太原市2022年高三年级模拟考试(一)数学试卷(理科)(考试时间：下午3：00－5：00)注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，第I卷1至4页，第II卷5至8页。2.回答第I卷前，考生务必将自己的姓名、考试编号填写在答题卡上。3.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。4.回答第II卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.(1＋i)z＝2＋i，则＝A.B.C.D.2.已知全集为U＝R，集合A＝{－2，0，1，2}，B＝{x|－2≤x≤0}，则图中阴影部分可表示为A.(－2，0)B.[－1，0]C.{－1，0}D.{－2，1，2}3.设a，b为非零向量，λ，μ∈R，则下列命题为真命题的是A.若a·(a－b)＝0，则a＝bB.若b＝λa，则|a|＋|b|＝|a＋b|C.若λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0D.若|a|>|b|，则(a＋b)·(a－b)>04.南北朝时期数学家、天文学家祖眶提出了著名的祖恒原理：幂势既同，则积不容异，其中“幂”指截面积，“势”指几何体的高。意思是说：两个等高几何体，若在每一等高处截面面积都相等，则两个几何体体积相等。，已知某不规则几何体与一个由正方体和三棱锥组成的几何体满足“幂势既同”，且该组合体的三视图如图所示，则该不规则几何体的体积为
A.B.10C.12D.5.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的面积为A.2B.3C.6D.66.为了促进边疆少数民族地区教育事业的发展，我市教育系统选派了3名男教师和2名女教师去支援新疆教育，要求这5名教师被分派到3个学校对口支教，每名教师只去一个学校，每个学校至少安排1名教师，其中2名女教师分派到同一个学校，则不同的分派方法有A.18种B.36种C.68种D.84种7.下列函数图象中，函数f(x)＝xαe|x|(α∈Z)的图象不可能的是8.设F1，F2是椭圆E：的左、右焦点，过点F1斜率为的直线交椭圆于点P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，则椭圆E的离心率是A.＋1B.－1C.D.9.已知α为锐角，且cosα·(1＋tan10°)＝1，则α的值为A.70°B.60°C.50°D.40°10.在平面直角坐标系中，从x轴上点P(t，0)向圆(x－2)2＋(y－3)2＝5作一条切线，设切线长为m，点P到直线x－2y－6＝0的距离为n，当m＋n取最小值时，t的值为A.2B.3C.D.4
11.已知实数x、y满足x·2x＝7，y(log2y－2)＝28，则xy＝A.112B.28C.7D.412.已知函数f(x)＝，若函数y＝f(x)－ax恰有三个零点，则实数a的取值范围是A.(0，)B.(，＋∞)C.(，3)D.(－1，0)第II卷(非选择题共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.(1－2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为。14.已知双曲线(a>0，b>0)的一个焦点为F，点A在双曲线的渐近线上，若△AOF是边长为2的等边三角形(O为坐标原点)，则双曲线方程为。15.已知在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝2，若三棱锥的外接球体积为4π，则异面直线PB与AC所成角的余弦值为。16.设函数f(x)＝|sinx|－|cosx|，给出下列四个结论：①f(x)的最小正周期为π；②f(x)的值域为[－1，]；③f(x)在(－，)上单调递增；④f(x)在[－π，π]上有4个零点。其中所有正确结论的序号是。三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题：共60分。17.(本小题满分12分)设数列{an}的前n项和为Sn，2Sn＋an＝3，数列{bn}满足＝1＋3n(2n－1)，n∈N*。(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{bn}的通项公式；(3)设数列cn＝(－1)nbn2，求数列{cn}的前2n项和T2n。18.(本小题满分12分)某校计划从高三年级中选拔一个班级代表学校参加“中学数学建模”比赛，经过层层选拔，甲、乙两个班级最后进人决赛。规定通过回答1道题目做为最后参赛的依据。现每个班级出4名选手，再从4名选手中各随机抽取2人回答这个题目。已知甲班的4人中有3人可以正确回答这道题目，乙班的4人能正确回答这道题目的概率均为，甲、乙两班每个人对题目的回答都是相互独立、互不影响的。(1)求从甲、乙两个班级的选手中抽取的4人都能正确回答的概率；(2)设甲、乙两个班级被抽取的选手中能正确回答题目的人数分别为X，Y，求随机变量X，Y的期望E(X)，E(Y)和方差D(X)，D(Y)，并由此分析由哪个班级代表学校参加比赛更好。19.(本小题满分12分)已知一圆形纸片的圆心为O，直径AB＝2，圆周上有C、D两点。如图，OC⊥AB，∠AOD＝，点P是上的动点。沿AB将纸片折为直二面角，并连结PO，PD，PC，CD。(1)当AB//平面PCD时，求PD的长；(2)当三棱锥P－COD的体积最大时，求二面角O－PD－C的余弦值。20.(本小题满分12分)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点O为坐标原点，一条直线过定点M(4，0)与抛物线相交于A、B两点，且OA⊥OB。
(1)求抛物线方程；(2)连接AF，BF并延长交抛物线于C、D两点，设△FAB和△FCD的面积分别为S1和S2，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由。21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xex－x－1。(1)求函数f(x)在区间[－1，1]上的最值；(2)讨论方程f(x)＝lnx＋m－2的实根个数。(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。22.(本小题满分10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数)，以原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＋4ρsinθ－3＝0，点P的极坐标为(2，)。(1)求点P的直角坐标和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l和曲线C交于A，B两点，求点P到线段AB中点M的距离。23.(本小题满分10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x－1|－|2x－1|。(1)求满足不等式f(x)≥－1的最大整数a；(2)在(1)的条件下，对任意x，y∈(a，＋∞)，若x＋y＝4，求z＝的最小值。
