兰州一中2022-2022-1学期高三年级期中考试试题数学(理)说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.满分150分，考试时间120分钟，考试结束后，只交答题卡.第I卷(共60分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合A=则（CRA）B=()A．B．C．D．2．若，，，则()A．B．C．D．3．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a等于()A．2B．C.－2D．－4.已知函数f(x)=，则f=()A．B．-C．1D．-15．下列说法中，正确的是()A．命题“若a<b,则am2<bm2”的否命题是假命题B．设a,b为两个不同的平面，直线lÌa，则“l^b”是“a^b”成立的充分不必要条件C．命题“存在xÎR，x2-x>0”的否定是“对任意xÎR，x2-x<0”D．已知xÎR，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件18\n6.已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－，则m的值为()A．B.－C．－D.7．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于()A．1B.C.D.8．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax(a>)，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a＝()A．-1B．1C．D．e29．若将函数y＝tan(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图象重合，则ω的最小值为()A.B.C.D.10．设函数f(x)＝x2－9lnx在区间上单调递减，则实数a的取值范围是( )A．1<a≤2B．a≥4C．a≤2D．0<a≤311.设函数的图象关于直线x=对称,相邻两个对称中心之间的距离为,则()A．f(x)的图象过点(0,)B.f(x)在[,]上是减函数18\nC.f(x)的一个对称中心是(,0)D.将f(x)的图象向右平移个单位得到函数的图象12．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c,且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.下列说法中正确的是()A．f(0)f(1)>0B．f(0)f(3)>0C．f(0)f(2)>0D．f(0)f(3)<0第Ⅱ卷(共90分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，则a·b＝．14．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点M，则点M恰好取自阴影部分的概率是．15．已知0<β<<α<π，且cos(α-)＝－，sin(-β)＝，则cos(α＋β)=_____．16．设函数f(x)＝lnx－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为_______．18\n三、解答题（本大题共6小题，共70分）17．（本小题满分12分）在△ABC中，已知asinA-csinC=(a-b)sinB,△ABC外接圆的半径为.（1）求C；（2）求△ABC的面积S的最大值.18.（本小题满分12分）在三棱锥M-ABC中,AB=2AC=2，MA=MB=，AB=4AN，AB^AC，平面MAB^平面ABC，S为BC的中点.(1)证明：CM^SN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小.19．(本小题满分12分)某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25,30)1200.6第二组[30,35)195p1000.518\n第三组[35,40)第四组[40,45)a0.4第五组[45,50)300.3第六组150.3(1)补全频率分布直方图并求n、a、p的值；(2)从，使2φ(x1)<φ(x2)成立，求实数t的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4～1:几何证明选讲如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB.(1)若CG=1，CD=4，求的值;(2)求证：FG//AC.23．（本小题满分10分）选修4～4：坐标系与参数方程18\n在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为r=6sinq.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1,2）,设圆C与直线l交于点A，B．求∣PA∣+∣PB∣的最小值．24．（本小题满分10分）选修4～5：不等式选讲设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：;(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．18\n兰州一中2022-2022-1学期期中考试参考答案高三数学（理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合A=则（CRA）B=()A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以.2．若，，，则()A．B．C．D．【答案】A3．设曲线y＝在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a等于()A．2B．C.－2D．－【答案】C【解析】 因为y＝的导数为y′＝，所以曲线在(3,2)处的切线斜率为k＝－，又直线ax＋y＋3＝0的斜率为－a，所以－a·(－)＝－1，解得a＝－2.4.已知函数f(x)=，则f=()A．B．-C．1D．-118\n【答案】D【解析】，所以.5．下列说法中，正确的是()A．命题“若a<b,则am2<bm2”的否命题是假命题B．设a,b为两个不同的平面，直线lÌa，则“l^b”是“a^b”成立的充分不必要条件C．