保定市2021-2022学年下学期高中七校联合模拟第一次考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面内对应的点为，则（）A.B.CD.2.已知集合，，则（）A.B.C.D.3.圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的表面积与圆柱的侧面积的比值为（）A.1∶1B.1∶2C.2∶1D.2∶34.已知角顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点在角的终边上，则（）AB.C.D.5.已知向量，，，则与的夹角为（）A.B.C.D.6.已知F为双曲线的右焦点，A为双曲线C上一点，直线轴，与双曲线C的一条渐近线交于B，若，则C的离心率（）A.B.C.D.27.已知函数的图象关于点对称，则（）A.B.C.D.8.在正方体中，M为棱的中点，平面将该正方体分成两部分，
其体积分别为，，，则（）AB.C.D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.正态分布的正态密度曲线如图所示，则下列选项中，可以表示图中阴影部分面积的是（）.A.B.C.D.10.已知、分别是方程，的两个实数根，则下列选项中正确的是（）.A.B.CD.11.在正方体中，点、分别是棱、的中点，则下列选项中正确的是（）.A.B.平面C.异面直线与所成的角的余弦值为D.平面截正方体所得截面是五边形12.已知是数列的前项和，且，则下列选项中正确的是（）.A.（）B.
C.若，则D.若数列单调递增，则取值范围是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知是奇函数，且当时，．若，则______．14.已知向量，，，则与的夹角为______.15.函数图象在点处的切线的斜率为______．16.若函数在上单调递减，且在上的最大值为，则___________.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程．17.已知数列是递增的等比数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.18.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，.（1）若，求b；（2）若D为的中点，且，求的面积.19.2021年9月3日，教育部召开第五场金秋新闻发布会，会上发布了第八次全国学生体质与健康调研结果.根绝调研结果数据显示，我国大中小中学的健康情况有了明显改善，学生总体身高水平也有所增加.但同时在超重和肥胖率上，中小学生却有一定程度上升，大学生整体身体素质也有所下滑.某市为调研本市学生体质情况，采用按性别分层抽样的方法进行调查，得到体质测试样本的统计数据（单位：人）如下：优秀良好及格不及格男生100200780120
女生120200520120附：.0.0500.0100.0013.8416.63510.828（1）根据所给数据，完成下面列联表，并据此判断：能否有95%的把握认为该市学生体质测试是否达标与性别有关.（注：体质测试成绩为优秀、良好或及格则体质达标，否则不达标）达标不达标合计男生女生合计（2）体质测试成绩为优秀或良好则称体质测试成绩为优良，以样本数据中男、女生体质测试成绩优良的频率视为该市男、女生体质测试成绩优良的概率，在该市学生中随机选取2名男生，2名女生，设所选4人中体质测试成绩优良人数为，求的分布列及数学期望.20.如图，是圆的直径，圆所在的平面，为圆周上一点，为线段的中点，，．（1）证明：平面平面.（2）若为的中点，求二面角的余弦值.
21.已知椭圆的焦距为，左､右焦点分别是，其离心率为，圆与圆相交，两圆交点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设直线不经过点且与椭圆相交于两点，若直线与直线的斜率之和为，证明：直线过定点.22.已知函数，．（1）设函数，求的最大值；（2）证明：．数学答案题目123456789101112答案BCADDBCCABCBDADAC13.114.15.-316.-0.2517.解：（1）设数列的公比为，，则.由得，由得，所以，解得或（舍去），所以.
所以数列的通项公式为.（2）由条件知，设，则，将以上两式相减得，所以.设，则.18.解：（1）因为，所以在中，由正弦定理得，即.（2）在中，由余弦定理得……①因为D为的中点，所以.在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得.由得……②联立①②可得，即，19.解：（1）由题得列联表如下：达标不达标合计男生10801201200
女生840120960合计19202402160没有95%的把握认为该市学生体质达标与性别有关.（2）解：由题意男生体质测试优良率，女生体质测试优良率.的所有可能取值为0，1，2，3，4.的分布列为：01234.20.（1）证明：因为圆所在的平面，即平面，而平面，所以．因为是圆的直径，为圆周上一点，所以．又，
所以平面，而平面，则，因为，，所以．又，所以，而为线段的中点，所以．又，所以平面，而平面，故平面平面．（2）以为原点，分别以，的方向为轴、轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设，则，，，，，．设平面的法向量为，则令，得．由（1）知平面的一个法向量为，设二面角为，易知为锐角，则，即二面角的余弦值为．
21.解：（1）由题意得，由圆与圆相交，两圆交点在椭圆上，可知：，又，解得：所以椭圆的方程为：.（2）证明：①当直线的斜率不存在时，设直线，由题意可知，且，设，因为直线的斜率之和为，所以，化简得，所以直线的方程为.②当直线的斜率存在时，设方程为，联立消去，化简得.
，由题意可得，因为直线的斜率之和为，所以，，，，，化简整理得，当且仅当时，即或且时符合题意，直线的方程：，即，故直线过定点，综上①②可得直线过定点.22（1）解：因为，所以．当时，；当时，．所以在上为增函数，在上为减函数，从而．（2）证明：原不等式等价于，则，令，则，
所以，在上单调递增．令，则，，所以，存在唯一使得，即，当时，；当时，此时在上单调递减，在上单调递增，要证，即要证．于是原问题转化为证明不等式组，由，得，代入．对两边取对数得，代入，得．因为，当且仅当，时，等号成立，所以．
