遵义市2022届高三年级第三次统一考试理科数学（共150分，考试时间120分钟）注意事项：1．本试卷共分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．考试开始前，请用黑色签字笔将答题卡上的姓名，班级，考号填写清楚，并在相应位置粘贴条形码．3．客观题答题时，请用2B铅笔答题，若需改动，请用橡皮轻轻擦拭干净后在选涂其它选项；主观题答题时，请用黑色签字笔在答题卡相应的位置答题；在规定区域以外的答题不给得分；在试卷上作答无效．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【1题答案】【答案】C【解析】【分析】由交集定义可直接得到结果.【详解】由交集定义知：.故选：C.2.若，则的最大值为（）A.B.C.D.【2题答案】【答案】A【解析】\n【分析】由，利用基本不等式可求得最大值.详解】当时，，（当且仅当，即时取等号），的最大值为.故选：A.3.若复数z满足（i为虚数单位），则复数z在复平面内所对应的点在（）A.第一象限B.实轴上C.第三象限D.虚轴上【3题答案】【答案】B【解析】【分析】求得，以及对应点的坐标，从而确定正确答案.【详解】由于，所以，所以对应点的坐标为，在实轴上.故选：B4.命题“”的否定是（）A.“”B.“”C.“”D.“”【4题答案】【答案】D【解析】【分析】根据全称命题的否定即可求解.【详解】命题“”的否定是：.故选：D5.贵州等七省份宣布从2021年秋季入学高一新生开始进入“”的新高考模式，2024年\n起高考不分文理新高考“”模式指的是，“3”即语文、数学、外语3门统一高考科目；“1”和“2”为选择性考试科目，其中“1”是从物理或历史科目中选择1门；“2”是从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门．则新高考模式的不同组合有（）A.12种B.10种C.9种D.8种【5题答案】【答案】A【解析】【分析】根据分步乘法计数原理和组合数的计算即可求解.【详解】第一步：从物理或历史科目中选择1门的取法2种，第二步：从思想政治、地理、化学、生物学中选择2门有种，所以新高考模式的不同组合共有.故选：A6.已知和为非零向量，且，与夹角为（）A.B.C.D.【6题答案】【答案】C【解析】【分析】根据向量数量积定义和运算律可得方程，求得，由此可得结论.详解】，，即，解得：，，即与的夹角为.故选：C.7.已知二项式展开式的二项式系数和为64，则展开式中常数项为（）A.10B.15C.18D.30【7题答案】\n【答案】B【解析】【分析】根据二项式系数和求得，结合二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】由于二项式展开式的二项式系数和为，所以.二项式展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中的常数项为.故选：B8.将函数图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把所得曲线向左平移个单位长度，得到曲线，则的解析式为()A.B.C.D.【8题答案】【答案】A【解析】【分析】将向右平移个单位长度，再把曲线上所有点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，即可得y=f(x)．【详解】将向右平移个单位长度得，\n将上所有点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，∴．故选：A﹒9.如图，边长为2的等边三角形，取其中线的，构成新的等边三角形，面积为；再取新的等边三角形中线的，构成等边三角形，面积为；……如此下去，形成一个不断缩小的正三角形系列，则第5次构成的等边三角形的面积，为（）A.B.C.D.【9题答案】【答案】C【解析】【分析】设第次取中线的，构成新的等边三角形的边长为，则，从而可得等边三角形的边长是等比数列，求出，再根据三角形的面积公式即可得解.【详解】解：设第次取中线的，构成新的等边三角形的边长为，则，所以，\n故等边三角形边长是以为公比的等比数列，，所以第5次构成的等边三角形的边长，所以第5次构成的等边三角形的面积.故选：C.10.内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，则周长的最大值为（）A.4B.6C.8D.10【10题答案】【答案】B【解析】【分析】结合两角和的正切公式、诱导公式求得，结合正弦定理、三角函数值域的求法，求得周长的最大值.【详解】，，依题意，即，，所以为锐角，.