2021-2022学年第二学期四校联合体期末考试高二数学试卷考试时间：2022年6月27日试卷满分：150分★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．1．已知，，，则（）A．B．NC．D．M2．已知复数，则下列说法正确的是（）A．复数z的实部为3B．复数z的虚部为C．D．3．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知向量，，则在上的投影向量为（）A．B．C．D．5．在一次试验中，随机事件A，B满足，，则（）A．事件A，B一定互斥B．事件A，B不一定互斥\nC．事件A，B一定互相独立D．事件A，B一定不互相独立6．甲、乙、丙、丁四位同学决定去黄鹤楼、东湖、汉口江滩游玩，每人只能去一个地方，汉口江滩一定要有人去，则不同游览方案的种数为（）A．65B．73C．70D．60．7．已知、是双曲线（，）的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右两支分别交于点P，Q．若，M为PQ的中点，且，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．28．已知，，，则（）A．B．C．D．二、多项选择题：全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．的监测值是用来评价环境空气质量的指标之一划分等级为：日均值在以下，空气质量为一级；日均值在，空气质量为二级；日均值超过为超标．如图是某地12月1日至10日的日均值（单位：）变化的折线图，关于日均值说法正确的是（）A．这10天日均值的80%分位数为69B．前5天的日均值的极差小于后5天的日均值的极差C．前5天的日均值的方差大于后5天的日均值的方差D．这10天的日均值的中位数为41\n10．设函数（，）的最小正周期为，且过点，则下列正确的为（）A．B．的图象关于直线对称C．的周期为D．把函数的图像向左平移个长度单位得到的函数的解析式为11．已知函数，e为自然对数的底数，则（）A．B．C．D．12．如图，直四棱柱中，底面ABCD为平行四边形，，点P是经过点的半圆弧上的动点（不包括端点），点Q是经过点D的半圆弧上的动点（不包括端点），则下列说法正确的是（）\nA．四面体PBCQ的体积是定值B．的取值范围是C．若与平面ABCD所成的角为，则D．若三棱锥的外接球表面积为S，则三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在的展开式中，含项的系数为________．14．已知等差数列的公差为2，且，，成等比数列，是数列的前n项和，则________．15．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图像关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．（1）请写出一个图象关于点成中心对称的函数解析________；（2）利用题目中的推广结论，则函数图象的对称中心坐标是________．16．从抛物线的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA、PB，且A、B为切点，若直线AB的倾斜角为，则P点的横坐标为________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知是公差为3的等差数列，数列满足，，．（1）求的通项公式；（2）求的前n项和．18．（12分）如图，在中，已知，，，BC边上的中线AM与的角平分线BN相交于点P．\n（1）的余弦值．（2）求四边形PMCN的面积．19．（12分）如图，在三棱柱中，平面平面ABC，是边长为2的正三角形，D是AB的中点，，直线与平面所成的角为45°．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值．20．（12分）最近考试频繁，为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏．班主任把除颜色不同外其余均相同的8个小球放入一个纸箱子，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个．现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白球每个记1分，黄球每个记2分，红球每个记3分，绿球每个记4分，规定摸球人得分不低于8分获胜．比赛规则如下：①只能一个人摸球；②摸出的球不放回；③摸球的人先从袋中摸出1球；若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，他的得分为两次摸出的球的记分之和；④剩下的球归对方，得分为剩下的球的记分之和．（1）若甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜的概率；（2）如果乙先摸出了红色球，求乙得分的分布列和数学期望．21．（12分）已知椭圆M：的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为．\n（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M交于A、B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求面积的最大值．22．（12分）已知函数．（1）求的单调区间；（2）若函数，当时，恒成立，求实数m的取值范围．2021-2022学年度下学期期末考试高二数学参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．12345678DCABBACA二、多项选择题：全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9101112ABBCABCBCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．6014．10815．（1）（答案不唯一）（2）16．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）由已知，，，，得，所以数列是首项为2，公差为3的等差数列，其通项公式为．\n（2）由（1）和得，因此是首项为1，公比为的等比数列．记的前n项和为，则．18．（1）在中，由余弦定理可知：，即故，∵，∴是等腰三角形，故在中，由余弦定理可知：即，在中，由正弦定理可知：因为为锐角，所以（2）由（1）知：P是的重心，所以∵，∴，故，所以四边形PMCN的面积为\n19．（1）证明：连接交于点E，连接DE，因为四边形是平行四边形，所以E是的中点，又因为D是AB的中点，所以，因为平面，平面，所以面．（2）取AC中点O，连接、OB，因为，所以，因为平面平面ABC，平面，平面平面，所以平面ABC，因为是正三角形，O是AC的中点，所以，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，，，，，，所以，，，又平面的一个法向量，所以，因为，解得，设平面的一个法向量，则，取，可得，，所以，又平面的一个法向量，所以，设二面角的平面角为，由图知为钝角，则，\n即二面角的余弦值为．20．（1）记“甲第一次摸出了绿色球，求甲获胜”为事件A则（2）如果乙第一次摸出红球，则可以再从袋子里摸出3个小球，则得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分所以的分布列为：67891011P所以的数学期望21．解：（1）∵椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形的周长为，∴\n又椭圆的离心率为，即，∴；∴，，∴，椭圆M的方程为．（2）不妨设BC的方程则AC的方程为．由得，设，∵，∴，同理可得．∴，，，设，则，当且仅当时等号成立，∴面积的最大值为．22．（1），当时，，当时，．从而的单调递增区间为，单调递减区间为．（2），恒成立，即恒成立当时，显然成立；当时，即恒成立即恒成立，即\n即由知，，由①可知，即：．令，，即在上为增函数，，∴，综上，．
