南昌市2022届高三第一次模拟测试卷文科数学一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．已知（i为虚数单位），则复数在复平面内所对应的点一定在（）A．实轴上B．虚轴上C．第一、三象限的角平分线上D．第二、四象限的角平分线上3．根据分类变量与的观察数据，计算得到，依据下表给出的独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（）0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828A．有95%的把握认为变量与独立B．有95%的把握认为变量与不独立C．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过10%D．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%4．数列中，，，则（）A．8B．16C．12D．245．圆柱形玻璃杯中盛有高度为10cm的水，若放入一个玻璃球（球的半径与圆柱形玻璃杯内壁的底面半径相同）后，水恰好淹没了玻璃球，则玻璃球的半径为（）A．B．15cmC．D．20cm6．，，则“”是“”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．已知若，则（）A．2B．C．1D．08．已知中心在原点的双曲线的离心率为2，右顶点为，过的左焦点作轴的垂线，且与交于，两点，若的面积为9，则的标准方程为（）A．B．C．D．9．纳皮尔在他的《奇妙的对数表》一书中说过：没有什么比大数的运算更让数学工作者头痛，更阻碍了天文学的发展．许凯和斯蒂菲尔这两个数学家都想到了构造了如下一个双数列模型的方法处理大数运算．012345678910124816326412825651210241112…19202122232425…20484096…52428810485762097152419430483886081677721633554432…如，我们发现512是9个2相乘，1024是10个2相乘．这两者的积，其实就是2的个数做一个加法．所以只需要计算．那么接下来找到19对应的数524288，这就是结果了．若，则落在区间（）A．B．C．D．10．的内角，，所对边分别为，，，若，，的面积为，则（）A．B．C．D．11．已知，，分别是椭圆
的左焦点、右焦点、上顶点，连接并延长交于点，若为等腰三角形，则的离心率为（）A．B．C．D．12．已知，若，分别是方程，的根，则下列说法：①；②；③，其中正确的个数为（）A．0B．1C．2D．3二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量，，若，则______．14．已知函数的图象与轴在原点右侧的第一个交点为，在轴右侧的第一个最高点为，则______．15．在直三棱柱中，，，，，分别是，，，，的中点，给出下列四个判断：①平面；②平面；③平面；④平面，则错误的序号为______．16．无限循环小数可以通过等比数列法转化为分数．如；应用上述方法转化（，为互质整数），则______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：17．（12分）某公司计划招聘新员工40名，现有100名应届毕业生应聘，采用先笔试再面试相结合的方式，笔试结束后，依据笔试成绩按的比例确定入围面试名单．这100名应届毕业生笔试成绩的频率分布直方图如图所示．（1）求的值及笔试成绩的平均分；（2）根据频率分布直方图，请预估面试入围分数线（结果保留整数）．18．（12分）已知圆心在坐标原点的两个同心圆的半径分别为1和2，点和点分别从初始位置和处，按逆时针方向以相同速率同时作圆周运动．（1）当点运动的路程为时，求线段的长度；（2）记，，求的最大值．
19．（12分）如图，三棱锥的底面为直角三角形，为斜边的中点，顶点在底面的投影为，，，．（1）求的长；（2）求异面直线与所成角的余弦值．20．（12分）已知面积为的等边（是坐标原点）的三个顶点都在抛物线上，过点作抛物线的两条切线分别交轴于，两点．（1）求的值；（2）求的外接圆的方程．21．（12分）已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若函数恰有两个极值点，记极大值和极小值分别为，，求证：为常数．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线在直角坐标系第一象限交于点，点的极坐标为，求的面积．23．（10分）选修4-5：不等式选讲已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2），使得，求的取值范围．南昌市2022届高三第一次模拟测试卷文科数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号123456789101112
答案CCDBBABADDCD二、填空题：本大题共4小题．每小题5分，满分20分13．14．15．①②④16．三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17题-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答．17．【解析】（1）由图知，则，所以平均分为；（2）因为面试比例为，则应有60人参加面试，故频率为0.6，设分数线为，则，解得（取整）所以预估面试入围分数线为113分．18．【解析】（1）因为点运动的路程为，所以因为，，所以，则，由余弦定理知，得，所以．（2）设，则，所以，，则所以当时，取得最大值．19．【解析】（1）连接交于点，由题意知，平面，所以，又因为，，所以平面，则，因为，为斜边的中点，所以，则
，因为，所以，则，所以；（2）连接，因为，，为斜边，所以，因为，所以，，过点作的平行线交的延长线于点，则，，，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为．20．【解析】（1）因为等边的面积为，所以的边长，结合抛物线的对称性，得，所以，所以；（2）由（1）知，设切线方程为则，，由，得到，即，∴，，∴，的中点，将代入得出点，
∴，∴的外接圆方程为．21．【解折】（1）当时，，令，可得，解得或；令，可得，解得，即的单调递增区间为，，的单调递减区间为．（2），当时，设的解为，，且则，，且当或时，；当时，，故当或时单调递增；当时，单调递减，所以，，所以，故．22．【解析】（1）由（为参数），得到，所以直线的极坐标方程为，由，得到，所以曲线的普通方程．（2）由，解得或（舍）所以点，，所以．23．【解析】（1）当时，，则，
①当时，则原不等式等价于，所以；②当时，则原不等式等价于，所以；③当时，则原不等式等价于，所以；综上所述：不等式的解集为；（2）因为，所以当时，，由题意可知，问题转化为，即，解得；综上所述：．