命题“存在xÎR，x2-x>0”的否定是“对任意xÎR，x2-x<0”D．已知xÎR，则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件【答案】B6.已知角α的终边过点P(－8m，－6sin30°)，且cosα＝－，则m的值为()A．B.－C．－D.【答案】A【解析】 (1)∵r＝，∴cosα＝＝－，∴m>0，∴＝，即m＝. 7．在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于()A．1B.C.D.【答案】D18\n【解析】∵＝＋＝＋，∴2＝＋，即＝＋.故λ＋μ＝＋＝.8．已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－ax(a>)，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a＝()A．-1B．1C．D．e2【答案】B【解析】∵f(x)是奇函数，∴f(x)在(0,2)上的最大值为－1.当x∈(0,2)时，f′(x)＝－a，令f′(x)＝0得x＝，又a>，∴0<<2.当x<时，f′(x)>0，f(x)在(0，)上单调递增；当x>时，f′(x)<0，f(x)在(，2)上单调递减，∴f(x)max＝f()＝ln－a·＝－1，解得a＝1.18\n9．若将函数y＝tan(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数y＝tan的图象重合，则ω的最小值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】函数y＝tan向右平移后得到解析y＝tan＝tan.又因为y＝tan，∴令－＝＋kπ，∴＝＋kπ(k∈Z)，由ω>0得ω的最小值为.10．设函数f(x)＝x2－9lnx在区间上单调递减，则实数a的取值范围是( )A．1<a≤2B．a≥4C．a≤2D．0<a≤3【答案】A【解析】∵f(x)＝x2－9lnx，∴f′(x)＝x－(x>0)，当x－≤0时，0<x≤3，即在(0,3]上f(x)是减函数，∴a－1>0且a＋1≤3，解得1<a≤2.11.设函数的图象关于直线x=对称,相邻两个对称中心之间的距离为,则()A．f(x)的图象过点(0,)B.f(x)在[,]上是减函数18\nC.f(x)的一个对称中心是(,0)D.将f(x)的图象向右平移个单位得到函数的图象【答案】C12．已知f(x)＝x3－6x2＋9x－abc，a<b<c,且f(a)＝f(b)＝f(c)＝0.下列说法中正确的是()A．f(0)f(1)>0B．f(0)f(3)>0C．f(0)f(2)>0D．f(0)f(3)<0【答案】B【解析】∵f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由f′(x)<0，得1<x<3，由f′(x)>0，得x<1或x>3，∴f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．又a<b<c，f(a)＝f(b)＝f(c)＝0，∴y极大值＝f(1)＝4－abc>0，y极小值＝f(3)＝－abc<0，∴0<abc<4.∴a，b，c均大于零，或者a<0，b<0，c>0.又x＝1，x＝3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．∴f(0)<0，∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0，∴正确结论的是B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设向量a＝(－1，2)，b＝(m，1)，如果向量a＋2b与2a－b平行，则a·b＝．【答案】【解析】a＋2b＝(－1＋2m，4)，2a－b＝(－2－m，3)，由题意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，则m＝－，所以a·b＝－1×＋2×1＝.14．如图所示，在边长为1的正方形OABC中任取一点M，则点M恰好取自阴影部分的概率是．【答案】15．已知0<β<<α<π，且cos(α-)＝－，sin(-β)＝，则cos(α＋β18\n)=_____．【答案】－【解析】∵0<β<<α<π，∴<α－<π，－<－β<，∴sin＝＝，cos＝＝，∴cos＝cos＝coscos＋sinsin＝×＋×＝，∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.16．设函数f(x)＝lnx－ax2－bx，若x＝1是f(x)的极大值点，则a的取值范围为_______．【答案】(－1，＋∞)【解析】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－ax－b，由f′(1)＝0，得b＝1－a.∴f′(x)＝－ax＋a－1＝.(1)若a≥0，当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减，所以x＝1是f(x)的极大值点．(2)若a<0，由f′(x)＝0，得x＝1或x＝－.因为x＝1是f(x)的极大值点，所以－>1，解得－1<a<0.综合(1),(2)得a的取值范围是(－1，＋∞).三、解答题（本大题共6小题，共70分）18\n17．（本小题满分12分）在△ABC中，已知asinA-csinC=(a-b)sinB,△ABC外接圆的半径为.（1）求C；（2）求△ABC的面积S的最大值.【解析】(1)依正弦定理，有再由余弦定理得又是三角形△ABC内角，.-------------------------------6分(2)S△ABC=-------------------------------10分-------------------------------12分18.（本小题满分12分）在三棱锥M-ABC中,AB=2AC=2，MA=MB=，AB=4AN，AB^AC，平面MAB^平面ABC，S为BC的中点.(1)证明：CM^SN；(2)求SN与平面CMN所成角的大小.【解析】解法一：（1）取AB中点O，连接MO、CO、SO∵MA=MB，∴MO⊥AB∵平面MAB⊥平面ABC，平面MAB∩平面ABC=AB∴MO⊥平面ABC-------------------------------2分∵△NOS和△AOC都是等腰直角三角形∵AB=2AC=2，AB=4AN，∴AO=AC，NO=SO，18\n∴∠AOC=45°，∠ONS=45°，∴CO⊥SN，∴CM⊥SN.