绝密★启用前邯郸市2022届高三模拟考试数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．若复数，则A．B．C．D．2．设集合，，则A．B．C．D．3．已知圆和圆，则“”是“圆与圆内切”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．位于丛台公园内的武灵丛台已经成为邯郸这座三千年古城的地标建筑，丛台上层建有据胜亭，其顶部结构的一个侧面中，自上而下第一层有2块筒瓦，以下每一层均比上一层多2块筒瓦，如果侧面共有11层筒瓦且顶部4个侧面结构完全相同，顶部结构共有多少块筒瓦？A．440B．484C．528D．5725．已知正三棱柱，各棱长均为2，且点为棱上一动点，则下列结论正确的是A．该正三棱柱既有外接球，又有内切球B．四棱锥的体积是C．直线与直线恒不垂直D．直线与平面所成角最大为高三数学试题第21页（共4页）学科网（北京）股份有限公司\n6．已知、是双曲线的左、右焦点，点为双曲线右支上一点，且在以为直径的圆上，若，则A．B．C．D．7．已知函数，则下列结论正确的是A．的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．有个零点D．是偶函数8．如图，在平面直角坐标系中，将三角板的端点、分别放在轴和轴的正半轴上运动，点在第一象限，且，若，则点与点之间的距离A．最大值为B．最大值为C．最大值为D．最大值为二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．我国小麦育种技术和水平已经达到国际先进水平，研究发现某品种小麦麦穗长度cm近似服从正态分布．从该品种小麦中任取100株，估计其麦穗长度，则下列说法正确的是A．100株小麦麦穗长度的均值约为11.24cmB．100株小麦中约有2株小麦的麦穗长度大于13.5cmC．100株小麦中没有麦穗长度大于14.63cm的小麦D．若随机变量表示100株小麦中麦穗长度大于13.5cm的株数，则近似服从二项分布附：，10．已知函数，则下列结论正确的是A．在上单调递增B．图象关于点对称C．若，，则D．若且，则11．已知直线与椭圆，则下列结论正确的是A．若与至少有一个公共点，则B．若与有且仅有两个公共点，则高三数学试题第21页（共4页）学科网（北京）股份有限公司\nC．若，则上到的距离为的点只有1个D．若，则上到的距离为的点只有3个12．已知函数有两个极值点和，且，则下列结论正确的是A．B．C．D．三、填空题:本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分．13．已知、是不共线的两个单位向量，若，则与的夹角为▲；14．请写出一个函数表达式▲满足下列3个条件：①最小正周期；②在上单调递减；③奇函数15．同时抛掷两枚质地均匀的骰子两次，记事件“两枚骰子朝上的点数之积均为偶数”，事件“两枚骰子朝上的点数之和均为奇数”，则▲；16．如图所示，是平面内一定点，是平面外一定点，直线与平面所成角为．设平面内的动点到点、点距离分别为、，且．若点的轨迹是一条直线，▲；若点的轨迹是圆，则的取值范围是▲．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列的前项和为，满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．18．为了使更多人参与到冰雪运动中，某校组织了一次简易冰壶比赛．每场比赛由两支队伍对抗进行，每队由2名成员组成，共进行3局．每局比赛时，两队成员交替发球，每名成员只能从发球区（左侧）掷冰壶一次．当所有成员全部掷完冰壶后，开始计分．若冰壶未到达营垒区，计分；若冰壶能准确到达营垒区，计2分，整场比赛累计得分多者获得比赛胜利．已知高三数学试题第21页（共4页）学科网（北京）股份有限公司\n队两名成员甲、乙每次将冰壶投掷到营垒区的概率分别为和，队两名成员丙、丁每次将冰壶投掷到营垒区的概率均为．假设两队投掷的冰壶在运动过程中无碰撞，每名成员投掷冰壶相互独立，每局比赛互不影响．（1）求队每局得分的分布列及期望；（2）若第一局比赛结束后，队得分，队得分，求队最终获得本场比赛胜利且总积分比队高分的概率．19．已知的内角所对的边分别为，且．（1）若，，求；（2）若点在线段上，且，，求的最大值．20．如图，四棱锥，，，，平面平面，平面平面．（1）若点为线段中点，求证：；（2）若，，求直线与平面所成角的正弦值．21．平面直角坐标系中，点在y轴右侧，且到点的距离与其到y轴距离之差为1．（1）求点轨迹的方程；（2）过点的直线与交于A、B两点，是y轴上一点．若是正三角形，求直线l的斜率．22．设函数（1）求曲线在处的切线方程；高三数学试题第21页（共4页）学科网（北京）股份有限公司\n（2）证明：当且时，．高三数学试题第21页（共4页）学科网（北京）股份有限公司\n邯郸市2022届高三模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分．12345678BCACDABC1．【解析】2．【解析】，，则，故选C3．【解析】若圆与圆内切，则圆心距，即，得或，因此是圆与圆内切的充分不必要条件．4．