福建省龙海市2022届高三数学上学期期中试题理总分：150分时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.设集合A={x|x（x+1）≤0}，集合B={x|2x＞1}，则集合A∪B等于（ ）A.{x|x≥0}B.{x|x≥-1}C.{x|x＞0}D.{x|x＞-1}2.已知复数z=a+i2i（其中i为虚数单位）的虚部与实部相等，则实数a的值为（ ）A.1B.12C.-1D.-123.角α的终边经过点（2，-1），则sinα+cosα的值为（ ）A.-355B.355C.-55D.554.设a，b是向量，则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.已知数列{an}为等差数列，且a2022+a2022=024-x2dx，则a2022的值为（ ）A.π2B.2πC.π2D.π6.函数y=sin2x1-cosx的部分图象大致为（ ）A.B.C.D.7.设函数f（x）=log9x，x＞04-x+32，x≤0，则f（27）+f（-log43）的值为（ ）A.6B.9C.10D.128.在△ABC中，若acosC+ccosA=bsinB，则此三角形为（ ）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形9.要得到函数y=2sinx的图象，只需将函数y=2cos(2x-π4)的图象上所有的点（ ）7\nA.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动π8个单位长度B.横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动π4个单位长度C.横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动π4个单位长度D.横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平行移动π8个单位长度1.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，若任意的x≥0，都有f（x+2）=-f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，则f（-2022）+f（2022）=（ ）A.1B.-1C.0D.22.已知cos(23π-2θ)=-79，则sin(π6+θ)的值等于（ ）A.13B.±13C.-19D.193.已知定义域为R的奇函数y=f（x）的导函数为y=f′（x），当x≠0时，xf′（x）-f（x）＜0，若a=f(e)e，b=f(ln2)ln2，c=f(-3)-3，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）A.a＜b＜cB.b＜c＜aC.a＜c＜bD.c＜a＜b二、填空题（本大题共4小题，共20分）4.向量a=(1，2)，b=(-2，3)，若ma-nb与a+2b共线（其中m，n∈R且n≠0），则mn等于______．5.设Sn为等差数列{an}的前n项和，且a3=5，S6=42，则S9=______．6.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知433S△ABC=b2+c2-a2，则角A=______（用弧度制表示）．7.已知函数f（x）=x2-2x+a+1,x>0ex,x≤0，若函数g（x）=f（x）-ax-1有4个零点，则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共70分）8.（本小题10分）已知0＜α＜π2，0＜β＜π2，cosα=35，cos(β+α)=513．（I）求sinβ的值；（II）求sin2αcos2α+cos2α的值．9.（本小题12分）已知向量a=(sinx，-1)，b=(3cosx，-12)，7\n函数f(x)=(a+b)⋅a-2．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，其中A为锐角，a=3，c=1，且f（A）=1，求△ABC的面积S．1.（本小题12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且Sn=32an-12，（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=2nan+2-an+1，设数列{bn}的前n项和为Tn，n∈N*，证明Tn＜34．2.近年来，雾霾日趋严重，我们的工作、生活受到了严重的影响，如何改善空气质量已成为当今的热点问题．某空气净化器制造厂，决定投入生产某型号的空气净化器，根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律：每生产该型号空气净化器x（百台），其总成本为P（x）（万元），其中固定成本为12万元，并且每生产1百台的生产成本为10万元（总成本=固定成本+生产成本）．销售收入Q（x）（万元）满足Q（x）=224(x>16)-0.5x2+22x(0≤x≤16)，假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据以述统计规律，请完成下列问题：（1）求利润函数y=f（x）的解析式（利润=销售收入-总成本）；（2）工厂生产多少百台产品时，可使利润最多？