福建师大附中2022-2022学年第一学期期末考试卷高三数学(理科)本试卷共4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：试卷分第I卷和第II卷两部分，将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷.第I卷共50分一、选择题：本大题有10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知全集，集合，则A.B．C．D．2.设随机变量X服从正态分布N（0，1），P（X>1）=p,则P（X>－1）=（*******）A．1－2pB．pC．1－pD．2p3．定义：.若复数满足，则等于（*******）A．B．C．D．4．已知、表示直线，表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为（*******）（1）（2）（3）则∥（4）A．（1）、（2）B．（3）、（4）C．（2）、（3）D．（2）、（4）5．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其随机的并排摆放到书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率（*******）A．B．C．D．6．函数有且只有一个零点的充要条件是（*******）A．B．C．D．7．已知、分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线上的一点，若，且的三边长成等差数列，则双曲线的离心率是（*******）A．B．C．D．8．如图，BC、DE是半径为1的圆O的两条直径，，则的值是（*******）-8-\nA．B．C．D．9．已知抛物线的焦点为F,准线为,是抛物线上的两个动点,且设线段的中点在上的射影为,则的最大值是（*******）A．B.C.D.210．把曲线C：的图像向右平移个单位，得到曲线的图像，且曲线的图像关于直线对称，当（为正整数）时，过曲线上任意两点的斜率恒大于零，则的值为（*******）A．4B．3C．2D．1第Ⅱ卷共100分二、填空题：本大题有5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答卷的相应位置.11．的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则它的常数项是*******．12．某几何体的三视图如图所示,其中正（主）视图与侧（左）视图的边界均为直角三角形，俯视图的边界为直角梯形，则该几何体的体积是*******．俯视图正视图侧视图211113．若满足则的最大值是***************．-8-\n14．如图.A1，A2，…Am-1(m2)将区间[0,l]m等分，直线x=0，x=1,y=0和曲线y=ex所围成的区域为图中m个矩形构成的阴影区域为,在中任取一点,则该点取自的概率等于*******．15．已知函数，下列命题正确的是*******.（写出所有正确命题的序号）①是奇函数;②对定义域内任意x，<1恒成立；`③当时，取得极小值；④;⑤当x>0时，若方程||=k有且仅有两个不同的实数解·cos=－sin.三、解答题：本大题有6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）已知数列的前项和.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.17．（本小题满分12分）某进修学校为全市教师提供心理学和计算机两个项目的培训，以促进教师的专业发展，每位教师可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训．现知全市教师中，选择心理学培训的教师有60%，选择计算机培训的教师有75%，每位教师对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名教师，求该教师选择参加两项培训的概率;(2)任选3名教师，记为3人中选择不参加培训的人数，求的分布列和期望．18．（本小题满分12分）已知，，函数的图象过点.（Ⅰ）求的值以及函数的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）在△中，角，，的对边分别是，，.若，求的取值范围．-8-\n19.（本小题满分12分）如图，四棱锥中，侧面是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面是的菱形，为的中点.(Ⅰ)求与底面所成角的大小；(Ⅱ)求证：平面；(Ⅲ)求二面角的余弦值.20．（本小题满分13分）.已知圆，椭圆．（Ⅰ）若点在圆上，线段的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点的横坐标；（Ⅱ）现有如下真命题：“过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直”；“过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直”．据此,写出一般结论，并加以证明．21．(本小题满分14分)已知函数.⑵在上的最小值.⑵若存在使不等式,求实数的取值范围.⑶记函数的图像为C，为曲线C在点的切线，若存在,使直线与曲线C有且仅有一个公共点，求满足条件的所有的值.-8-\n福建师大附中2022-2022学年第一学期期末考试卷解答一、选择题：BCABB,AACBD;二、填空题：11．12．13．214.15．②④⑤三、解答题：本大题有6题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．（本小题满分12分）17．（本小题满分12分）解：任选1名教师，记“该教师选择心理学培训”为事件，“该教师选择计算机培训”为事件，由题设知，事件与相互独立，且，．………1分（1）任选1名，该教师选择参加两项培训的概率是……4分（2）任选1名教师，该人选择不参加培训的概率是．……5分因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中选择不参加培训的人数服从二项分布，…6分且，，…8分即的分布列是01230.7290.2430.0270.001……10分所以，的期望是．……12分（或的期望是．）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由．因为点在函数的图象上，所以，解得.……4分由，可得函数的单调增区间为……6分(Ⅱ)因为，所以=2，-8-\n所以，即.……8分又因为，所以，所以.……9分又因为，所以，.……10分所以，，所以.…11分所以的取值范围是.……12分19.（本小题满分12分）解：(I)取DC的中点O，由ΔPDC是正三角形，有PO⊥DC．又∵平面PDC⊥底面ABCD，∴PO⊥平面ABCD于O．连结OA，则OA是PA在底面上的射影．∴∠PAO就是PA与底面所成角．∵∠ADC=60°，由已知ΔPCD和ΔACD是全等的正三角形，从而求得OA=OP=．∴∠PAO=45°．∴PA与底面ABCD可成角的大小为45°．……………………………4分(II)由底面ABCD为菱形且∠ADC=60°，DC=2，DO=1，有OA⊥DC．建立空间直角坐标系如图，………………………………………………………………5分则,．由M为PB中点，∴．∴．∴，．∴PA⊥DM，PA⊥DC．∴PA⊥平面DMC．……………………………8分(III)．令平面BMC的法向量，则，从而x+z=0；……①,，从而．……②由①、②，取x=−1，则．∴可取．……………10分由(II)知平面CDM的法向量可取，…………………………11分∴．∴所求二面角的余弦值为－．…………………………………………………13分法二：（Ⅰ）方法同上（Ⅱ）取的中点，连接，由（Ⅰ）知，在菱形中，由于，则，又，则，即，又在中，中位线，，则，则四边形为，所以，在中，，则，故而，则…………………………………………………………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，则为二面角的平面角，在-8-\n中，易得，，故，所求二面角的余弦值为.…………13分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）设点，则，（1） ……………………1分设线段的垂直平分线与相交于点，则，……2分椭圆的右焦点，………………3分,，，，（2）…………………………4分由（1），（2），解得，点的横坐标为．……………5分（Ⅱ）一般结论为：“过圆上任意一点作椭圆的两条切线，则这两条切线互相垂直．”……………………7分证明如下：（ⅰ）当过点与椭圆相切的一条切线的斜率不存在时，此时切线方程为，点在圆上，，直线恰好为过点与椭圆相切的另一条切线两切线互相垂直．………………………………8分（ⅱ）当过点与椭圆相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为，由得，整理得，……………9分直线与椭圆相切，，整理得，………………………10分，………………………11分-8-\n点在圆上，，，，两切线互相垂直，综上所述，命题成立．……………………………13分21．(本小题满分14分)解:⑴,所以在上单调递减，当时，…………………（4分）可化为（10分）(3)函数的定义域为所以在切点处的切线的斜率为，因此，切线的方程为：。因为切线与曲线C有唯一的公共点，所以方程有且只有一个实数解，显然是方程的一个解，令，则当时，，于是在上单调递增，即是方程的唯一实根…………（12分）当时，由，得，在区间上，；在区间上，，所以在处取得极大值，且，而当时，，因此在内也有一个实数解，矛盾。综上，得。…（14分）-8-