由正弦定理得，所以，所以三角形周长为\n，由于，所以当时，三角形的周长取得最大值为.故选：B11.满足不等式整数解个数为（）A.4950B.5000C.5050D.5100【11题答案】【答案】D【解析】【分析】先利用穿针引线法解不等式，归纳出在区间内整数解个数有个，利用等差数列求和即可得到答案.【详解】利用穿针引线法解不等式.如图示：满足不等式整数解有：在有个；在有个；在有个.\n由此归纳得：在区间内有个.所以整数解的个数为.故选：D12.已知，则a，b，c的大小关系是()A.B.C.D.【12题答案】【答案】D【解析】【分析】判断sin2和的大小，比较a与、b与、c与的大小可判断a与b大小关系及b与c大小关系，判断a与、c与的大小可判断a与c大小关系，从而可判断a、b、c大小关系．【详解】，，即b，∴a>b；∵，，∴，；∵，，，；．故选：D．【点睛】本题关键是利用正弦函数的值域求出sin2的范围，以和\n两个值作为中间值，比较a、b、c与中间值的大小即可判断a、b、c的大小．第Ⅰ卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数，则在处切线斜率为___________．【13题答案】【答案】【解析】【分析】利用导数求得切线的斜率.【详解】.故答案为：14.圆上点P到直线距离的最小值为__________．【14题答案】【答案】##【解析】【分析】利用点到直线的距离公式求得正确答案.【详解】圆的圆心为，半径为，到直线的距离为，所以圆上点P到直线距离的最小值为.故答案为：15.若，则________．【15题答案】【答案】【解析】【分析】结合二倍角公式、两角和的正弦公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.\n【详解】依题意，，，由于，所以，代入得，，解得（负根舍去）.故答案为：16.斜率为的直线过椭圆的焦点，交椭圆于两点，若，则该椭圆的离心率为_________．【16题答案】【答案】【解析】【分析】设，，由可知；令，将方程与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，利用可得关于的齐次方程，由此可求得离心率.\n【详解】设，，由得：，，即；不妨令，则直线，由得：，，，即，，；由椭圆对称性可知：当时，；椭圆的离心率为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆离心率的求解问题，解题关键是能够根据向量共线得到的关系，从而结合韦达定理，利用构造关于的齐次方程来进行求解.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分17.记为等差数列的前n项和，．\n（1）求数列的通项公式；（2）求的值．【17题答案】【答案】（1）（2）8960【解析】【分析】（1）根据等差数列的基本量，列出方程即可求解，进而可得通项公式.（2）根据等差数列的求和公式即可求解.【小问1详解】设等差数列的首项和公差分别为，由题意可知：，解得所以【小问2详解】由（1）知：当时，，当时，所以19.如图，在直三棱柱中，，，，点分别为的中点．\n（1）判断与平面的位置关系，并说明理由；（2）求二面角的正弦值．【19题答案】【答案】（1）相交；理由见解析（2）【解析】【分析】（1）假设平面，由四边形为平行四边形和线面平行的判定可得平面，进而得到平面平面；利用面面平行性质可得，显然不成立，可知假设错误，由此可得结论；（2）取中点，根据垂直关系，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得二面角的余弦值，进而可得正弦值.【小问1详解】相交，理由如下：假设平面，连接，\n分别为中点，且，四边形为平行四边形，，又平面，平面，平面，平面，，平面，平面平面，又平面，平面；平面，平面平面，，即，又，，显然不成立，假设错误，与平面相交.【小问2详解】取中点，连接，，；又，平面，平面，则以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，，，，即；则，，，，，设平面的法向量，则，令，解得：，，；又平面的一个法向量，，\n二面角为锐二面角，二面角大小为，二面角的正弦值为.21.已知函数，其中．（1）讨论函数的单调性；（2）若有且仅有两个不相等实根，求实数a的取值范围．【21题答案】【答案】（1）答案详见解析（2）【解析】【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，由此求得的单调区间.（2）由进行化简，通过分离常数法，结合导数来求得的取值范围.