永州市2022年高考第三次适应性考试试卷数学注意事项：1．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．2．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知i为虚数单位，复数在复平面内对应点的坐标为，则（）A.1B.2C.D.2.设集合，，则（）A.B.C.D.3.“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.某新能源汽车销售公司统计了某款汽车行驶里程(单位：万千米)对应维修保养费用(单位：万元)的四组数据，这四组数据如下表：行驶里程/万千米1245维修保养费用/万元0500.902.302.70若用最小二乘法求得回归直线方程为，则估计该款汽车行驶里程为6万千米时的维修保养费是（）A.万元B.万元C.万元D.万元5.若，则（）A.56B.28C.D.\n6.中国古代数学瑰宝《九章算术》记录形似“楔体”的“羡除”．所谓“羡除”，就是三个侧面都是梯形或平行四边形（其中最多只有一个平行四边形），两个不平行对面是三角形的五面体．如图，在羡除中，四边形是边长为2的正方形，，均为正三角形，平面，且，则羡除的体积为（）A.B.C.D.7.已知双曲线的左、右焦点分别为、，为坐标原点，点在双曲线的右支上，（为双曲线的半焦距），直线与双曲线右支交于另一个点，，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.8.在正四棱柱中，，为的中点，点为线段上的动点，则三棱锥的外接球表面积的最大值为（）A.B.C.D.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.已知等差数列是递减数列，为其前项和，且，则（）A.B.\nC.D.、均为的最大值10.已知事件与事件为互斥事件，是事件的对立事件，是事件的对立事件，若，，则（）A.B.C.D.事件与事件不独立11.已知函数，则（）A.图象关于直线对称B.在上为减函数C.有4个零点D.，使12.已知抛物线:与圆:，点抛物线上，点在圆上，点，则（）A.的最小值为B.最大值为C.当最大时，四边形的面积为D.若的中点也在圆上，则点的纵坐标的取值范围为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知，则＝________.14.已知非零向量，满足，，则与夹角为__________．15.已知直线:，函数，若存在切线与关于直线对称，则__________．16.已知函数，若在内单调且有一个零点，则的\n取值范围是__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.从①，②这两个条件中选一个，补充在下面问题中，并解答.已知的内角，，的对边分别为，，，且.（1）求的值；（2）若外接圆半径为，求的最大值.(注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答记分)19.某游乐场开展摸球有奖活动，在一个不透明的盒子中放入大小相同的10个小球，其中红球4个，黑球6个，游客花10元钱，就可以参加一次摸球有奖活动，从盒子中一次随机摸取4个小球，规定摸取到两个或两个以上的红球就中奖.根据摸取到的红球个数，设立如下的中奖等级：摸取到的红球个数234中奖等级三等奖二等奖一等奖（1）求游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率；（2）若游乐场规定：在一次摸球有奖活动中，游客中三等奖，可获得奖金15元；中二等奖，可获得奖金20元；中一等奖，可获得奖金200元.请从游乐场获利的角度，分析此次摸球有奖活动的合理性.21.如图，在三棱柱中，.（1）求证：；（2）若，，点满足，求二面角的余弦\n值.23.已知各项均为正数的数列满足，，其中是数列的前项和.（1）求数列通项公式；（2）在和中插入个相同的数构成一个新数列：．求的前90项和．25.已知椭圆:的焦距为2，点在椭圆上.（1）求椭圆的方程；（2）设，是椭圆上的两个动点，为坐标原点，且直线，的倾斜角互补，求面积的最大值.27.已知函数.（1）求的极值；（2）若时，恒成立，求实数的取值范围．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D\n【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】C【9题答案】【答案】BD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】AB【12题答案】【答案】ACD【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】##【15题答案】【答案】【16题答案】【答案】【17题答案】【答案】（1）（2）6【小问1详解】若选①：由，得，\n由余弦定理得：，又因为，所以若选②：由，得即，故又因为,所以，所以，所以【小问2详解】由正弦定理得:，即，解得，又由余弦定理得：，即所以，当且仅当“”时取等号.所以的最大值为6.【19题答案】【答案】（1）（2）答案见解析【小问1详解】解：设一次摸球有奖活动中中奖为事件，则事件包含的基本事件有：,基本事件总数为：，∴∴游客在一次摸球有奖活动中中奖的概率为.【小问2详解】解：设游客在一次摸球有奖活动中获得的奖金为，可以取0，15，20，200，\n故的分布列为01520200的数学期望由于一次摸球有奖活动中支付给游客奖金的均值，所以游乐场可获利，故此次摸球有奖活动合理.【21题答案】【小问1详解】连接交于点，连接，四边形为菱形，，为中点，又，，，平面，平面，又平面，.【小问2详解】，，，，在中，，，在中，有，，\n又，平面，平面，则以为坐标原点，为轴可建立如图所示空间直角坐标系，则，，，，，，设，则，，，，解得：，，，，设平面的法向量，，令，解得：，，；又平面，则平面的一个法向量为，，又二面角为锐二面角，二面角的余弦值为.【23题答案】\n【答案】（1）（2）【小问1详解】解：当时，，当时，递推得，∴，，因为数列各项均为正数，所以，又∵，∴数列为等差数列，故.【小问2详解】解：在数列中，在之前的所有项数为故时，当时，数列中，之前的所有项数恰好为90∴令，则∴∴,∴.【25题答案】【答案】（1）（2）【小问1详解】\n解：设椭圆的左、右焦点分别为、，因为焦距为2，所以且轴，故又由于，所以解得，故椭圆方程为；【小问2详解】解：设，，直线的方程为，由于直线，的倾斜角互补，故联立方程，整理得，故，即且，，所以，故的方程为，且所以弦长原点到直线：的距离为，\n所以故当且仅当时，的面积的最大值为.【27题答案】【小问1详解】解：函数的定义域为，，当时，在恒成立，在单调递减，故无极值；当时，令，则，时，，在单调递减；时，，在单调递增；故在取极小值，且，无极大值综上，当时，无极值；当时，在取极小值，且，无极大值.【小问2详解】解：∵，∴，即且∴且，即，为的两个零点∴由（1）知，当时，在取极小值，且，故又∵，∴，又∵恒成立，∴对任意恒成立，∵，∴，且∴对任意恒成立∴令，则，对任意恒成立，则.\n∴对任意恒成立令，则当，即时，恒成立故在为单调递增函数，又∵，∴对恒成立当，即时，为单调增函数，又∵，，∴使，当时，，故在单调递减∴当时，，不合题意综上，实数的取值范围为.
