沈阳二中2022—2022学年度上学期期中考试高三（16届）数学（理科）试题说明：1.测试时间：120分钟总分：150分.2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题纸的相应位置上.第Ⅰ卷（60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。每题只有一个正确答案，将正确答案的序号涂在答题卡上.）1.数列2,5,11,20,,47,…中,的值等于( )A.28B.32C.33D.272.已知集合，，若,则实数的所有可能取值的集合为（）A.B.C.D.3.下列函数中，最小值为4的是（）A.B.C.D.4．设，，，则()A．B．C．D．5.下列叙述中，正确的个数是（）①命题：“”的否定形式为：“”；②O是△ABC所在平面上一点，若，则O是△ABC的垂心；③“M＞N”是“”的充分不必要条件；④命题“若，则”的逆否命题为“若，则”．A.1B.2C.3D.46.四面体SABC的各棱长都相等，如果E、F分别为SC、AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于()A.90°B.60°C.45°D.30°7.已知是等差数列的前项和，若，则()-8-\nA．B．C．D．8.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为()A.B.C.D.（第8题图）9.如图，平面内有三个向量，其中与的夹角为，与的夹角为，且，若，则()A.B.（第9题图）C.D.10.定义在R上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为()A．B．C．D．11．如图，正五边形的边长为2，甲同学在中用余弦定理解得，乙同学在中解得，据此可得的值所在区间为()（第11题图）A.B.C.D.12．已知，对，使得，则的最小值为（）A.B.C.D.-8-\n第Ⅱ卷（90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．由直线，，与曲线所围成的图形的面积等于.14．已知变量满足,则的取值范围是．Q15．如图，在棱柱的侧棱上各有BP一个动点，且满足，是棱上的动点，MAC（第15题图）则的最大值是．16．设首项不为零的等差数列前项之和是，若不等式对任意和正整数恒成立，则实数的最大值为.三、解答题：（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）已知函数()．（I）求函数的单调递增区间；（II）内角的对边长分别为，若且试求B和C.18.（本小题满分12分）设数列的前项和为，且.（Ⅰ）求证：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前项和.-8-\nPABCDE（第19题图）19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为侧棱PA的中点．（Ⅰ）求证：PC//平面BDE；（Ⅱ）若PC⊥PA，PD＝AD，求证：平面BDE⊥平面PAB．20．（本小题满分12分）“水资源与永恒发展”是2022年联合国世界水资源日主题．近年来，某企业每年需要向自来水厂缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C(单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x(单位：平方米)之间的函数关系是(x≥0，k为常数)．记y为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．(Ⅰ)试解释的实际意义，请建立y关于x的函数关系式并化简；(Ⅱ)当x为多少平方米时，y取得最小值？最小值是多少万元？21．（本小题满分12分）设函数的图象在点处的切线的斜率为，且函数为偶函数.若函数满足下列条件：①；②对一切实数，不等式恒成立.（Ⅰ）求函数的表达式；（Ⅱ）求证：.22．（本题满分12分）已知函数．（Ⅰ）若为的极值点，求实数的值；（Ⅱ）若在上为增函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）当时，方程有实根，求实数的最大值.-8-\n沈阳二中2022—2022学年度上学期期中考试高三（16届）数学（理科）试题参考答案及评分标准1-5：BDCAC6-10：CABCB11-12：CA13.314.15.16.17．解：（Ⅰ）∵…2分 ∴故函数的递增区间为(Z)………………4分（Ⅱ），∴．∵，∴，∴，即．………6分由正弦定理得：，∴，∵，∴或．………8分当时，；当时，．（舍）所以,.…………10分18.解：（Ⅰ）因为，所以有成立.两式相减得：.…………1分所以，即.…………3分所以数列是以为首项，公比为的等比数列.……………4分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，即.则.……………7分设数列的前项和为,-8-\n则，所以，所以，即.……………11分所以数列的前项和=，整理得，.……………12分19．证明：（1）连结AC，交BD于O，连结OE．因为ABCD是平行四边形，所以OA＝OC．……………………………………………2分因为E为侧棱PA的中点，所以OE∥PC．………………………………………………4分因为PC平面BDE，OEÌ平面BDE，所以PC//平面BDE．……………………………6分PABCDEO（2）因为E为PA中点，PD＝AD，所以PA⊥DE．……………………………………8分因为PC⊥PA，OE∥PC，所以PA⊥OE．因为OEÌ平面BDE，DEÌ平面BDE，OE∩DE＝E，所以PA⊥平面BDE．………………………………10分因为PAÌ平面PAB，所以平面BDE⊥平面PAB．……………12分20.(Ⅰ)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元…………2分，；…………3分（x≥0）﹒…………5分(Ⅱ)…………8分当时，即时有最小值，最小值为…………11分当x为15平方米时，y取得最小值7万元…………12分21.（Ⅰ）解：由已知得：.…………1分由为偶函数，有.…………2分-8-\n又，所以，即.…………3分因为对一切实数恒成立，即对一切实数，不等式恒成立.当时，不符合题意.…………4分当时，，得.所以.……………6分（Ⅱ）证明：，所以.因为,…………10分所以…11分所以成立…………12分22.解：（Ⅰ）．……1分因为为的极值点，所以．即，解得．……2分又当时，，从而为的极值点成立．…………3分（Ⅱ）因为在区间上为增函数，所以在区间上恒成立．………4分①当时，在上恒成立，所以在上为增函数，故符合题意．…………………………………………5分②当时，由函数的定义域可知，必须有对恒成立，故只能，所以在上恒成立．………………6分-8-\n令，其对称轴为，因为所以，从而在上恒成立，只要即可，因为，解得．………………………………7分因为，所以．综上所述，的取值范围为．………………………8分（Ⅲ）若时，方程可化为．问题转化为在上有解，即求函数的值域．…………………………9分因为，令，则，…………………………10分所以当时，从而在上为增函数，当时，从而在上为减函数，……………11分因此．而，故，因此当时，取得最大值0．…………………………………12分-8-
