第五次月考数学理试题【重庆版】本试卷分选择题和非选择题两部分。第I卷（选择题），第II卷（非选择题），满分150分，考试时间120分钟。注意事项：1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5．考试结束后，只将答题卡交回。第I卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设向量，集合，则A. B. C. D.2.下列说法错误的是A.若命题“”为真命题，则“”为真命题 B.命题“若，则方程有实根”的逆命题为真命题C.命题“”的否定是“”D.“”是“”的充分不必要条件3.设等差数列的前项和为，且．则过点的直线斜率为A. B. C. D.4.在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，则该二项式展开式中项的系数为A．B．C．D．5.一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A．B．C．D．6.已知函数的一个对称中心为，与之相邻的一条对称轴为，则A. B. C. D.7.已知数列中，，若利用如图所示的7程序框图计算该数列的第项，则判断框内的条件应填为A．B．C．D．8.已知双曲线与抛物线有相同焦点，若双曲线与抛物线的一个公共点为，且点到抛物线的准线的距离为，则双曲线的离心率为A．B．C．D．9.如图，菱形的边长为，，点为边中点，点为菱形内任一点（包括边界），则的最大值为A．B．C．D．10.若函数的图象上存在不同两点，设线段的中点为，使得在点处的切线与直线平行或重合，则称切线为函数的“平衡切线”．则函数的“平衡切线”的条数为A．条或无数条 B．条或无数条 C．条或无数条 D．条或条第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，请按要求作答5小题，共25分，把答案填写在答题卡相应位置上）11.设为虚数单位，复数满足，则的共轭复数_______．12.名学生排成一列，则学生甲、乙在学生丙不同侧的排位方法种数为_____．13.在平面直角坐标系，动点在第一象限且点到点的距离等于点到两坐标轴距离之和，则的最小值为_____．考生注意：14~16题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分．14.如图，已知圆与圆交于两点，圆上的点处切线交圆于两点，交直线于点．若且，则圆的半径为_______．15.在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为____．16.若不等式对恒成立，则实数的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）设函数，若曲线在点处的切线斜率为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求在上的单调区间与极值．718.（本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）某射击比赛，开始时在距目标米处射击，如果命中记分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已在米处，这时命中记分，且停止射击；若第二次仍未命中还可以进行第三次射击，但此时目标已在米处，若第三次命中则记分，并停止射击；若三次都未命中，则记分．已知射手的命中率与目标距离（米）的关系为，且在100米处击中目标的概率为，假设各次射击相互独立．（Ⅰ）求这名射手在射击比赛中命中目标的概率；FBCEAHD（Ⅱ）求这名射手在比赛中得分的分布列与数学期望．19.（本题共13分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问7分）如图，在多面体中，底面是边长为的菱形，，四边形是矩形，平面⊥平面，，是的中点．（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）求二面角的大小．20.（本题共12分，第Ⅰ问6分，第Ⅱ问6分）设函数，若对均有恒成立．（Ⅰ）求实数的值及函数的单调递减区间；（Ⅱ）在中，分别为内角所对的边，且，求的内切圆半径的最大值．21.（本题共12分，第Ⅰ问4分，第Ⅱ问8分）已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点为，是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于的动点，且面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）直线与直线交于点．试判断以为直径的圆与直线的位置关系，并证明你的结论．22.（本题共12分，第（Ⅰ）问3分,第（Ⅱ）问4分，第（Ⅲ）问分）对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列．对于每项均是非负整数的数列，定义变换，将数列各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列．又定义．7设是每项均为正整数的有穷数列，令．（Ⅰ）如果数列为，写出数列；（Ⅱ）对于每项均是正整数的有穷数列，证明；（Ⅲ）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列，存在正整数，当时，．参考答案一、选择题12345678910ABBAADCACC二、填空题11.12.13.14.15.16.三、解答题717.（Ⅰ）（Ⅱ）则函数的单调递增区间为，单调递减区间为；极小值，无极大值．18.记“第一、二、三次射击命中目标”分别为事件A,B,C,“三次都未击中”为事件D，则P(A)=因为x=100时P(A)=所以k=5000，，（Ⅰ）；（Ⅱ）19.（Ⅰ）证明：因为四边形是菱形，所以.因为平面平面，且四边形是矩形，FBCEAHDOzNxy所以平面，又因为平面，所以.因为，所以平面.（Ⅱ）设，取的中点，连接，因为四边形是矩形，分别为的中点，所以，又因为平面，所以平面，由，得两两垂直.所以以为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系.，，，，.得，，.设平面的法向量为，所以即令，得.7由平面，得平面的法向量为，则.由图可知二面角为锐角，所以二面角的大小为.20.（Ⅰ）由题意知为函数的一个最小值点，则有：，则令得，即函数的单调递减区间为．（Ⅱ）设的面积为，则，即由余弦定理有：则由可得即，从而，即，当且仅当时取得．21.（Ⅰ）（Ⅱ）722.解：（Ⅰ）解：，．（Ⅱ）证明：设每项均是正整数的有穷数列为，则为，，，，，从而．又，所以，故．（Ⅲ）证明：设是每项均为非负整数的数列．当存在，使得时，交换数列的第项与第项得到数列，则．当存在，使得时，若记数列为，则．所以．从而对于任意给定的数列，由可知．又由（Ⅱ）可知，所以．即对于，要么有，要么有．因为是大于的整数，所以经过有限步后，必有．即存在正整数，当时，．7