-------------------------------6分（2）在△MNC中，MN=,CN=,CM=，∴S△MNC=-------------------------------10分设S到平面MNC的距离为h，SN与平面CMN所成角为θ,∵VM﹣NSC=VS﹣NMC∴S△NSC.MO=S△MNC.h∴h=-------------------------------11分∴sinq==∴SN与平面CMN所成角为.-------------------------------12分解法二：（1）证明：取AB中点O，连接MO、SO，∵MA=MB，∴MO⊥AB，∵平面MAB⊥平面ABC，平面MAB∩平面ABC=AB,∴MO⊥平面ABC，又SO⊥AB；∴如图,可以以O为原点，以OB为x轴，以OS为y轴，以OM为z轴建立空间直角坐标系，-------------------------------2分各点坐标如下：C(-1,1,0)、M(0,0,)、N(-,0,0)、S(0,,0)∴=(1,-1,)，=(-,-,0)，-------------------------------5分∴,∴CM⊥SN-------------------------------6分（2）由题意知=(,-1,0),=(,0,)，------------------------8分设平面CMN的法向量为=(x,y,z)，则，∴令y=1,得平面CMN的法向量为=(2,1,-2)，-------------------------------10分设SN与平面CMN所成角为q，则sinq=|cos<,>|=，18\n∴SN与平面CMN所成角为-------------------------------12分19．(本小题满分12分)某班同学利用国庆节进行社会实践，对岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25,30)1200.6第二组[30,35)195p第三组[35,40)1000.5第四组[40,45)a0.4第五组[45,50)300.3第六组150.3(1)补全频率分布直方图并求n、a、p的值；(2)从，使2φ(x1)<φ(x2)成立，求实数t的取值范围．【解析】(1)∵函数的定义域为R，f′(x)＝,---------------------------1分1)当a=0时，f′(x)<0，f(x)的单调递减区间是(－∞，＋∞);2)当a<0时，由f′(x)=0，得x=;∴f(x)的单调递减区间是(－∞，),单调递减区间是(，+∞);3)当0<a<1时，由f′(x)=0，得x=;∴f(x)的单调递减区间是(，+∞),单调递减区间是(－∞，).18\n-----------------------5分(2)假设存在x1，x2∈，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，则2min<max.∵φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x＝，∴φ′(x)＝＝－.①当t≥1时，φ′(x)≤0，φ(x)在上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t>3－>1.②当t≤0时，φ′(x)>0，φ(x)在上单调递增，∴2φ(0)<φ(1)，即t<3－2e<0.③当0<t<1时，若x∈，φ′(x)>0，φ(x)在(t，1]上单调递增，所以2φ(t)<max{φ(0)，φ(1)}，即2·<max{1，}，(*),由(1)知，g(t)＝2·在上单调递减，故≤2·≤2，而≤≤，所以不等式(*)无解．综上所述，存在t∈(－∞，3－2e)∪(3－，＋∞)，使得命题成立．----------------------12分22.（本小题满分10分）选修4～1:几何证明选讲如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE，CFD，CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB.(1)若CG=1，CD=4，求的值;(2)求证：FG//AC.【解析】(1)由题意可得：四点共圆，.∽..18\n又，=4.-----------------------4分(2)因为AB为切线，AE为割线，AB2=AD·AE，又因为AC=AB，所以AD·AE=AC2，．所以，又因为，所以∽，所以，又因为，所以，所以FG//AC．----------------------10分23．（本小题满分10分）选修4～4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴）中，圆C的方程为r=6sinq.（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若点P（1,2）,设圆C与直线l交于点A，B．求∣PA∣+∣PB∣的最小值．【解析】（1）由r=6sinq得r2=6rsinq.，化为直角坐标方程为x2+y2=6y，即x2+(y-3)2=9.-----------------------4分（2）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得.由，故可设是上述方程的两根，所以又直线过点，故结合t的几何意义得=18\n所以∣PA∣+∣PB∣的最小值为-----------------------10分24．（本小题满分10分）选修4～5：不等式选讲设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.(1)证明：;(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，并说明理由．【解析】(1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝由－2<－2x－1<0，解得－<x<，则M＝.所以≤|a|＋|b|<×＋×＝-----------------------5分(2)由(1)得a2<，b2<.因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)>0，所以|1－4ab|2>4|a－b|2，故|1－4ab|>2|a－b|-----------------------10分18
