玉溪一中高2023届高二下学期第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，共60分）（一）单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分）1．复数满足，则在复平面内的对应点在A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．顶点在原点,对称轴为轴,顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是A．B．C．D．3．设,则下列不等式一定成立的是A．B．C．D．4．电脑调色板有红、绿、蓝三种基本颜色，每种颜色的色号均为.在电脑上绘画可以分别从三种颜色的色号中各选一个配成一种颜色，那么在电脑上可配成的颜色种数为A．B．27C．D．65．正方体,中,对角线与平面所成角的正弦值为A．B．C．D．6．已知互不重合的直线，，互不重合的平面，，，给出下列四个命题，错误的命题是A．若，，，则B．若，，，则C．若，，，则D．若，，则7．已知是双曲线的左焦点，点，是双曲线右支上的动点，则的最小值为A．9B．5C．8D．48．已知直三棱柱的底面是边长分别为5，12，13的直角三角形，若该三棱柱有
内切球，则其外接球的表面积为A．B．C．D．（二）多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.错选得0分，漏选得2分.）9．下列统计量中，能度量样本的离散程度的是A．样本的平均数B．样本的中位数C．样本的极差D．样本的标准差10．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是A．B．数列是等比数列C．D．数列是公差为2的等差数列11．已知函数是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，那么满足不等式的x的可能取值是A．B．C．D．212．已知椭圆与双曲线有共同的左右焦点，，设椭圆和双曲线其中一个公共点为P，且满足，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则关于和，下列说法正确的是A．B．C．D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13．设函数，则____________.14．意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，，若从该数列的前96项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为______________；15．已知数列的首项，且满足（），则的前n项和______________；16．曲线C是平面内与两个定点的距离的积等于的点P的轨迹，给出下列四个结论：①曲线C关于坐标轴对称；②周长的最小值为；③点P到y轴距离的最大值为；④点P到原点距离的最小值为．其中所有正确结论的序号是______________．三、解答题（本大题共6个小题，共70分.）17．（本小题10分）已知函数的图象在处的切线斜率为，且.（1）求的解析式；（2）求在上的最大值和最小值.18．（本小题12分）已知圆，若直线与圆C相交于A，B两点，且.（1）求圆C的方程.（2）请从条件①条件②这两个条件中选择一个作为点P的坐标，求过点P与圆C相切的直线l2的方程.
①（2，－3）；②（1，）.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.19．（本小题12分）已知数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.20．（本小题12分）已知角A，B，C是△ABC的内角，向量，，．（1）求角A的大小；（2）求函数的值域.21．（本小题12分）已知函数．（1）设是的极值点，求的单调区间；（2）证明：当时，．22．（本小题12分）已知椭圆的左顶点与上顶点的距离为．（1）求椭圆的方程和焦点的坐标；
（2）点在椭圆上，线段的垂直平分线与轴相交于点，若为等边三角形，求点的横坐标．玉溪一中高2023届高二下学期第一次月考数学试卷答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。多选题错选得0分,漏选得2分）123456789101112DBCADDABCDABCACBD12、解析：根据椭圆和双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，设椭圆与双曲线的半焦距为，椭圆的长半轴长和双曲线的实半轴长分别为，根据题意，，联立方程组解得：,而，则，于是，由基本不等式，易知，所以.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,16题错选得0分,漏选得2分）13、14、15、16、①②④16、解析：由题意，曲线C是平面内与两个定点的距离的积等于，
可得，即，用代换，或代换方程不变，所以曲线关于坐标轴对称，所以①正确；设，可得，则，当且仅当时，等号成立，所以周长的最小值为，所以②正确；过点作，则，当且仅当时，等号成立，当时，取得最大值，所以的最大面积为，又由，解得，即点到轴的最大距离为，所以③不正确；由，又由，当且仅当时，等号成立，所以，所以，可得，所以④是正确的.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、（本小题10分）解：（1）求导得，因为在出的切线斜率为，则，即①因为.即②由①②联立得，所以.（2）解：由（1），令解得或，列表如下：00
极大值极小值所以，在上的最大值为，最小值为.18、（本小题12分）解：（1）设圆心到直线的距离为，则，即，又，，故圆C的方程为；选①：当直线斜率不存在时，的方程为，恰好与圆相切，满足题意；当直线斜率存在时，设的方程为，即，则圆心到直线的距离为，解得，此时直线的方程为，即，综上，直线的方程为或；选②：可得在圆上，即为切点，则切点与圆心连线斜率为，则切线斜率为，所以直线的方程为，即.19、（本小题12分）解：（1）①②①-②得，则，在①式中，令，得.数列是首项为2，公比为2的等比数列，.（2）.所以，③则，④③-④得：.
20、（本小题12分）解：（1）因为，且，所以，则，又，所以（2），而，所以，则，所以故所求函数的值域为21、（本小题12分）解：（1）函数．，是的极值点，，解得，，，显然在上单调递增，当时，，当时，，在单调递减，在单调递增．证明：当时，，设，则，由，得，且在上单调递增，当时，，当时，，是的极小值点，也是最小值点，故当时，，当．22、（本小题12分）解：（1）依题意，有.所以，所以椭圆方程为所以，焦点坐标分别为（2）设，则，且若点为右顶点，则点为上（或下）顶点，，△
不是等边三角形，不合题意，所以.设线段中点为，所以因为，所以，因为直线的斜率所以直线的斜率，又直线的方程为令，得到，因为,所以因为为正三角形，所以，即化简，得到，解得（舍）即点的横坐标为.