7\n1.已知数列{an}满足：a1=1，an+1=2an+1．（1）求证：数列{an+1}是等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）设cn=an+1n(n+1)2n，求数列{cn}的前n项和Tn的取值范围．2.已知函数f(x)=lnx-12ax2+x，a∈R．（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）在（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax+1，求函数g（x）的极值；（Ⅲ）若a=-2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x2=0，证明：x1+x2≥5-12．高三理科数学期中考试题答案和解析【答案】1.B 2.C 3.D 4.D 5.A 6.C 7.A 8.C 9.B 10.A 11.B 12.D 13.-1214.11715.π316.（0，1）17.解（I）∵0＜β＜π2，0＜α＜π2，0＜α+β＜π，cosα=35，∴sinα=45，sin（α+β）=1213，那么：sinβ=sin[（α+β）-α]=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα=1665；（II）由（I）sinα=45，cosα=35，那么sin2α=2sinαcosα=2425，cos2α=925，cos2α=1-2sin2α=-725，∴sin2αcos2α+cos2α=2425925-725=12．18.解：（1）f(x)=(a+b)⋅a-2=|a|2+a⋅b-2=sin2x+1+3sinxcosx+12-2=1-cos2x2+32sin2x-127\n=32sin2x-12cos2x=sin（2x-π6），由-π2+2kπ≤2x-π6≤π2+2kπ（k∈z），函数f（x）的单调递增区间为[kπ-π6，kπ+π3]（k∈z）．（2）f(A)=sin(2A-π6)=1，因为A∈[0，π2]，2A-π6∈(-π6，5π6)，所以.2A-π6=π2，A=π3，又a2=b2+c2-2bccosA，则b=2，从而S=12bcsinA=32．19.解：（1）当n=1时a1=32a1-12，得a1=1，当n≥2时，Sn-Sn-1=an=32(an-an-1)得an=3an-1，所以an=3n+1，（2）由（1）得：bn=2nan+2-an+1=n3n，又Tn=13+232+…+n3n①得13Tn=132+233+…+n3n+1②两式相减得：23Tn=13+132+…+13n-n3n+1，故23Tn=13(1-13n)1-13-n3n+1，所以Tn=34-3+2n4×3n＜34．20.解：（1）由题意得P（x）=12+10x，则f（x）=Q（x）-P（x）=224-12-10x,x>16-0.5x2+22x-12-10x,0≤x≤16即为f（x）=212-10x,x>16-0.5x2+12x-12,0≤x≤16（2）当x＞16时，函数f（x）递减，即有f（x）＜f（16）=212-160=52万元当0≤x≤16时，函数f（x）=-0.5x2+12x-12=-0.5（x-12）2+60，当x=12时，f（x）有最大值60万元．所以当工厂生产12百台时，可使利润最大为60万元．21.（1）证明：∵an+1=2an+1，∴an+1+1=2（an+1），∴数列{an+1}是等比数列．（2）解：由（1）及已知{an+1}是等比数列，公比q=2，首项为a1+1=2，∴an+1=2•2n-1=2n，∴an=2n-1．（3）解：cn=an+1n(n+1)2n=1n(n+1)=1n-1n+1，∴Tn=(11-12)+(12-13)+(13-14)+…+(1n-1-1n)+(1n-1n+1)=1-1n+1＜1，7\n设f（n）=1-1n+1，则f（n）是增函数，∴当n=1时，f（n）取得最小值f（1）=12．∴Tn的取值范围是[12，1）．22.解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=lnx+x，则f（1）=1，所以切点为（1，1），又f'(x)=1x+1，则切线斜率f'（1）=2，故切线方程为y-1=2（x-1），即2x-y-1=0．（Ⅱ）g（x）=f（x）-（ax-1）=lnx-12ax2+(1-a)x+1，则g'(x)=1x-ax+(1-a)=-ax2+(1-a)x+1x，当a≤0时，∵x＞0，∴g'（x）＞0．∴g（x）在（0，+∞）上是递增函数，函数g（x）无极值点，当a＞0时，g'(x)=-ax2+(1-a)x+1x=-a(x-1a)(x+1)x，令g'（x）=0得x=1a，∴当x∈(0，1a)时，g'（x）＞0；当x∈(1a，+∞)时，g'（x）＜0．因此g（x）在(0，1a)上是增函数，在(1a，+∞)上是减函数．∴x=1a时，g（x）有极大值g(1a)=ln1a-a2×1a2+(1-a)×1a+1=12a-lna．综上，当a≤0时，函数g（x）无极值；当a＞0时，函数g（x）有极大值12a-lna；（Ⅲ）证明：当a=-2时，f（x）=lnx+x2+x，x＞0，由f（x1）+f（x2）+x1x2=0，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x2=0，从而(x1+x2)2+(x1+x2)=x1x2-ln（x1x2），令t=x1x2，则φ（t）=t-lnt，得φ′（t）=t-1t，可知φ（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，∴φ（t）≥φ（1）=1，∴(x1+x2)2+(x1+x2)≥1，因为x1＞0，x2＞0∴x1+x2≥5-12．