【小问1详解】的定义域为，，当时，恒成立，所以在上递增；当时，在区间递增；在区间递减.【小问2详解】依题意有且仅有两个不相等实根，即有两个不相等的实根，，构造函数，，所以在区间递增；在区间递减.\n所以.，当时，，，，所以的取值范围是.23.已知为双曲线左右焦点，，且该双曲线一条渐近线的斜率为，点M和N是双曲线上关于x轴对称的两个点，为双曲线左右顶点．（1）求该双曲线的标准方程；（2）设和交点为P，则的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由．【23题答案】【答案】（1）（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得双曲线的标准方程.（2）先求得点的轨迹，然后对的面积是否存在最大值进行判断.【小问1详解】依题意，，解得，所以双曲线的标准方程为.【小问2详解】的面积不存在最大值，理由如下：\n设，则，因为在双曲线上，所以，,所以所在直线的斜率为，直线的方程为①，同理可求得直线的方程为②，①②得③，将代入③得：，化简得，令①②，化简得，经检验，当时，上式也满足.故点的轨迹为椭圆去掉上下两个顶点.因为，当点到轴的距离最大时，三角形的面积最大，因为，故三角形的面积最大值不存在.25.某中学在2021年高考分数公布后对高三年级各班的成绩进行分析．经统计，某班有50名同学，总分都在区间内，将得分区间平均分成5组，统计频数、频率后，得到了如图所示的“频率分布”折线图．\n（1）请根据频率分布折线图，画出频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计该班级的平均分；（2）经相关部门统计，高考分数以上的考生获得高校T“强基计划”入围资格，并制作高校T录取政策和考生录取预测统计表（如表所示）．第一轮笔试有2科，学生通过考试获得相应等级的事件相互独立且概率相同.高考分数第一轮笔试学科测试等级ABCABC学生通过考试获得相应等级概率第二轮面试入围条件至少有1科，且2科均不低于B录取条件全在第一轮笔试中2科均获得通过第二轮面试考生通过概率为考生通过概率为若该班级考分前10名都已经报考了高校T的“强基计划”，且恰有2人成绩高于690分．求：①总分高于690分的某位同学没有进入第二轮的概率；\n②该班恰有两名同学通过“强基计划”被高校T录取的概率．【25题答案】【答案】（1）频率分布直方图见解析，平均分为（2）①；②【解析】【分析】（1）根据频率分布折线图与频率分布直方图的关系画出频率分布直方图.根据平均数的求法，求得平均数.（2）①结合对立事件、相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.②结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【小问1详解】画出频率分布直方图如下图所示：平均分为：.【小问2详解】\n总分大于等于分的同学有人，其中有人小于等于分，人大于分.①.②设高于分的同学被高校录取为事件，不超过分的同学被高校录取为事件，则，.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分．27.在极点为O的极坐标系中，经过点的直线l与极轴所成角为，且与极轴的交点为N．（1）当时，求l的极坐标方程；（2）当时，求面积的取值范围．【27题答案】【答案】（1）（2）【解析】\n【分析】（1）先求得的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.（2）对直线的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得面积的取值范围.【小问1详解】点，则，所以点的直角坐标为，当时，直线的直角坐标方程为，转化为极坐标方程为.【小问2详解】在极坐标系下：经过点的直线l与极轴所成角为，在直角坐标系下：经过点的直线的倾斜角为或.即直线的倾斜角是或.当直线的倾斜角为时，直线的方程为，令得，，，，所以.当直线的倾斜角为时，直线的方程为，\n令得，，所以.综上所述，面积的取值范围是.29.已知．（1）当时，求最大值；（2）当时，证明：的解集非空．【29题答案】【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）将表示为分段函数的形式，由此求得的最大值.（2）对进行分类讨论，结合绝对值三角不等式证得不等式成立.【小问1详解】当时，，，所以的最大值为.【小问2详解】当时，，当时成立.当时，\n，因为，故，时等号成立.即.综上所述，当时，的解集非空．
