2022年哈三中高三学年第三次高考模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，则复数的虚部是（）A．-iB．-1C．2D．2i2．已知集合，，则（）A．B．C．D．3．下列命题中正确的是（）A．一组数据1，2，3，3，4，5的众数大于中位数B．对一组数据，如果将它们变为，其中，则平均数和标准差均发生改变C．有甲、乙、丙三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的甲个体数为9，则样本容量为30D．若随机变量X服从正态分布，，则4．已知，，，则与的夹角为（）A．B．C．D．5．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的表面积（单位：）是（）A．B．C．D．12\n6．已知命题p：若平面平面，直线平面，则平面，命题q：若平面平面，直线，直线，则是的充要条件，则下列命题中真命题的个数为（）①②③④A．0B．1C．2D．37．定义在R上的函数满足以下三个条件：①对于任意的实数，都有成立；②函数的图象关于y轴对称；③对任意的，，，都有成立．则，，的大小关系为（）A．B．C．D．8．举世瞩目的第24届冬奥会于2022年2月4日至2月20日在北京举办，某高校甲乙丙丁戊5位大学生志愿者前往A、B、C、D四个场馆服务，每个场馆至少分配一位志愿者．由于工作需要甲同学不能去A场馆，则所有不同的安排方法种数为（）A．72B．108C．180D．2169．右图为某小区七人足球场的平面示意图，AB为球门．在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线5米的P点处接球，此时，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点Q处射门，为获得最佳的射门角度（即最大），则射门时甲离上方端线的距离为（）\nA．B．C．D．10．设圆与y轴的正半轴交于点A，过点A作圆O的切线为l，对于切线l上的点B和圆O上的点C，下列命题中正确的是（）A．若，则点B的坐标为B．若，则C．若，则D．若，则11．已知菱形ABCD中，，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使得二面角的大小为，若该四面体的所有顶点在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．12．已知函数，，曲线的图象上不存在点P，使得点P在曲线下方，则符合条件的实数a的取值的集合为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）\n二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上．13．已知等差数列的前n项和为，满足，且，则的最大值为______．14．若变量x，y满足约束条件，则的最小值为______．15．已知O为坐标原点，双曲线的右焦点为，直线与双曲线C的渐近线交于A、B两点，线段OB的中点为M，若O、A、F、M四点共圆，则双曲线C的渐近线方程为______．16．函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______，函数的值域为______．三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．17．等比数列中，首项，前n项和为，且满足．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前n项和．18．如图，四棱锥中，，四边形PACQ为直角梯形，，，且，．（Ⅰ）求证：直线平面PAB；（Ⅱ）若直线CA与平面PAB所成的角为，求二面角的平面角的余弦值．\n19．2022年春节前，受疫情影响，各地鼓励市民接种第三针新冠疫苗．某市统计了该市4个地区的疫苗接种人数与第三针接种人数（单位：万），得到如下表格：A区B区C区D区疫苗接种人数x/万681012第三针接种人数y/万2356（Ⅰ）请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y关于x的线性回归方程（若，则线性相关程度很高，可用直线拟合）．（Ⅱ）若A区市民甲、乙均在某日接种疫苗，根据以往经验，上午和下午接种疫苗分别需等待20分钟和30分钟，已知甲、乙在上午接种疫苗的概率分别为p、，且甲、乙两人需要等待时间的总和的期望不超过50分钟，求实数p的取值范围．参考公式和数据：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，．20．已知．（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设，为两个不相等的正数，且，其中．“以直代曲”是微积分的基本思想和重要方法．请你在①，②两种方法中选择一种（也可以同时选择①②）来\n证明：．①用直线代替曲线在之间的部分；②用曲线在处的切线代替其在之间的部分．21．已知梯形ABCD的四个顶点都在抛物线上，且，直线AB过抛物线E的焦点F．（Ⅰ）若四边形ABCD为等腰梯形，求；（Ⅱ）若直线AD与直线BC的交点为，求实数的值．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．选修4—4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为，求．选修4—5：不等式选讲23．函数．（Ⅰ）求不等式的解集；（Ⅱ）若的最小值为k，且实数a，b，c满足．求证：．2022年哈三中高三学年第三次高考模拟考试\n数学试卷（理工类）答案1．C2．C3．D4．B5．B6．D7．B8．C9．B10．B11．A12．A13．114．-115．16．，17．（Ⅰ）设数列公比为q，由，可得，化简得，即，所以．（Ⅱ），令数列的前n项和为，．18．（Ⅰ）证明：，∴，又∵，∴平面ABC∴∵，∴（Ⅱ）∵，CA与平面PAB成线面角为以A为原点AC为y轴AP为z轴建立平面直角坐标系，，，，，设平面PBQ法向量\n同理，平面BCQ法向量由题意得，二面角的平面角的余弦值为19．（Ⅰ）由题：，，，，，所以相关系数，说明y与x之间的性相关程度很高，所以可用线性回归模型拟合y与x之间的关系．，故y关于x的线性回归方程为．（Ⅱ）设甲、乙两人排队总时间为X，则X的所有可能取值为40，50，60，，，．所以，\n由，得，又，所以，故p的取值范围为．20．（Ⅰ），当时，，单调递增；当时，，单调递减（Ⅱ）由可得，法一：易证，令与的交点为M，点M的横坐标m，，由可得，令，，即，，当时，，在单调递增，所以，．法二：在处的切线为．易证，令与的交点为N，点N的横坐标n，，，，即，由知，\n所以法三：易证，，在处的切线为，易证，，则，由易证．21．（Ⅰ）6分设直线与联立AB中点M为设与联立CD中点ABCD为等腰梯形，则，而轴∴轴∴，(Ⅱ)6分\n∵PM为△PAB中线，N为CD中点，∴MN过P点，，∴与抛物线联立，不妨设点A在x轴上方与抛物线联立∴22．（Ⅰ）（Ⅱ）l的标准方程为（t为参数）代入圆C直角坐标方程整理得原式23．（Ⅰ）当时，，即，解得，当时，，即，解得，当时，，即，解得，综上（Ⅱ），当且仅当时取等号，\n，由柯西不等式可知所以（当，，时等号）
