高二年级数学上学期期末考试试卷(理科)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．向量,则与()A.相交B.垂直C.平行D.以上都不对2．在中,则AC边长为()A.B.C.D.3.过抛物线y=x2上的点M（,）的切线的倾斜角是（）ABCD4.设在上的图象是一条连续不间断的曲线，且在内可导，则下列结论中正确的是（）A.在上的极值点一定是最值点B.在上的最值点一定是极值点C.在上可能没有极值点D.在上可能没有最值点5.集合,,若则实数P的取值范围是（）A.B.C.D.6.已知数列,如果()是首项为1公比为的等比数列，那么等于（）A.B.C.D.7.已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为（）A.B.C.D.8.如图所示长方体ABCD—中，，AD=1，9/9点E、F、G分别是的中点，则异面直线和GF所成的角为（）A.B.C.D.9.已知函数的图象如图所示（为两个极值点），且则有（）A.B.C.D.10．已知直线y=kx-k及抛物线，则（）A.直线与抛物线有且只有一个公共点B.直线与抛物线有两个公共点C.直线与抛物线有一个或两个公共点D.直线与抛物线可能没有公共点11已知梯形的两底的长度分别为。将梯形的两腰各分为n等份，连结两腰对应的分点，得到n-1条线段的长度之和为（）A.B.C.D.12．已知椭圆，过动点P的直线PA,PB分别与椭圆有且只有一个交点，交点为A、B，且，则动点P的轨迹是（）A.圆B.双曲线C.椭圆D.抛物线二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．由曲线与所围成的图形的面积是.14．已知x,y满足条件则z=2x+5y的最大值为15．函数的最小值是.16．给出下列三个命题(1)设是定义在R上的可导函数，为函数的导函数。是为9/9极值点的必要不充分条件。(2)双曲线的焦距与m有关（3）命题“中国人不都是北京人”的否定是“中国人都是北京人”。（4）命题“”其中正确结论的序号是。三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）已知在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a,b,c,，求b，c及18．（本小题满分12分）数列｛｝的前n项和记为，1＝1，.（1）求｛｝的通项公式；（2）等差数列｛｝的各项为正数，其前n项和为，且T3＝15，又1+1，2+2，3+3成等比数列，求19．（本小题满分12分）如图，在五棱锥P－ABCDE中，PA＝AB＝AE＝2，PB＝PE＝，BC＝DE＝，∠EAB＝∠ABC＝∠DEA＝90O.（1）求证：PA⊥平面ABCDE；（2）求二面角A-PD-E的大小.20．（本小题满分12分）定义在R上的函数ƒ()=3+2+(,为常数)，在=－1处取得极值，ƒ()的图象在P（1，ƒ(1)）处的切线平行直线＝8，（1）求函数ƒ()解析式及极值；（2）求不等式ƒ()≥的解集；21．（本小题满分12分）已知曲线C上任意一点M到点F（0，1）的距离比它到直线＝的距离小1. （1）求曲线C的方程； （2）若过点P（2，2）的直线m与曲线C交于A，B两点，设.9/9 （i）当λ＝1时，求直线m的方程； （ii）当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求λ的值.22．（本小题满分14分）已知ƒ()＝.（1）函数ƒ()在区间（0，+）上是增函数还是减函数？证明你的结论；（2）当＞0时，证明：ƒ()＞；（3）求证：（1+1·2）（1+2·3）…[1+n(n+1)]＞.2022—2022学年度上学期期末考试高二年级数学科试卷理科答案1C2B3B4C5C6A7D8D9C10C11C12A13、14、1915、516、（1）（3）17、解： ............3分............6分 b＝3 c=5或b=5c=3............8分当b＝3 c＝5时 ............10分当b＝5 c＝3时 ............12分9/918、解：（1）由（n≥1）可得（n≥2）,两式相减得n+1－n=2n，.又2＝2S1+1=3,，故｛n｝是首项为1，公比为3的等比数列，.............6分（2）设｛n｝的公差为，由T3＝15可得1+2+3＝15，可得2＝5，故可设1＝5－，3＝5+.又1＝1，2＝3，3＝9，由题意可得（5－+1）（5++9）＝（5+3）2，解得1＝2，2＝－10.等差数列｛n｝的各项为正，＝2，.............12分19、解：（1）PA＝AB＝2，PB＝，PA2+AB2＝PB2，∠PAB＝90O，即PA⊥AB.同理PA⊥AE.又AB∩AE＝A，PA⊥平面ABCDE.............4分（2）解法一 如图，∠DEA＝90O，AE⊥ED.PA⊥平面ABCDE，PA⊥ED.又PA∩AE＝A，ED⊥平面PAE.过A作AG⊥PE于G，DE⊥AG，AG⊥平面PDE.过G作GH⊥PD于H，连结AH，由三垂线定理得AH⊥PD.∠AHG为二面角A-PD-E的平面角.在直角△PAE中，AG＝.在直角△PAD中，，在直角△AHG中，sin∠AHG＝.∠AHG＝arcsin，二面角A-PD-E的大小为arcsin.............12分解法二 建立如图所示的空间直角坐标系，则B（2，0，0），E（0，2，0），P（0，0，2），D（，2，0），C（2，，0），过A作AN⊥PD于N.（，2，－2），设，＝（，2，2－2）.AN⊥PD,9/9.·+2·2－2（2－2）＝0.解得.，即，同理，过E作EM⊥PD于M，则.二面角A－PD－E的大小为，所成的角＜＞.cos＜＞＝.＜＞＝arccos.二面角A－PD－E的大小为arccos.............12分20、解:（1）由题设知ƒ()＝3+22+，则，令，当变化时，ƒ()的变化情况如下表：（－，－1）－1（－1，）（+）+0－0+ƒ()↑0↓↑ƒ()的极大值为ƒ（-1）＝0，极小值为ƒ（）＝.............6分（2）3+22+≥.考虑方程根的情况，若＞0，则方程的根为，①当＞1时，，；②＝1时，不等式的解集为；③0＜＜1时，；9/9若＝0时，不等式的解集为；若＜0时，不等式的解集为.............12分21、解: （1）解法一 设当≥-2时；；当＜-2时，两边平方得，因＜-2，不合题意，舍去.故点M的轨迹C的方程是：.............4分解法二 ∵点M到点F（0，1）的距离比它到直线＝-2的距离小1.∴点M在直线的上方.∴点M到F（0，1）的距离与它到直线＝-1的距离相等.∴点M的轨迹C是以F为焦点为准线的抛物线，所以曲线C的方程为.（2）当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，当直线m与轴不垂直时，设直线m的方程为.代入得， ①＞0对k∈R恒成立.∴直线m与曲线C恒有两个不同的交点。设交点A，B的坐标分别为A（）B（），则. . （i）由，且λ＝1得，P为AB的中点，∴.把②代入得，.∴直线m的方程是.............6分（ii）＝.9/9点O到直线m的距离.=·=∵=∴.（（无实根）由1°当k＝0时，方程①的解为.当＝；当............10分2°当k＝2时，方程①的解为，同理可得，. ............12分22、解：（1） 因此函数ƒ()在区间（0，+）上是减函数.............3分（2）证明：当＞0时，ƒ()＞成立，即证当＞0时，（+1）ln（+1）+1-2＞0成立.令g（）＝（+1）ln（+1）+1-2，则，..............8分9/9（3）由（2）知：，，令.ln（1+1·2）+ln（1+2·3）+…+ln[1+n（n+1）]＞＝＝，.............14分9/9
