昌吉州高中2021-2022学年高三年级第二次诊断性测试文科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足，则复数z的虚部为（）A.B.C.D.【1题答案】【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算得出，进而得出复数z的虚部.【详解】即复数z的虚部为故选：A2.设全集，集合，集合，则（）A.B.C.D.【2题答案】【答案】D【解析】【分析】求出集合、，利用交集和补集的定义可求得集合.【详解】因为，，所以，，因此，.故选：D.3.《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中国人对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术
语解释为：把阳爻“”当做数字“”，把阴爻“”当做数字“”，则八卦代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤震坎兑…………以此类推，则六十四卦中的符号“”表示的十进制数是（）A.B.C.D.【3题答案】【答案】A【解析】【分析】先写出给定符号所表示的二进制数，再将二进制数转化成十进制数即可.【详解】由题意可得六十四卦中的符号“”表示二进制数是：，将所得的二进制数转化为十进制数为：，所以六十四卦中的符号“”表示的十进制数是77.故选：A4.2022年2月17日，呼图壁县第一届“美丽冰雪，北奥探梦”中小学速滑运动会在昌吉州呼图壁县青少年示范性综合实践基地管理中心举行.为了保证比赛的安全，志愿者小王、小李、小方需要清理六条一样的短道速滑跑道，每人至少清理一条跑道，则小王至少清理三条的概率是（）A.B.C.D.【4题答案】
【答案】A【解析】【分析】求出六条一样的短道速滑跑道先分三组再分给三人的分法，再求出小王至少清理三条的情况分法，有古典概型概率计算公式可得答案.【详解】六条一样的短道速滑跑道分三组有或或种情况，再分给小王、小李、小方共有种分法，其中小王至少清理三条的情况有种，则小王至少清理三条的概率是.故选：A.5.已知向量，，满足，，，则的最小值为（）A.B.C.D.【5题答案】【答案】B【解析】【分析】根据向量的坐标运算和向量的模，以及二次函数的性质即可求出最值．【详解】∵，，∴，∴，当且仅当时取等号，即的最小值为．故选：．6.数列是等差数列，，且，，构成公比为q的等比数列，则（）A.1或3B.0或2C.3D.2【6题答案】【答案】A
【解析】【分析】根据等比中项的性质列方程，由此求得，进而求得，从而求得的值【详解】设等差数列的公差为d，∵构成公比为q的等比数列，∴，即，解得或2，所以或，所以或3，故选：A7.已知函数是定义在上的偶函数，若对于任意，不等式恒成立，则不等式的解集为（）A.B.C.D.【7题答案】【答案】B【解析】【分析】由题意得到在上单调递减，再根据函数是定义在上的偶函数，得到在上单调递增，且求解.【详解】解：对于任意，不等式恒成立，即对于任意，不等式恒成立，所以在上单调递减，因为函数是定义在上的偶函数，所以在上单调递增，且，则，解得，故选：B
8.已知函数的图象过点，，，且在上仅有1个极值点，则（）AB.C.1D.【8题答案】【答案】C【解析】【分析】根据所给图象上的点，结合正弦函数的五点法作图求出函数解析式，即可求解.【详解】因为图象过点，，，且在上仅有1个极值点，所以，即，故，因为，由五点法作图知，，，又，解得,所以，则，故选：C9.已知点，分别为双曲线的左､右焦点，以为直径作圆与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（）A.3B.4C.5D.6【9题答案】【答案】C【解析】【分析】由于点P在双曲线的右支，则可得，再结合已知条件可得，，而，则，将前面
的式子代入化简可求出离心率【详解】因为点P为以为直径的圆与双曲线的右支的交点，所以，结合，得，，又因为点P在以为直径的圆上，所以，即，所以，整理得，解得（舍去），或，所以双曲线的离心率.故选：C10.已知圆，圆，点分别是圆､圆上的动点，点为上的动点，则的最小值是（）A.B.C.D.【10题答案】【答案】B【解析】【分析】作出圆关于对称的圆，通过图形关系可知当五点共线时，取得最小值，由此可得结果.【详解】由圆的方程可知：圆心，，半径，；设与关于对称，则，则圆与圆关于对称，
当五点共线时，取得最小值，.故选：B.11.在三棱锥中，，且，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球体积为（）A.B.C.D.【11题答案】【答案】A【解析】【分析】本题结合球的基本性质可知：过三棱锥其中两个面的三角形的外接圆圆心，作该面的垂线，两条垂线的交点即为三棱锥的球心，结合三角形的相关知识分析求得三棱锥的外接球的半径．【详解】如图、分别为Rt△PAC、△ABC的外接圆圆心，作平面PAB，平面ABC，则O为三棱锥的外接球的球心．在△ABC中，，即，可得：．
由正弦定理可得：，即，又∵为线段AC的中点，则可得，且，∴二面角的大小的平面角即为∠，则∠．∴三棱锥的外接球的半径R=，则三棱锥的外接球体积为V=．故选：Ａ．12.若存在，则称为二元函数在点处对x偏导数，记为；若存在，则称为二元函数在点处对y的偏导数，记为，已知二元函数，则下列选项中错误的是（）A.