【解析】一个侧面中，第一层筒瓦数记为2，自上而下，由于下面每一层比上一层多2块筒瓦，因此，每层筒瓦数构成等差数列，其中，．因为一个侧面中共有11层筒瓦，所以一个侧面筒瓦总数是．所以顶层四个侧面筒瓦数总和为．故选C．5．【解析】如图所示，设，取、的中点分别为、，连接、．过点作交于点，连接．显然平面，又，故平面即为直线与平面所成角．又因为，所以高三数学试题第21页（共4页）学科网（北京）股份有限公司\n因此当时，有的最大值，选项D正确；由于内切圆半径为，所以该正三棱柱有外接球，无内切球，选项A不正确；显然平面，因此点到侧面的高故棱锥的体积为，选项B不正确；当位于时，平面，即又，故平面，从而，故选项C不正确；6．【解析】解法一：设，，则．由双曲线定义知，，又，故，由于在以为直径的圆上，所以，故有从而解法二：同解法一，得到，，则，从而得到双曲线方程为．设，联立，解得，即．因此，选项A正确．7．【解析】显然，的定义域为，的定义域为，且，记，则有，故是奇函数，选项D不正确．又高三数学试题第21页（共4页）学科网（北京）股份有限公司\n故的图象关于点对称，选项B正确，选项A不正确；令，则有，即或，解得或，即，或，故有3个零点，选项C不正确．8．【解析】解法一：依题意，，，设，则．在中，有在中，由余弦定理得，，其中因此，．故选项C正确．解法二：依题意，，，．取中点为，由于为直角三角形，故由于为直角三角形，故显然，，当且仅当三点共线时，等号成立．因此，最大值为．故选项C正确．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．9101112ABACBCDACD9．【解析】由于小麦麦穗长度cm近似服从正态分布，所以，高三数学试题第21页（共4页）学科网（北京）股份有限公司\n．故选项A正确；由于，故，因此随机变量近似服从，从而100株小麦中约有株小麦的麦穗长度大于13．5cm，因此选项B正确，选项D错误；由于，根据原则，麦穗长度大于14．63cm是小概率事件，但是也有可能发生，因此选项C错误．综上可知，AB正确．10．【解析】选项A：令，则，由于的增区间为，即，，故的增区间为，取，则在上单调递增，又因为，因此在上单调递增，故选项A正确．选项B：由于的对称中心为，令，则，，取，则有，因此图象关于点对称，因此选项B错误．选项C：若，，则在和处分别取最大值和最小值，因此，，故，选项C正确．选项D：若，则和是函数的零点，故高三数学试题第21页（共4页）学科网（北京）股份有限公司\n，因此，选项D不正确．11．【解析】联立，消去得，则判别式选项A：令，则有，故选项A错误；选项B：令，则有，故选项B正确；选项C：如图所示，令直线与椭圆相切，则，即，直线与直线的距离，因此选项C正确；选项D：如图所示，直线分别与直线和直线的距离均为，因此，上到的距离为1的点只有3个，选项D正确．12．【解析】已知，则，令，则．考虑函数，则，当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增；故的图象大致如右图：依题意，若有两个极值点，则，即，因此选项D正确；注意到，，因此，存在，有，故选项A正确；又，故，因为，高三数学试题第21页（共4页）学科网（北京）股份有限公司\n所以，故选项C正确；因为，即，故，即．由于，，所以，从而，故选项B错误．三、填空题:本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分．1314151613．【解析】由得：，由于与是单位向量，所以．14．【解析】根据三角函数的图像与性质，可以写出，等函数表达式．15．【解析】两枚质地均匀的骰子抛掷一次，样本空间所含全部的样本点个数为36，事件“两枚骰子朝上的点数之积为偶数”包含样本点27个，其中事件“两枚骰子朝上的点数之和为奇数”包含样本点18个，从而，，故．16．【解析】如图所示，作点在平面上的投影点，连接和，显然平面．以为坐标原点，，分别为，轴的正方向，作，以为轴正方向，建立空间直角坐标系．由于直线与平面所成角为，所以．设（），则，；设，则，故（）高三数学试题第21页（共4页）学科网（北京）股份有限公司\n显然，．（1）当时，（）式，即点的轨迹为直线．（2）当时，（）式若上式表示圆的方程，则，解得又且，故且，即．四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）法一：因为，所以，两式相减得.……………………………………………………………………1分即，即.………………………………………………2分又，，故，…………………………………………………4分因此，数列是每项都是的常数列，从而.……………………………………………………5分法二：因为，所以，两式相减得.……………………………………………………………………1分即，即高三数学试题第21页（共4页）学科网（北京）股份有限公司\n.………………………………………………2分又，，所以，…………………………………………………3分故，………………………………………4分又符合上式，故，.…………………………………………………………………5分（2）因为，所以，…………………………………………………………………7分从而……………………………………………………………………9分因此.………………………………10分18.