)，故答案为：300；(2)m=300×0.4=120(人)，n=90÷300=0.3，故答案为：120，0.3；(3)补全频数分布直方图如下：(4)2000×(0.4+0.2)=1200(人)，答：该县2000名九年级学生中笔试成绩的优秀的大约有1200名．(1)根据频数分布表中的频数、频率、总数之间的关系可求出样本容量；(2)根据频数分布表中的频数、频率、总数之间的关系可求出m的值；(3)根据各组的频数可补全频数分布直方图；(4)求出“优秀”所占的百分比即可．本题考查频数分布直方图、频数分布表，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决问题的关键．23.答案：解：设汽车出发后第1小时内的行驶速度是x千米/小时，根据题意可得：240x=1+240-x54x+25解得：x=80，经检验得：x=80是原方程的根，答：汽车出发后第1小时内的行驶速度是80千米/小时。解析：此题主要考查了分式方程的应用，正确表示出汽车行驶的时间是解题关键。根据题意结合行驶的时间的变化得出等式进而求出答案。24.答案：75°解析：解：(1)①∵CE//AB，
∴∠E=∠BAD=75°，∴∠ACE=180°-∠CAD-∠E=180°-75°-30°=75°，故答案为：75；②∵∠E=75°，∴∠ACE=∠E，∴AC=AE，∵CE//AB，BD=2DC，∴AD=2DE，∴DE=1，∴AE=3，∴AC=3；∴AD=2DE，∴AE=AD+DE=3，∴AC=AE=3；(2)过点C作CF⊥DE于点F．∵∠BAD=∠CFD=90°，∴AB//CF，∴△ADB∽△FDC，∴ADDF=BDDC=ABCF=2，∵AD=2，∴DF=1，AF=3，在Rt△ACF中，∵∠CAF=30°，∴CF=3，AC=2CF=23，∵∠ACE=75°，∴∠AEC=180°-30°-75°=75°，∴∠ACE=∠AEC，∴AE=AC=23，∵AB=2CF=23，在Rt△ABE中，BEAB2+AE2=26．
(1)①根据平行线的性质得到∠E=∠BAD=75°，根据三角形内角和定理计算即可；②根据平行线分线段成比例定理计算(3)过点C作CF⊥DE于点F，由AB//CF，推出ADDF=BDDC=ABCF=2，由AD=2，推出DF=1，AF=3，在Rt△ACF中，因为∠CAF=30°，可得CF=3，AC=2CF=23，再证明AE=AC，在Rt△ABE中利用勾股定理即可解决问题；本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，掌握相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．25.答案：(1)证明：连接OB，如图，∵等腰△ABC中，∠A=30°，∴∠C=30°，∵OB=OC，∴∠OBC=∠C=30°，∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°，∵∠OBA=180°-60°-30°=90°，∴OB⊥AB，∴AB是圆O的切线；(2)解：在Rt△OBA中，AB=3OB=3，∴阴影部分面积=S△AOB-S扇形OBD=12×1×3-60⋅π⋅12360=32-π6．解析：(1)连接OB，如图，利用等腰三角形的性质得∠C=30°，∠OBC=∠C=30°，再利用三角形外角性质得到∠AOB=60°，则可计算出∠OBA=90°，然后根据切线的判定定理得到结论；(2)先计算出AB=3，然后根据扇形面积公式，利用阴影部分面积=S△AOB-S扇形OBD进行计算．本题考查了切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”.也考查了等腰三角形的性质和扇形面积公式．