B.C.的最小值为D.的最小值为【12题答案】【答案】B【解析】【分析】根据所给定义求出、，代入数据即可判断A、B，再根据二次函数的性质判断C，，再构造函数，利用导数求出的最小值，即可判断D；【详解】解：依题意可得，同理可得，所以，故A正确；，故B错误；，所以当时取最小值为，故C正确；（当且仅当时取等号），令，则，
当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增，故，从而当时，取得最小值，且最小值为，故D正确．故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.设是数列的前项和，且，则的通项公式为___________.【13题答案】【答案】【解析】【分析】根据，作差得到是以为首项，为公比的等比数列，再根据等比数列的通项公式计算可得；【详解】解：因为，当时，解得；当时，所以，即，即，所以是以为首项，为公比的等比数列，所以；故答案为：14.若实数，，，满足，则的最小值为______.【14题答案】
【答案】2【解析】【分析】由，，故可理解为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方，采用数形结合和对函数求导可知，函数在处的切线方程与直线之间的距离的平方为我们要求的的最小值.【详解】由，，故可理解为曲线上一点与直线上一点间的距离的平方，对于函数，令，故可得，即函数在处的切线方程为，切线方程与直线平行，则函数在处的切线方程与直线之间的距离，故的最小值为.故答案为：2.15.已知点A是焦点为的抛物线：上的动点，且不与坐标原点重合，线段的垂直平分线交轴于点．若，则___________.【15题答案】【答案】3【解析】
【分析】本题考查抛物线的方程与定义，设A，B点坐标，结合线段的垂直平分线交轴于点，可得（这是常考点），列方程整理可得，然后结合抛物线定义求解．【详解】设A，B，∵，即，整理得：．又∵，即C为线段AF的中点，∴．∴．故答案为：３．16.已知函数，若关于x的方程有三个不同的实根，则m的取值范围为______．【16题答案】【答案】【解析】【分析】由条件作函数的图象，根据方程有三个不同的实根结合图象求参数的范围.【详解】由已知当时，，当时，，当时，作函数图象如下，
因为关于x的方程有三个不同的实根，所以函数的图象与的图象有三个交点，观察图象可得，故答案为：.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17.中，角，，的对边分别是，，，（1）求角；（2）若为边的中点，且，求的最大值.【17题答案】【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）根据正弦定理角化边得，化简利用余弦定理可求解；
（2）根据题意可知，两边平方化简可得，利用基本不等式可求的最大值.【小问1详解】由，得，即又由余弦定理，可得，又，；【小问2详解】∵是边的中点，∴，那么，又，∴又，当且仅当时等号成立，∴∴，的最大值是4.19.如图，在三棱柱中，平面，（1）证明：平面ABC.（2）求点A到平面的距离.
【19题答案】【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据，利用余弦定理得到，再由勾股定理得到，然后由平面，得到，再利用线面垂直的判定定理证明.（2）设点A到平面的距离为h，利用等体积法由求解.【详解】（1）因为所以，所以，所以.因为平面，且平面，所以，因为，所以平面ABC.（2）由（1）可知平面ABC，所以平面.由三棱柱的性质可知，.因为平面，所以平面，所以，，则，故的面积为.