【答案】（1）的分布列为：；（2）.【解析】（1）的所有可能取值为，，.；；.……………………3分故的分布列为-214高三数学试题第21页（共4页）学科网（北京）股份有限公司\n所以.……………………………………………………………………5分（2）设队每局得分为，同理可得的分布列为………………………………7分记队、队在后两局总得分分别为、，则所包含的情况如下：……………………………8分，，，………………………………………………11分故队最终获得本场比赛胜利且总积分比队高3分的概率为.………………12分19.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理可知：，又，故.……………………………………………………………………………………2分所以，高三数学试题第21页（共4页）学科网（北京）股份有限公司\n………………………………………………………………3分又，得，……………………………………………………………………………4分由于，所以，即.…………………………………………………………………5分由余弦定理可知，，即，解得，其中舍去.……………………………………………………………………………6分（2）解法一：设，……………………………………………………………………7分由正弦定理可得：，即，故，，……………………………………………………………9分从而，其中，.……………………………………………………………………11分当时，有的最大值为.………………………………………………………………12分解法二：在中，由余弦定理得，，高三数学试题第21页（共4页）学科网（北京）股份有限公司\n即，即.……………………………………………………8分令，从而，整理得………………………………………………………………………10分依题意，上述关于的方程有正实数解；因为函数的对称轴所以，解得.所以的最大值为，此时..…………………………………………………12分20.【答案】（1）略；（2）.【解析】（1）如图所示，取中点，连接、.显然有，，且………………………………………………1分故，所以……………………………………………………………………………………2分又因为为中点，故为正三角形，即，即因为平面，平面所以平面…………………………………………………………………………………………3分在中，为中位线，故，又平面，平面所以平面…………………………………………………………………………………………4分又，故平面平面高三数学试题第21页（共4页）学科网（北京）股份有限公司\n又平面，故平面………………………………………………………………5分又平面平面，平面故…………………………………………………………………………………………………6分（2）过点作交于点，连接.因为平面平面，平面平面所以平面…………………………………………………7分又因为，，所以为直角三角形，且因此，，显然，即，且…………………8分如图所示，以为坐标原点，、、分别为、、轴的正方向，建立空间直角坐标系.则，，，，于是，，……………………………………………9分设平面的法向量为，则，即，即，取，则，，故……………………………………………………10分高三数学试题第21页（共4页）学科网（北京）股份有限公司\n因此…………………………………………………………………11分设直线与平面所成角为，则因此直线与平面所成角的正弦值为.…………………………………………………………12分21.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）设点坐标为，且.由题意，…………………………………………………………………………………2分整理得…………………………………………………………………………………………4分（2）解法1：如图所示，设，，且取中点，作在轴上的投影，取则,故，因此……………………………………………………………7分而,，故①设方程为，与抛物线联立得，高三数学试题第21页（共4页）学科网（北京）股份有限公司\n因此，且……………………………10分将上述式子带入①式，得所以，斜率为.…………………………………………………………………12分解法2：由题意，设方程为，与抛物线联立得，……5分设，，中点为，则，从而，即…………………………………………………………6分设，由于为正三角形所以且………………………………………………………………………………7分即，即，即………………………………………………8分又…………………………9分故，即，即高三数学试题第21页（共4页）学科网（北京）股份有限公司\n………………………………………………10分即，解得，从而斜率为……………………12分22.【答案】（1）；（2）略.【解析】（1）显然，，且，故故切线方程为，即………………………………………………………………4分（2）令………………………………………………6分当时，，单调递增故，即当时，………………………………………………8分令，得即…………………………………………………………………………………9分由此可得，高三数学试题第21页（共4页）学科网（北京）股份有限公司\n将以上个式子相加，得，且.……………………………12分高三数学试题第21页（共4页）学科网（北京）股份有限公司
