内江市高中2022届第三次模拟考试题数学（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号填在答题卡的指定位置．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．若复数z满足，则z的虛部为（）A．B．C．iD．13．已知向量，，若，则（）A．1B．4C．D．4．四川省现在的高考模式仍要分文理科，某中学在统计高一学生文理科选择意愿时，抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高条形图：根据这两幅图中的信息，下列结论中正确的是（）A．样本中的女生数量少于男生数量B．样本中有文科意愿的学生数量多于有理科意愿的学生数量C．样本中的男生偏爱理科D．样本中的女生偏爱文科5．三棱锥的侧视图、俯视图如图所示，则（）A．三棱锥的体积为3B．C．平面平面BCDD．平面平面ACD6．已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则
（）A．3B．2C．D．7．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，它体现了一种无限与有限的转化过程．比如在表达式中“…”既代表无限次重复，但原式却又是个定值，它可以通过方程解得，类比上述方法，则（）A．B．C．D．28．若函数的图象关于直线对称，则（）A．B．0C．D．9．安排6名医生去甲、乙、丙3个单位做核酸检测，每个单位去2名医生，其中医生A去甲单位，医生B不去乙单位，则不同的选派方式共有（）A．18种B．12种C．9种D．6种10．已知函数满足：对任意，．当时，，则（）A．B．C．D．11．如图，在四棱柱中，底面为正方形，底面，，M、N分别是棱、上的动点，且，则下列结论中正确的是（）A．直线AC与直线MN所成角的大小与点M的位置有关
B．直线AD与直线MN所成角的最大值为C．直线与直线MN可能异面D．三棱锥的体积保持不变12．若圆上存在一点P，过点P可作两条直线PA、PB与双曲线相切，且，则r的取值范围是（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．展开式中，含x项的系数为__________．14．曲线在处的切线方程是__________．15．抛物线具有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出．如图，抛物线方程为，一平行x轴的光线射向抛物线上的点P，反射后经过抛物线的焦点F射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行x轴方向射出．若抛物线的方程为，则在每次反射过程中，与x轴平行的两条光线间的最小距离为__________．16．已知函数，数列是公差为2的等差数列，若，则数列的前n项和__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）2021年某省约有28万理科考生参加高考，除去成绩在630分及以上的8145人与成绩在430
分以下的103600人，还有约16.81万理科考生的成绩集中在内，其成绩的频率分布如下表所示：分数段频率0.230.250.240.180.10（1）请估计该次高考理科考生成绩在内的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）若在分数段和的考生中采用分层抽样的方法抽取7名考生进行电话访问，再从被电话访问的7名考生中随机抽取3名考生进行问卷调查，求进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数不低于550分的概率．18．（本小题满分12分）如图，在中，，，点D在线段AB上．（1）若，求CD的长；（2）若，，求AB的长．19．（本小题满分12分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABFE是正方形，四边形ABCD是梯形，，，平面平面ABCD，．（1）证明：平面CDF；（2）求二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）设圆的圆心为，点与点关于原点对称，P是圆上任意一点，线段的垂直平分线交线段于点M，记点M的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；
（2）已知点，曲线C上是否存在点B，使得在y轴上能找到一点D满足为等边三角形？若存在，求出所有点B的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）设函数．（1）讨论函数在上的零点的个数；（2）证明：．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用2B铅笔将所选题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）写出曲线C和直线l的普通方程；（2）已知点，直线l与曲线C交于点A、B，弦AB的中点为Q，求的值．23．（本小题满分10分）[选修4—5：不等式选讲]已知函数．（1）求不等式的解集；（2）已知，，证明：．内江市高中2022届第三次模拟考试题数学（理科）参考答案及评分意见一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）1．C2．B3．D4．C5．B6．A7．D8．B9．A10．C11．D12．B．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．）13．8014．15．416．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答．）17．解：（1）该次高考理科考生成绩在内的平均分的估计值为（2）分数段在和的考生人数的比值为．∴按分层抽样方法在分数段的考生中应抽取名．在分数段的考生中应抽取名在抽取的7名考生中再随机抽取3名进行问卷调查的情况种数进行问卷调查的3名考生中有3名分数不低于550分的情况种数进行问卷调查的3名考生中有2名分数不低于550分的情况种数∴进行问卷调查的3名考生中至少有2名分数不低于550分的概率18．解：（1）∴，故在中，由正弦定理知∴（2）在中，由正弦定理知，，，∴
在中，由正弦定理知∴在中，由正弦定理知∴，得19．解：（1）证明：如图，过D点作交BC的延长线于点G，连接EG、FG，设EG交DF于H点，连接CH，∴四边形ABGD为平行四边形∴，∴四边形EFGD为平行四边形∴为线段EG的中点∴在中，CH为中位线，故又平面CDF，平面CDF∴平面CDF（2）平面平面ABCD，平面平面，∴平面ABCD又，∴，AD，AE两两垂直∴以A为原点建立如图的空间直角坐标系，，，，，，设平面CDF的一个法向量为，则，即，令，得设平面EDF的一个法向量为，则
，即，令，得∴二面角为钝角∴二面角的余弦值为20．解：（1）由题意得，，圆的半径为4点与点关于原点对称，∴线段的垂直平分线交线段于点M∴∴又∴的轨迹是以、为焦点的椭圆，其中长轴，焦距，故短半轴∴曲线C的方程为（2）当AB的斜率为0时，点B的坐标为，点D的坐标为或，满足题意当AB的斜率不为0时，设，，线段AB的中点为Q，∴，直线AB的斜率，直线的斜率当为等边三角形时，，∴，整理得
又∵，∴，由，得，故又∵为等边三角形，有∴，整理得∴，解得或（舍去）将代入，解得或∴满足条件的点B的坐标为：、、21．（1）解：令，得令，则在上的零点即为在上的零点∵当时，；当时，∴在上单调递减，在上单调递增∴当时，取极小值①当时，，故在上无零点②当时，，故在上有一个零点③当时，∵，，
∴在上有两个零点④当时，，当时，在上有一个零点综上，当时，在上无零点；当或时，在上有一个零点；当时，在上有两个零点（2）证明：要证即证当时，由（1）知，对成立∵函数在上单调递减∴对成立∴对成立，得证22．解：（1）由消去参数，得曲线C的普通方程为．由得，
将代入上式得∴直线l的直角坐标方程为（2）∵点在直线上∴直线l的参数方程可为（t为参数）①将①式代入曲线，得设点A、B对应的参数分别为、，则∴23．解：（1）当时，，故可化为，得当时，，故无解当时，，故可化为，得综上，不等式的解集为（2）∵，∴又∵∴，得证
