泉港一中2022-2022学年上学期第二次月考高三年文科数学学科试卷试卷满分（150分）考试时间（150分钟）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合1．已知集合，，若，则的子集共有A．2个B．4个C．6个D．8个2．已知双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为A．B．C．2D．随着坐标系的不同而变化3.已知复数，则在复平面内，复数对应的点不可能位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子个数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”根据这个问题，有下列3个说法：①得到橘子最少的人所得的橘子个数是6；②得到橘子最多的人个数是最少的3倍；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数恰好是这5人的所得橘子的平均数．其中说法正确的个数是（）A．0B．1C．2D．35．右边程序框图的功能是求出的值，则框图中①、②两处应分别填写的是A．B．C．D．6.几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．B．C．D．7．函数的大致图像是（）-9-\nABCD8.“m＞n＞0”是“方程mx2＋ny2＝1”表示焦点在y轴上的椭圆的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件9.设向量满足，，则以为边长的三角形面积最大值为A．B．C．D．10.已知抛物线，焦点为，过的直线和抛物线交于点,，和抛物线准线交于点，若，则的长度为A．B．C．D．11.已知的图像向左平移个单位后得到函数的图像.若时，，则的一个单调递增区间是（）A．B．C．D．12.对任意，当时，恒有，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分-9-\n13.已知在点处的切线方程为，则点的坐标为__________.14.设满足的约束条件，则的最大值为__________.15.已知,，,,则三棱锥外接球表面积的最小值是__________.16.如果一个点是一个指数函数和反函数对数函数的图像的交点，那么称这个点为“好点”。已知点是“好点”，则的最小值为__________.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知等差数列的公差为，且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列，求数列的前项和.18．如图，在中，，，且点在线段上．（Ⅰ）若，求长；（Ⅱ）若为角平分线，，求的面积．19.正四面体中，分别是棱的中点。（Ⅰ）求证：（Ⅱ）记三棱锥的体积为,几何体的体积为，求20.已知抛物线，点在曲线上，它到准线的距离等于2.(Ⅰ)求抛物线的方程；-9-\n(Ⅱ)若是抛物线上的两个动点，直线的斜率与的斜率互为相反数，求证：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。21．（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）求证：方程有两不相等实根；（Ⅱ）是否存在，使的在区间上的值域是，其中区间.22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若，分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值.23．[选修4-5：不等式选讲]已知.（1）当时，解不等式.（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.泉港一中2022-2022学年上学期第二次月考高三年文科数学学科试卷参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分-9-\n1.D2.A3.D4.D5.B6.A7.C8.C9.A10.B11.A12.C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13.14.15.16.三、解答题：本大题共6小题，共70分（第一小题10分其他每题12分）（17）解：（1）解析：（Ⅰ）在等差数列中，因为成等比数列，所以，即，解得.因为，所以，所以数列的通项公式.……………5分Ⅱ）由（Ⅰ）知,所以.18.解：（1）由，可得，所以或（舍去）所以因为，所以由正弦定理可得：，所以（2）为角平分线，，所以由余弦定理可得或（舍去）-9-\n所以19.证明：（Ⅰ）连接,则又，所以在中，，因此,同理可证,且所以，又所以（Ⅱ）记正四面体的体积为，点的距离为所以又几何体的体积为(也可切割求解)所以20.（Ⅰ）由题意，,所以，所以抛物线的方程为；（Ⅱ）因为，设直线方程为:，代入得:，设，因为点在椭圆上，所以,所以。又直线的斜率与的斜率互为相反数，在上式中以代，可得，所以直线的斜率，即直线EF的斜率为定值，其值为-1。21.解：（Ⅰ）的定义域-9-\n令解得，或（舍去）所以，当，，当，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为，故当时，取得最大值为．，所以必存在唯一的，唯一的，使得为的两根.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在上为减函数而当，在上的值域是所以，其中，则在上至少有两个不同的实数根，由得，记，，则，记，则，因为，所以所以在上为增函数，即在上为增函数，而，所以存在使得因此当时，，当时，，所以在上为增函数，在上为减函数.因为，所以当，有两个不同实根所以存在，使的在区间上的值域是，其中区间.-9-\n22.（1）（2）由已知条件得因为点所以对称轴若所以若所以若综上22.（1）∵的极坐标方程是，∴，整理得，∴的直角坐标方程为.曲线：，∴，故的普通方程为.（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为，则曲线的参数方程为（为参数）.设，则点到曲线-9-\n的距离为.当时，有最小值，所以的最小值为.23．（1）当时，等式，即，等价于或或，解得或，所以原不等式的解集为；（2）设，则，则在上是减函数，在上是增函数，∴当时，取最小值且最小值为，∴，解得，∴实数的取值范围为.-9-
