辽宁省实验中学分校2022—2022学年度高三上学期期中考试数学学科（文）第I卷（选择题）一．选择题：（共12题，每小题5分，共60分，每道小题只有一个正确的答案，把你选的答案涂在答题卡上）1．设A＝{1,4,2x}，若B＝{1，x2}，若B⊆A，则x的值为( )A．0B．－2C．0或－2D．0或±22．设函数，则满足f(x)＝4的x的值是( )A．2B．16C．2或16D．－2或163．已知平面向量a＝(2m＋1,3)，b＝(2，m)，且a∥b，则实数m的值等于( )A．2或－C．－2或B.D．－4．设a＝0.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a、b、c的大小关系是( )A．a>b>cB．a<b<cC．b<a<cD．a<c<b5．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝( )A．63B．45C．43D．276．命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是( )A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1B．若x≥1，且x≤－1，则x2>1C．若－1<x<1，则x2<1D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥17．函数在上单调递增，则实数a的取值范围为( )A．(1,2)B．(2,3)C．(2,3]D．(2，＋∞)8．在下列各函数中，最小值等于2的函数是( )11\nA．y＝x＋B．y＝cosx＋C．y＝D．y＝ex＋－29．在△ABC中，若cosA＝，cosB＝，则cosC的值是( )A. B. C.或 D．－10．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )A．(x－3)2＋2＝1B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D.2＋(y－1)2＝111．若函数f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上单调递减，则实数a的取值范围是( )A．a≥0B．a≤0C．a≥－4D．a≤－412．定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，已知函数y＝f′(x)的图象如图所示．若两正数a，b满足f(2a＋b)<1，则的取值范围是( )A.B.∪(3，＋∞)C.D．(－∞，－3)第II卷（非选择题）二．填空题：（共4题，每小题5分，共20分，把每道小题的答案写在答题纸相应的位置上）13．若sin＝，则cos2θ＝________.14．已知e1与e2是两个不共线向量，＝3e1＋2e2，＝2e1－5e2，＝λe1－e2，若三点A、B、D共线，则λ＝________.15．已知函数f(x)＝ln(1＋x)－ax的图象在x＝1处的切线与直线x＋2y－1＝0平行，则实数a的值为________．16．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是11\n________三．解答题：（共6题，17题满分10分，18——22题满分均12分，共70分，在答题纸相应的位置写出过程或必要的文字说明）17．（10分）在△ABC中a,b,c为内角A,B,C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.18．（12分）数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.(1)证明：数列是等差数列；(2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn.19．（12分）已知函数f(x)＝ax3＋cx(a≠0)，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y＋21＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求y＝f(x)在x∈[－2,2]的值域．11\n20．（12分）已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－，x∈R.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c＝，f(C)＝0，若向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，求a，b的值．21．（12分）已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．22．（12分）已知函数f(x)=x2+ax-lnx(a∈R).(1)若函数f(x)在区间［1,2］上是减函数，求实数a的取值范围;(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e］时，函数g(x)的最小值为3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.11\n11\n辽宁省实验中学分校2022—2022学年度上学期期中考试文数答案一、选择CCBCBDCDABDC二、填空13、－14、 815、 116、－4<m<2.1、[解析] 当x2＝4时，x＝±2，若x＝2，则不满足集合中的元素的互异性，∴x≠2；若x＝－2，则A＝{1,4，－4}，B＝{1,4}，满足题意，当x2＝2x时，x＝0或2(舍去)，x＝0满足题意，∴x＝0或－2.2、[解析] 当f(x)＝2x时.2x＝4，解得x＝2.当f(x)＝log2x时，log2x＝4，解得x＝16.∴x＝2或16.3、[解析] ∵a∥b，∴(2m＋1)m－6＝0，∴2m2＋m－6＝0，∴m＝－2或.4、[解析] y＝x0.5在(0，＋∞)上是增函数，1>>0.3，∴1>a>b，又y＝log0.3x在(0，＋∞)上为减函数，∴log0.30.2>log0.30.3＝1，即c>1，∴b<a<c.5、[解析] 由等差数列的性质知，S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，∴2(S6－S3)＝S3＋(S9－S6)，∴a7＋a8＋a9＝S9－S6＝2(S6－S3)－S3＝45.6．[答案] D7、[解析] ∵f(x)在R上单调增，∴∴2<a≤3，8、[解析] x<0时，y＝x＋≤－2，故A错；∵0<x<，∴0<cosx<1，∴y＝cosx＋≥2中等号不成立，故B错；∵≥，∴y＝＋≥2中等号也取不到，故C错，9、[解析] 在△ABC中，0<A<π，0<B<π，cosA＝，cosB＝，∴sinA＝，sinB＝，所以cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sinA·sinB－cosA·cosB11\n＝×－×＝，10、[解析] 依题意设圆心C(a,1)(a>0)，由圆C与直线4x－3y＝0相切得，＝1，解得a＝2，则圆C的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1，故选B.11、[解析] ∵函数f(x)＝x2＋2x＋alnx在(0,1)上单调递减，∴当x∈(0,1)时，f′(x)＝2x＋2＋＝≤0，∴g(x)＝2x2＋2x＋a≤0在x∈(0,1)时恒成立，∴g(0)≤0，g(1)≤0，即a≤－4.12、[解析] 由y＝f′(x)的图象知，x>0时，f′(x)>0，x<0时，f′(x)<0，∴y＝f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∵两正数a，b满足f(2a＋b)<1且f(4)＝1，∴2a＋b<4，如图，表示点A(－2，－2)与线段BC上的点连线的斜率，其中B(2,0)，C(0,4)，∵kAB＝，kAC＝3，a>0，b>0，∴<<3.13、[解析] ∵sin＝，∴cosθ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－.14、[解析] ∵A、B、D共线，∴与共线，∴存在实数μ，使＝μ，∵＝－＝(λ－2)e1＋4e2，∴3e1＋2e2＝μ(λ－2)e1＋4μe2，∴，∴，故填8.15、[解析] ∵f′(x)＝－a，∴f′(1)＝－a.