三峡名校联盟2022年春季联考高2023届数学试题考试时间：120分钟满分150分第I卷（选择题）一、单项选择题（本题共8道小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的）1.函数的导函数是（）A．B.C.D.2.4名同学在3道数学题中选择一道来解答，不同选择方法的种数是（）A．B.C.D.3.若函数在处可导，且，则（）A．B.C.D.4.已知展开式的二项式系数之和为64，则展开式的第5项是（）A．B.C.D.5.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（）A．B.C.D.6.班长小杨要安排一场班级晚会的6个节目的演出顺序，在“节目A不是第一个节\n目且节目B不是最后一个节目”条件下，节目C第一个出场的概率是（）A．B.C.D.7.已知函数的图像如右图所示，则函数的解析式可能是（）A.B.C.D.8.春天到了，4个大人和3个小孩在一个景区春游，景区有划船游玩项目，现有3艘不同造型的船只可供租用，出于安全与划船考虑，每艘船上必须要有至少要有一个大人，并且每艘船最多可以乘坐4人，则不同的租船乘坐方式有（）A．B.C.D.二、多项选择题（本题共4题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.对于定义在上的可导函数，为其导函数，下列说法不正确的是（）A．使的一定是函数的极值点B．在上单调递增是>0在上恒成立的充要条件C．若函数既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大D．若在上存在极值，则它在一定不单调10.从4名男生和4名女生中选出4\n人组成一支队伍去参加一项辩论赛，下列说法正确的是（）A．如果参赛队中男生女生各两名，那么一共有36种选法B．如果男生甲和女生乙必须入选，那么一共有30种选法C．如果至少有一名女生入选，那么一共有140种选法D．如果4人中必须既有男生又有女生，那么一共有68种选法11.已知，若能被5整除，则的取值可以是（）A．B.C.11D.1212.定义在上的函数满足，且，则满足不等式的的取值有（）A．B.C.1D.2第II卷（非选择题）三、填空题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）13.某物体的运动方程为，其中表示位移，单位是，表示时间，单位是，则该物体在第2时的瞬时速度为.14.正十边形有条对角线.15.已知关于的三元一次方程，则该方程有组正整数解.16.已知函数，若关于的不等式有且仅有两个整数解，则实数的取值范围是.四、解答题（本题共6大题，70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤。）17．（满分10分）由数字1,2,3,4,5组成无重复数字的五位数.（1）一共可以组成多少个五位偶数?（2）在组成的所有五位数中，比32145大的五位数有几个?\n18.（满分12分）若函数，当时函数有极值.（1）求函数的解析式；（2）求曲线过点的切线方程.19．（满分12分）已知（1）若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，求展开式中的系数；（2）若，且，求.20.（满分12分）石宝寨位于重庆市忠县境内长江北岸边，被称为“江上明珠”，国家AAAA级旅游景区，全国重点文物保护单位，长江三峡最佳旅游景观之一，美国探索频道中国七大奇观之一，世界八大奇异建筑之一。近期石宝寨景区为提高经济效益，拟投入资金对景区经行改造升级，经过市场调查可知，景区门票增收（单位：万元）与投入资金（单位：万元）之间的关系式为：，其中，为常数，当投入资\n金10万元时，门票增收为16.5万元；当投入资金30万元时，门票增收为37万元.（参考数据：）（1）求的解析式；（2）石宝寨景区投入资金为多少时，改造升级后的旅游利润最大，最大值为多少?21.（满分12分）某商场正在进行“消费抽奖”活动，道具是甲乙两个箱子，里面装有形状大小材质数量均相同的小球若干，已知每个箱子里装有红球1个，黄球2个，蓝球若干个，若从一个箱子里任取两个小球，这两个小球均是蓝球的概率为0.1.（1）从甲箱里任取两个球，在已知一个小球是黄球的条件下，求另一个小球也是黄球的概率;（2）若活动规定取到一个红球积分为0分，取到一个黄球积分为1分，取到一个蓝球积分为2分，参加活动的人需要在甲乙两个箱子中各随机抽取一个球，用表示一个人参加活动的总积分，求的分布列.\n22.（满分12分）已知函数，.（1）求证：，;（2）若存在，且当时，使得成立，求证：.三峡名校联盟2022年春季联考2023届数学试题参考答案与评分标准一、单选题1-5BAADB6-8DCC二、多选题9、ABC10、AD11、BD12、AB三、填空题\n13、914、3515、（也可）16、17.解：（1）因为是五位偶数所以末尾只能是2或者4从而一共有个五位偶数.…………………………………………………………5分（2）比32145大的五位数分为以下几类：①首位是3：;②首位是4或者5：.所以一共有48+17=65个这样的五位数.……………………………………………………10分18.解：（1）由时函数有极值可得又因为故，………………………………………………………………2分可得所以…………………………………………………………………………4分（2）设曲线与过点的切线相切于点，则切线斜率\n所以切线方程为………………………………………6分又由于点在切线上，代入化简可得……………………………………………………………………………8分即解得或…………………………………………10分故所求切线方程为或.……………………………………12分19．解：（1）由题意可知：只有第7项的二项式系数最大即最大，故由二项式系数的性质可知………………………………………………2分因此的展开式通项是根据题意，得………………………………………………………………4分因此的系数是…………………………………………………………………………6分（2），由题意不难得展开式中的奇数项系数为负\n即为负…………………………………………………………………………8分所以……………………………………………………10分………………………………………12分20.解：（1）由题意可得……………………………………………………2分解得，………………………………………………………………………………5分所以…………………………………………6分（2）结合（1）的结论可得…………………………………7分从而所以……………………………………………………8分列表得的变化情况：\n单调递增极大值单调递减由上表可知是函数在内的极大值点，也是最大值点.…………………10分此时最大值为（万元）所以当投入资金为20万元时，旅游利润最大，最大值为10万元.………………………12分21.解：（1）设两个箱子的蓝球数量为个则由题意可知本题为古典概型那么样本空间“任取两个小球”所包含的样本点数量为，“两个小球均是蓝球”所包含的样本点数量为…………………………………………1分所以由古典概型的概率计算公式可得解得或者（舍）从而可知两个箱子中均装有蓝球2个。……………………………………………………3分记事件A为“取到的两个球都是蓝球”，事件B为“取到的两球中至少一球为蓝球”…4分则由题意可知所求概率为\n故所以在已知一个小球是黄球的条件下，另一个小球也是黄球的概率为.…………………6分（2）由题意可得的可能取值为0,1,2,3,4.……………………………………………………7分,,,,.…………………………………………………………………………10分故的分布列为01234……………………………………12分22.解：（1）证明：设函数，则\n由，可得故………………………………………………2分从而在上单调递增所以即，证毕…………………………………………………………………4分（2）证明：根据题意：不妨设.由可得所以…………6分由（1）可知在上单调递增所以即所以从而故\n……………………………………………………………………………8分下证:令即证只要证设则所以在上单调递减从而即故…………………………………………………………………………10分所以即所以.证毕………………………………………………………………………12分
