山西大学附中2021～2022学年高三第二学期5月诊断考试数学试题（理）考试时间：120分钟一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分.每小题只有一个选项正确）1．设，则（ ）A．B．C．D．2．已知集合，，则（ ）A．B．C．D．3．非零向量，，满足，与的夹角为，，则在上的投影为（ ）A．－1B．C．1D．4．已知等差数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，，则（ ）A．28B．30C．32D．355．若点在角的终边上，则（ ）A．2B．C．D．6．2022年北京冬奥会和冬残奥会给世界人民留下了深刻的印象，其吉祥物“冰墩墩”和“雪容融的设计好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合．为了弘扬奥林匹克精神，某学校安排甲、乙等5名志愿者将吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”安装在学校的体育广场，每人参与且只参与一个吉祥物的安装，每个吉祥物都至少由两名志愿者安装．若甲、乙必须安装不同的吉祥物，则不同的分配方案种数为（ ）A．8B．10C．12D．147．点F是抛物线的焦点，点，P为抛物线上一点，P不在直线AF上，则△PAF的周长的最小值是（ ）A．4B．6C．D．8．2008年北京奥运会游泳中心(水立方)的设计灵感来于威尔·弗兰泡沫，威尔·弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进，开尔文体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成(其中每一个顶点处有一个正方形和两个正六边形)，已知该多面体共有24个顶点，且棱长为1，则该多面体表面积是（ ）\nA．B．C．D．9．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A为锐角，，若，则△ABC的面积为（ ）A．B．C．D．10．已知双曲线C：的左、右焦点为，，渐近线上一点P满足（O坐标原点），，则双曲线C的离心率为（ ）A．B．C．D．11．已知实数满足，，，，，，则（ ）A．B．C．D．12．已知定义在R上的函数的图象关于点对称，若对任意的有（是函数的导函数）成立，且，则关于x的不等式的解集是（ ）A．B．C．D．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则__________.14．已知的展开式中各项系数和为，则该展开式中的系数是_____．15．如图，已知点是平行四边形的边的中点，点在线段上，且满足，其中数列是首项为1的数列，则数列的通项公式为.16．如图，多面体ABCDEF中，面ABCD为正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，且AB=DE=2，CF=1，G为棱BC的中点，H为棱DE上的动点，有下列结论：①当H为DE的中点时，GH∥平面ABE；②存在点H，使得GH⊥AE；③三棱锥B−GHF的体积为定值；\n④三棱锥E−BCF的外接球的表面积为．其中正确的结论序号为________．（填写所有正确结论的序号）三、解答题：（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分17．已知数列的前项和为，，从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答．（条件①：； 条件②：； 条件③：.）选择条件 和 ．(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，并求数列的前项的和18．某地区为了了解人民群众对新型冠状病毒肺炎认知情况，调查了年龄在的人群，通过调查数据表明，新型冠状病毒肺炎的感染是人民群众较为关心的问题，参与调查的人群中能自觉隔离防控新型冠状病毒肺炎的约占.现从参与调查并关注新型冠状病毒肺炎问题的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，得到了如图所示的频率分布直方图.(1)求这人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；(2)现在要从年龄较大的第、组中用分层抽样的方法抽取人，再从这人中随机抽取人进行访谈，求第组恰好抽到人的概率；(3)若从众多参与调查的人中任意选出人，设能自觉隔离防控新型冠状病毒肺炎的人数为随机变量，求的期望与方差.19．已知椭圆()的离心率为，其右焦点为F，点，且．(1)求C的方程；(2)过点P且斜率为()的直线l与椭圆C交于A、B两点，过A、B分别作y轴的垂线，垂足为M、N，直线AN与直线交于点E，证明：B、M、E三点共线．20．如图，在三棱台中，底面是边长为2的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点．（1）证明：；\n（2）记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．21．已知函数．(1)求的极值；(2)若不等式恒成立，求实数m的最小值．（二）选考题，共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为(1)求曲线C与坐标轴所围成图形的面积；(2)已知点，在曲线C上，求△OAB面积的最大值．23．已知函数．(1)若，解不等式；(2)求证：．