过做于平面，平面，在中，设点A到平面的距离为h，因为，所以解得，即点A到平面的距离是.【点睛】本题主要考查立体几何知识，线面垂直的判定定理，等体积法求点到面的距离，还考查了转化化归的思想和逻辑推理，运算求解的能力，属于中档题.20.“学习强国”APP是由中宣部主管以习近平新时代中国特设社会主义思想和党的十九大精神为主要内容的“PC端+手机客户端”两大中端二合一模式的学习平台，2019年1月1日上线后便成了党员干部群众学习的“新助手”，为了调研某地党员在“学习强国”APP的学习情况，研究人员随机抽取了200名该地党员进行调查，将他们某两天在“学习强国”APP上所得的分数统计如表（1）所示：表（1）分数人数501002030（1）现用分层抽样的方法从80分及以上的党员中随机抽取5人，再从抽取的5人中随机选取2人作为学习小组长，求所选取的两位小组长的分数分别在和上的概率；（2）为了调查“学习强国”APP得分情况是否受到所在单位的影响，研究人员随机抽取了机关事业单位党员以及国有企业党员作出调查，得到的数据如表（2）所示；机关事业单位党员国有企业党员分数超过80220130分数不超过808070
判断是否有99%的把握认为“学习强国”APP得分情况受所在单位的影响．附：，其中0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【20题答案】【答案】（1）（2）没有【解析】【分析】（1）按照分层抽样的计算规则求出分数在和分别应抽取的人数，用列举法列举出所有可能结果，再根据古典概型的概率公式计算可得；（2）首先根据题干所给数据完善列联表，计算出卡方，与临界值表所给数据比较，即可判断；【小问1详解】解：由题意得，分数在的应抽，记作a，b，分数在的应抽人，记作1，2，3，选取2人作为学习小组长的基本事件有，，，，，，，，，共10个，其中两位小组长的分数分别在和上的有，，，，，，共6个基本事件，所以所求概率．【小问2详解】解：补全列联表如下：机关事业单位党员国有企业党员总计
分数超过80220130350分数不超过808070150总计300200500所以．所以没有99%的把握认为“学习强国”APP得分情况受所在单位的影响．22.“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长，某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图1）步骤1：设圆心是E，在圆内异于圆心处取一点，标记为F；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点F；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕（如图2）．已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆．若取半径为4的圆形纸片，设定点F到圆心E的距离为2，按上述方法折纸．（1）以点F，E所在的直线为x轴，线段EF的中垂线为y轴，建立坐标系，求折痕所围成的椭圆C（即图1中M点的轨迹）的标准方程．（2）如图3，若直线m：与椭圆C相切于点P，斜率为的直线n与椭圆C分别交于点A，B（异于点P），与直线m交于点Q．证明：，，成等比数列．【22题答案】【答案】（1）
（2）证明见解析【解析】【分析】（1）以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系，根据椭圆的定义求出的值，根据求出的值，再由求出的值即可得椭圆的方程；（2）通过计算与的表达式就可以证明结论.【小问1详解】如图，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系.设为椭圆上一点，由题意可知，所以点轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆，因为，，所以，，则，所以椭圆的标准方程为；【小问2详解】由得，依题意，又，解得．故直线m的方程为，且．设直线n的方程为，则，且，则，
由，得，所以，所以．即，且各项均不为零，故，，成等比数列．24.已知函数，（1）求函数在上极值点；（2）当时，若直线l既是曲线又是曲线的切线，试判断l的条数．【24题答案】【答案】（1）当时，函数无极值点；当时，极小值点为，无极大值点．（2）2条【解析】【分析】（1）求得，对进行分类讨论，由此求得在区间上的极值点.（2）求得在处的切线方程，求得在处的切线方程，根据两个切线方程相等列方程组，整理后将问题转化为求方程在上的根的个数，通过构造函数法，结合导数来求得正确答案.【小问1详解】
由题知，，所以，，所以，当时，在上恒成立，即在上单调递减，故函数无极值；当时，，解得，故当x变化时，，的变化情况如下表：x-0+单调递减极小值单调递增所以，由上表可知，当时，取得极小值，无极大值．综上，当时，函数无极值点；当时，极小值点为，无极大值点．【小问2详解】当时，，，所以，根据导数的几何意义，函数在处的切线方程为，即.函数在处的切线方程为，即，若曲线与曲线有公切线，则，由①得，代入②得，
所以，问题转化为求方程在上的根的个数，故令，则，令，得．所以当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以，因为，，所以，，且函数在上连续，所以函数在上有两个零点，即方程在上有2个不等实数根．所以曲线与曲线的公切线l有2条．【点睛】求解公切线有关的问题，可分别求得两个曲线的切线的表达式，再根据两个切线相同来对问题进行求解.求解函数零点有关的问题，可结合导数以及零点存在性定理来进行求解.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．【选修4-4：坐标系与参数方程】26.在极坐标系中，射线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，且射线与曲线有异于点的两个交点，.（1）求的取值范围；（2）求的取值范围.【26题答案】【答案】（1）；（2）.【解析】
【分析】（1）根据圆心到射线的距离可以确定的范围；（2）联立射线与曲线，将要求的式子用表示出来，结合韦达定理求范围即可.【详解】（1）射线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为.曲线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为.且射线与曲线有异于点的两个交点，.所以圆心到直线的距离，所以当圆半径时，射线与圆相切，故，又因为当时，有一个交点为极点，不满足题意，当时，射线与圆只有一个交点，所以.（2）把，代入，得到，所以，，由于，所以所以
【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换要熟练，二是根与系数的关系的使用.【选修4-5：不等式选讲】27.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，求的取值范围.【27题答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依题意可得，再利用零点分段法分类讨论，分别计算可得；（2）依题意可得对于恒成立，即在上恒成立，即可得到不等式组，解得即可；【详解】解：（1）即，所以或或解得或或，即或，所以原不等式的解集为.（2）即.因为不等式的解集包含，所以对于恒成立.
因，所以，，所以等价于，即恒成立，所以在上恒成立，所以解得，即实数的取值范围为.【点睛】本题是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可；不等式的解集为R是指不等式的恒成立问题，而不等式的解集∅的对立面(如f(x)＞m的解集是空集，则f(x)≤m恒成立)也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.