【解析】1.解：A={x|x（x+1）≤0}=[-1，0]，B={x|2x＞1}=（0，+∞），∴A∪B=[-1，+∞）故选：B．2.解：z=a+i2i=(a+i)(-i)-2i2=1-ai2=12-a2i，则12=-a2，即a=-1．故选：C．3.解：∵已知角α的终边经过点（2，-1），则x=2，y=-1，r=5，∴sinα=-55，cosα=255，∴sinα+cosα=-55，故选D．4.解：若“|a|=|b|”，则以a，b为邻边的平行四边形是菱形；若“|a+b|=|a-b|”，则以a，b为邻边的平行四边形是矩形；7\n故“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的既不充分也不必要条件；故选：D．根据向量模相等的几何意义，结合充要条件的定义，可得答案．本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“|a|=|b|”与“|a+b|=|a-b|”表示的几何意义，是解答的关键．5.解：024-x2dx表示以原点为圆心，以2为半径的圆的面积的四分之一，则a2022+a2022=024-x2dx=π，∵数列{an}为等差数列，∴a2022=12（a2022+a2022）=π2，故选：A根据定积分的几何意义求出a2022+a2022=024-x2dx=π，再根据等差中项的性质即可求出．6.解：函数y=sin2x1-cosx=2cosx2cosxsinx2，可知函数是奇函数，排除选项B，当x=π3时，f（π3）=321-12=3，排除A，x=π时，f（π）=0，排除D．故选：C．7.解：f（27）=log927=log327log39=32，f（-log43）=4-(-log43)+32=3+32，则f（27）+f（-log43）=32+3+32=6，故选：A8.解：在△ABC中，由acosC+ccosA=bsinB以及正弦定理可知，sinAcosC+sinCcosA=sin2B，即sin（A+C）=sinB=sin2B．∵0＜B＜π，sinB≠0，∴sinB=1，B=π2．故选：C．9.解：要得到函数y=2sinx=2cos（x-π2）的图象，只需将函数y=2cos(2x-π4)的图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍，再再向右平行移动π4个单位长度，即可，故选：B．10.解：任意的x≥0，都有f（x+2）=-f（x），可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），函数的周期为4，函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2x-1，则f（-2022）+f（2022）=f（2022）+f（2022）=f（1）+f（2）=f（1）-f（0）=2-1+1-1=1．故选：A．11.解：∵cos(23π-2θ)=-79，∴cos[π-（π3+2θ）]=-cos（π3+2θ）=-cos2（π6+θ）=-[1-2sin2（π6+θ）]=-79，解得：sin2（π6+θ）=19，∴sin(π6+θ)=±13．故选：B．12.解：构造函数g（x）=f(x)x，∴g′（x）=xf'(x)-f(x)x2，∵xf′（x）-f（x）＜0，∴g′（x）＜0，7\n∴函数g（x）在（-∞，0）和（0，+∞）单调递减．∵函数f（x）为奇函数，∴g（x）=f(x)x是偶函数，∴c=f(-3)-3=g（-3）=g（3），∵a=f(e)e=g（e），b=f(ln2)ln2=g（ln2），∴g（3）＜g（e）＜g（ln2），∴c＜a＜b，故选：D．13.解：∵a=（1，2），b=（-2，3），∴ma-nb=（m，2m）-（-2n，3n）=（m+2n，2m-3n），a+2b=（1，2）+2（-2，3）=（-3，8）∵向量ma-nb与向量a+2b共线∴8×（m+2n）=（2m-3n）×（-3）∴14m=-7n∴mn=-12故答案为：-1214.解：设等差数列{an}的公差为d，∵a3=5，S6=42，∴a1+2d=5，6a1+6×52d=42，联立解得a1=-3，d=4．则S9=-3×9+9×82×4=117．故答案为：117．15.解：∵433S△ABC=b2+c2-a2，∴433×12bcsinA=2bccosA，∴33sinA=cosA，可得：tanA=3，∵A∈（0，π），∴A=π3．故答案为：π3．16.解：由题意，a＞0，a+1＞1，h（x）=ax+1与y=f（x）有两个不同的交点，x≤0，f（x）=ex与h（x）=ax+1有1个交点（0，1），∵函数g（x）=f（x）-ax-1有4个零点，∴只需要x≤0，f（x）=ex与h（x）=ax+1有另1个交点x≤0，f′（x）=ex，f′（0）=1，∴a＜1，综上所述，0＜a＜1，故答案为（0，1）．由题意，a＞0，a+1＞1，h（x）=ax+1与y=f（x）有两个不同的交点，x≤0，f（x）=ex与h（x）=ax+1有1个交点（0，1），函数g（x）=f（x）-ax-1有4个零点，只需要x≤0，f（x）=ex与h（x）=ax+1有另1个交点，求出函数在（0，1）处切线的斜率，即可得出结论．7