5月数学理科答案1．【详解】因，则故选：A2．【详解】由，即，解得，所以，又，所以；故选：A3．【详解】由于，所以，由于与的夹角为，所以，在上的投影为.故选：C4．【详解】因为，所以，\n又因为，所以公差，所以，故选：.5．【详解】因为，，即，所以，则.故选：C.6．【详解】甲和乙必须安装不同的吉祥物，则有种情况，剩余3人分两组，一组1人，一组2人，有，然后分配到参与两个吉祥物的安装，有，则共有种，故选：．7．【详解】抛物线的焦点，准线为过点作准线于点，故△PAF的周长为，，可知当三点共线时周长最小，为故选：C8．【详解】棱长为1的正方形的面积为，正六边形的面积为，又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点，所以最多有6个正方形，最少有4个正六边形，1个正六边形与3个正方形相连，所以该多面体有6个正方形，正六边形有个，所以该多面体的表面积为，故选：C.9．【详解】因为，所以，所以，所以或．又A为锐角，所以．因为，所以，所以，又，所以，所以为锐角，所以，又，所以，所以△ABC的面积，故选：D．10．【详解】由双曲线的性质可得，由双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，因为，所以，即，设，\n因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，因为，所以，所以的横坐标为，纵坐标为，即点的坐标为，所以，设，则，在中，由余弦定理可得，所以，得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以离心率为，故选：B11．【详解】由题意得：；令，则，当时，；当时，；在上的单调递减，在上单调递增；；又，当时，；方程有两个不等解，，；，又，，，；又，，；综上所述：.故选：D.12．【详解】因为函数的图象关于点对称，所以函数是奇函数，因为，所以．令，则在R上单调递增．又，，\n所以，．因为，所以，即，所以，所以．故选：C．13．【详解】∵双曲线的焦点在x轴上∴，即.∵双曲线的两条渐近线互相垂直∴，即，解得（负值舍去）.故答案为：1.14．【详解】由题意令，得，即，解得，则中含的项为，故展开式中的系数是，故答案为：-6315．【详解】为中点，，，又、、三点共线，，又，，化简可得，，又数列是首项为4、公比为2的等比数列.，.16．【详解】对①：当H为DE的中点时，取中点为，连接，如下所示：因为分别为的中点，故可得//，，根据已知条件可知：//，故//，故四边形为平行四边形，则//，又面面，故//面，故①正确；对②：因为面面，故，又四边形为矩形，故，则两两垂直，以为坐标原点，建立空间直角坐标系如下所示：则，设，，若GH⊥AE，则，即，解得，不满足题意，故②错误；对③：，因为均为定点，故为定值，又//面面，故//面，又点在上运动，故点到面的距离是定值，故三棱锥的体积为定值，则③正确；对④：取△的外心为，过作平面的垂线，则三棱锥的外接球的球心一定在上因为面，面面，则，又，\n面，故面,又面，则//，故在同一个平面，则过作，连接如图所示.在△中，容易知，则由余弦定理可得，故，则由正弦定理可得；设三棱锥的外接球半径为，则，在△中，，，又，故由勾股定理可知：，即，解得：，则该棱锥外接球的表面积，故④正确.故答案为：①③④.17．【详解】(1)选①②，由可知数列是以公差的等差数列，又得，故选②③，由可知数列是以公差的等差数列，由可知，选①③，无法确定数列.(2)，其中,当，时，当，时，数列是从第三项开始，以公差的等差数列.18．【详解】(1)由，得，∴平均数为（岁），设中位数为岁，则，解得(岁)，即中位数约为岁；(2)由频率分布直方图可得第、组的频率比为3:1；所以从第、组中抽取的人数比为3:1，又两组共抽取8人，所以第、组抽取的人数分别为人、人， 设从人中随机抽取人进行访谈且第组恰好抽到人为事件，则； (3)从众多参与调查的人中任意选出人，能自觉隔离防控新型冠状病毒肺炎的概率为，可取、、、，服从，则，，\n，， 则的分布列为：∴.19．【详解】(1)设()，由题意知，∴．∵点，且，解得，∴，，因此C的方程为．(2)由题意可知，直线l的方程为．由得，设，，则，．∵轴，∴，∴直线，令，得．∵轴，∴．∴，∴B，M，E三点共线．20．【详解】（1）证明：如图，作的中点，连接，，在等腰梯形中，，为，的中点，∴，在正中，为的中点，∴，∵，，，，平面，∴平面，又平面，∴．（2）解：∵平面，在平面内作，以为坐标原点，以，，，分别为，，，轴正向，如图建立空间直角坐标系，∵，，∴为二面角的平面角，即，，，，，\n，，设平面的法向量为，，，则有，即，则可取，又，设直线与平面所成角为，∴，∵，∴，∴．21．【详解】(1)由题意知，令，得，令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，无极大值．(2)由题意知恒成立，设，则．①当时，，与恒成立矛盾，不合题意．②当时，在上单调递减，又因为，且时，，所以，使得，即，且当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以，．由恒成立知，又因为，所以．所以，即，解得．设，，则，所以在上单词递增，所以，即m的最小值是．\n22．【详解】(1)当时，所以，则，即，因为，，所以，又，所以；当时，所以，则，即，因为，所以，所以，，所以；所以曲线的图形如下所示：所以曲线与坐标轴所围成图形的面积为；(2)因为点，在曲线C上，所以，所以的面积所以当，即时；23．【详解】(1)由题意，时，即，则，即，解得或，故不等式解集为或；(2)证明：，当时，，当时，，由于，故，当时，，综合以上，.
