浙江省湖州中学2021学年第二学期高一第二次质量检测数学试题考生须知：1.本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上.3.选择题的答案须用2B铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净.4.非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，答案写在本试题卷上无效.命题人：高一数学备课组一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D2.设内角A，，所对的边分别为，，，若，则等于（）A.B.C.D.【答案】A3.已知、，且，则点的坐标为（）A.B.\nCD.【答案】C4.已知两个不重合的平面，若直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B5.如图，已知正四棱锥底面边长为2，侧棱长为4，为侧棱中点，则直线与底面所成角的正弦值为（）A.B.C.D.【答案】D6.如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，m，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（）\nA.30mB.mC.mD.m【答案】D7.已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，则（）A.α∥β且∥αB.α⊥β且⊥βC.α与β相交，且交线垂直于D.α与β相交，且交线平行于【答案】D8.已知正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（）A.B.C.D.【答案】B二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.9.设为两条不重合的直线，为两个不重合的平面，则下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】CD\n10.已知平面向量满足，则下列结论正确的是（）A.与的夹角为B.向量是单位向量C.与可以作为直角坐标平面的一组基底D.可以取到2【答案】AC11.设的内角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（）A若，，，则B.若，则C.若，，则符合条件的有两个D.若，则为等腰三角形或直角三角形【答案】BCD12.在正方体中，点为线段上一动点，则（）A.对任意的点，都有B.三棱锥的体积为定值C.当为中点时，异面直线与所成的角最小D.当为中点时，直线与平面所成的角最大【答案】ABD\n三、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.已知复数满足：（为虚数单位），则_________.【答案】14.已知非零向量，，满足，与的夹角为，，则向量在向量上的投影向量的模为________．【答案】15.长宽高分别为1，，2的长方体的外接球表面积为_________.【答案】16.如图所示，已知正四面体中，分别为棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_________.【答案】四、解答题：本大题共7小题，共70分.17.已知向量，，，且，．（1）求与；（2）若，，求向量与的夹角的大小．【答案】（1），；（2）.\n18.设的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（1）若，，求的面积；（2）若，求角的大小．【答案】（1）；（2）.19.杭州亚运会主场馆坐落于杭州奥体中心，外形酷似一只巨大的“莲花碗”，在大气磅礴的“莲花碗”旁有一座高楼“杭州之门”，“杭州之门”呈“H”型，分东、西两塔，为了测量“莲花碗”楼顶中心C与“杭州之门”东塔最高点D这两点间的距离，无人机在A点测得前方C、D两点的俯角分别为75°，30°后，沿水平飞行1000米到B点，此时发现C、D两点在无人机后方，于是调整无人机方向，测得C、D两点的俯角分别为45°，60°（如图A、B、C、D在同一个铅垂平面内），求的值.【答案】米20.已知菱形的边长为2，为对角线（异于，）上一点．\n（Ⅰ）如图1，若，，设，．试用基底表示，并求；（Ⅱ）如图2，若，点在边，上的射影分别为，，求与的夹角．【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.21.已知平面四边形，，，，现将沿边折起，使得平面平面，此时，点为线段的中点.（1）求证：平面；（2）若为的中点，求与平面所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【小问1详解】因为所以为等边三角形，因为为的中点,所以.取的中点，连接，，则，因为平面平面平面平面平面，所以平面，又平面，所以\n因为平面所以平面因为平面所以又因为平面，所以平面.22.（注：本大题用坐标法不给分）如图，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，分别为，，的中点，，.（1）设是的中点，证明：平面；（2）证明：在内存在一点，使平面，并求点到，的距离.【答案】（1）证明见解析（2）4，【小问1详解】取中点，连接，由题意可得，故，又平面，故平面.又，故，又平面，故平面.又，平面，故平面平面.又平面，故平面\n【小问2详解】由（1）平面平面，且平面，则平面.设，在上取一点使得于，如图所示.由（1），故，又为中点，故为中点，故.因为平面平面，且是以为斜边的等腰直角三角形，故，又平面平面，故面，故面，所以.又，故平面.又平面，故且共面.又平面，平面，故，故四边形为平行四边形，故到，的距离分别为.又，在中有，故，解得，故点到，的距离分别为4，