由题知－a＝，解得a＝1.16、[解析] ∵x>0，y>0，且＋＝1，11\n∴x＋2y＝(x＋2y)(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，又＋＝1，∴x＝4，y＝2，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2＋2m恒成立，只需(x＋2y)min>m2＋2m，即8>m2＋2m，解得17、在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB+sinC=1,试判断△ABC的形状.答案：（1）---------------6分（2）等腰三角形---------------12分18、数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.(1)证明：数列是等差数列；(2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn.解 (1)证明：由已知可得＝＋1，即－＝1，所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列．---------------4分(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2，从而bn＝n·3n---------------6分Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n·3n①3Sn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋(n－1)·3n＋n·3n＋1②①－②得：－2Sn＝31＋32＋33＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝---------------10分所以Sn＝---------------12分19、已知函数f(x)＝ax3＋cx(a≠0)，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y＋21＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求y＝f(x)在x∈[－2,2]的值域．[解析] (1)f′(x)＝3ax2＋c，则，则，所以f(x)＝2x3－12x.---------------4分(2)f′(x)＝6x2－12，令f′(x)＝0得，x＝±.---------------6分11\n所以函数y＝f(x)在(－2，－)和(，2)上为增函数，在(－，)上为减函数．f(－2)＝8，f(2)＝16－24＝－8，f()＝－8，f(－)＝8，---------10分所以y＝f(x)在x∈[－2,2]上的值域为[－8，8]．---------------12分20、已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－，x∈R.(1)求函数f(x)的最小值和最小正周期；(2)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且c＝，f(C)＝0，若向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，求a，b的值．[解析] (1)因为f(x)＝sin2x－－＝sin(2x－)－1，所以f(x)的最小值是－2，最小正周期是T＝＝π.---------------4分(2)由题意得f(C)＝sin(2C－)－1＝0，则sin(2C－)＝1，∵0<C<π，∴0<2C<2π，∴－<2C－<π，∴2C－＝，C＝，---------------6分∵向量m＝(1，sinA)与向量n＝(2，sinB)共线，∴＝，由正弦定理得，＝①由余弦定理得，c2＝a2＋b2－2abcos，即3＝a2＋b2－ab②---------------10分由①②解得，a＝1，b＝2.---------------12分21.已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程．(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．[解析] (1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2.11\n①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由直线与圆相切得＝，即k＝2±，从而切线方程为y＝(2±)x.---------------2分②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由直线与圆相切得x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0.∴所求切线的方程为y＝(2±)xx＋y＋1＝0或x＋y－3＝0---------------4分(2)由|PO|＝|PM|得，x12＋y12＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2⇒2x1－4y1＋3＝0.即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x＋y＝0.解方程组得P点坐标为.---------------12分22、已知函数f(x)=x2+ax-lnx(a∈R).(1)若函数f(x)在区间［1,2］上是减函数，求实数a的取值范围;(2)令g(x)=f(x)-x2,是否存在实数a,当x∈(0,e］时，函数g(x)的最小值为3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)由条件可得f′(x)=≤0在［1,2］上恒成立.即在［1，2］上恒成立，而在［1,2］上为减函数.所以故a的取值范围为(］.---------------4分(2)设满足条件的实数a存在.∵g(x)=ax-lnx,x∈(0,e］,①当a≤0时，g′(x)<0,g(x)在x∈(0,e］上单调递减，∴g(x)min=g(e)=3,即有(舍去).---------------6分②当即时,g′(x)≤0且g′(x)不恒为0，所以g(x)在x∈(0,e］上单调递减，∴g(x)min=g(e)=3,即有(舍去).---------------8分11\n③当即时，令g′(x)<0,解得,则有g(x)在()上单调递减，在(］上单调递增.---------------10分∴即a=e2.综上，存在a=e2，当x∈(0，e］时，函数g(x)的最小值为3.---------------12分11
