北大附中2022-2022学年第一学期期中考试数学试卷2022．11．6一、选择题：（每个小题3分，共10小题，计30分）在下列各题的四个被选答案中，只有一个是正确的，请你将正确答案前的字母添在答题卡对应的位置。1、若a、b、c∈R，且|a-c|<|b|，则（）（A）|a|<|b|+|c|(B)|a|<|b|-|c|(C)a<b+c(D)a>c-b2、已知a>0，b>0，则不等式的解集为（）（A）或（B）或（C）或（D）或3、不等式的解集是（）（A）（-1，3）（B）（-3，1）（C）（3，+∞）（D）（-∞，-1）∪（3，+∞）4、不等式的解集是（）（A）{x|x>1}（B）（C）{x|x≥1或x=-2}（D）{x|x≥-2且x≠1}5、设，，，则a，b，c的大小关系是（）（A）a<b<c（B）c<b<a（C）a<c<b（D）c<a<b6、若ab<0，则直线的倾斜角为（）（A）（B）（C）（D）7、直线l到直线2x+y-1=0的角是45°，则直线l的斜率是（）（A）（B）36/6\n（C）-1或3（D）或38、下列四个命题中，正确的是（）（A）通过点（0，2）且倾斜角是15°的直线方程是。（B）设直线和的斜率分别为和，则和的夹角是。（C）直线的倾斜角是。（D）已知三点A（a+b，c），B（b+c，a），C（c+a，b），则A，B，C三点共线。9、设k为实数，则直线方程y=k(x+1)表示的图形是（）（A）通过点（1，0）的一切直线。（B）通过点（-1，0）的一切直线。（C）通过点（1，0）且不与y轴平行的一切直线。（D）通过点（-1，0）且不与y轴平行的一切直线。10、已知A（3，1），B（-1，2），若∠ACB的平分线在y=x+1上，则AC所在直线方程是（）（A）y=2x+1（B）（C）y=-3x-1（D）x-2y-1=0二、填空题：（每空4分，共6空，计24分）请把你认为正确的答案填写在答题卡对应的位置。11、若不等式的解集是2<x<3，则不等式的解集是：________12、不等式的解集是：_______________13、不等式的解集是：_____________14、函数的定义域是________________，值域是___________。15、△ABC的顶点坐标分别为A（1，2），B（4，1），C（4，4），直线l平行于BC，截△ABC得到一个小三角形，且截得小三角形面积是△ABC面积的，则直线l的方程为______________三、解答题：（共6小题，计46分）请写出详细的解题过程。16、（本题6分）已知，，…，均为正数，且，求证：6/6\n17、（本题8分）已知a，b，，求证：18、（本题8分）解不等式：19、（本题8分）解关于x的不等式：20、（本题8分）求与直线平行，并且与两坐标轴都相交在正半轴所成的三角形面积为24的直线l的方程。21、（本题8分）等腰三角形两腰所在的直线方程是，，它的底边所在直线经过点A（3，-8），求底边所在直线方程。北大附中2022-2022学年第一学期期中考试数学试卷答案一、选择题答题卡：（每小题3分，共30分）1A2B3C4C5A6C7B8D9D10D二、填空题答题卡：（每个空4分，共24分）11、12、（-∞，-1]∪（1，2]13、，且x≠014、；15、x=2三、解答题：（共6小题，计46分）请写出详细的解题过程。16、（本题6分）已知，，…，均为正数，且，求证：证明：∵，1>0；；…………2分同理：；…………6/6\n由不等式性质：上面n大于0的同向不等式相乘，即得：…………4分∵已知：，代入上式得：…………6分17、（本题8分）已知a，b，，求证：证明：欲证成立，只需证明：成立…………2分即证明：，∵a，b，…………3分∴…………6分可知：成立。所以，原不等式成立，即…………8分18、（本题8分）解不等式：证明：原不等式等价于①…………2分或②…………4分由不等式①解得：解出：…………6分6/6\n由不等式解得：解出：…………7分综上：原不等式的解集为。…………8分19、（本题8分）解关于x的不等式：解：原不等式等价于：即：（x+a）(x+3)(x+1)>0…………3分①当-a<-3,即a.>3时：原不等式解集为：（-a,-3）∪（-1，+∞）…………4分②当-a=-3，即a=3时，原不等式解集为：（-1，+∞）…………5分③当-3<-a<-1，即1<a<3时，原不等式解集为：（-3，-a）∪（-1，+∞）…………6分④当-a=-1，即a=1时，原不等式解集为（-3，-1）∪（-1，+∞）…………7分⑤当-a>-1，即a<1时，原不等式解集为：（-3，-1）∪（-a，+∞）…………8分20、（本题8分）求与直线平行，并且与两坐标轴都相交在正半轴所成的三角形面积为24的直线l的方程。解：直线，化为斜截式：所以，的斜率为；∵所求直线,∴l的斜率也为；∴设l的方程为，…………3分∵l与两坐标轴都相交在正半轴，∴m>0；当y=0时，求得直线l和x轴交点为由已知l与x轴，y轴所围成的三角形面积为24。所以：，…………6分解出：m=±6，由分析m>0，舍去-6，所以m=6，…………7分所以，所求的直线方程为，即：3x+4y-24=0…………8分解二：设为截距式…………3分列出方程组…………5分解出…………7分正确答案…………8分21、（本题8分）等腰三角形两腰所在的直线方程是，6/6\n，它的底边所在直线经过点A（3，-8），求底边所在直线方程。解：设，，底边所在直线的斜率分别为，，k；由得y=7x-9，所以，由得y=-x+7，所以；…………2分如图，由等腰三角形性质，可知：l到的角=到l的角；由到角公式得：…………3分图…………4分解出：k=-3或…………6分由已知：底边经过点A（3，-8），代入点斜式，得出直线方程：或………………7分3x+y-1=0或x-3y-27=0。………………8分6/6
