东阳中学2022年下期高三数学（理科）期中试卷一、选择题：1.已知全集，集合，，则A．B．C．D．2.若，下列不等式中不成立的是A．B．C．D．3.已知是非零向量，则“”是“”成立的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分条件又不必要条件4.．已知，则等于A．2B．C．1D．5.已知定点，曲线C：，P是曲线C上的动点，当是等腰三角形时，符合条件的点P个数是 A．１ B．２ C．３ D．４6.设函数，则函数的零点个数是A．1B．2C．3D．无数个解：C。数形结合求解。7.若正数满足，则的取值范围是A．B．C．D．8.棱长为2的正方体，点M在与正方体的各棱都相切的球面上运动，点N在的外接圆上运动，则线段MN长度的最小值是A．B．C．D．二、填空题9.设的值域为R，则实数的取值范围是_______.-7-\n10.已知双曲线的左右焦点分别为，P是双曲线上一点，且，，则双曲线的离心率是_______.11.已知点满足，当时，若的最大值为12，则所满足的关系式是_______________；在此条件下的最小值是_________.12.右图是某几何体的三视图，若这三个正方形的边长均为1，则这个几何体的体积是________，表面积是________.13.设数列的前n项和为，且，则的值是__________；若对任意正整数，恒有成立，则实数的取值范围是__________.14.已知O是内一点，，且，若，则________；的值是________.15.已知点，P为线段上任意一点，过点P作直线，与以C为圆心、以为半径的圆交于两点M、N，若M恰为线段PN的中点，则实数的取值范围是__________.三、解答题16.已知函数在区间上的最大值为，（1）求实数的值；（2）在中，三内角所对的三边分别为，且，求的取值范围。-7-\n17.设等差数列的公差为，且成等比数列，其中表示数列的前项和，（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求证：18.在三棱柱中，已知平面ABC，，E、F分别为棱BC、的中点，G为棱上的一点，且平面AEG，（1）求证：；（2）求二面角的大小的余弦值。19.如图所示，曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分，曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分，A是曲线和的一个交点，且为钝角。若，，（1）求曲线和的所在的椭圆和抛物线的方程；（2）过作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线和-7-\n依次交于B、C、D、E（从上到下）四点，若G为CD的中点、H为BE的中点，问是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由。20.已知，（1）当时，求的值域；（2）设，当时，对任意，总有成立，求的取值范围。东阳中学2022年下期高三数学（理科）期中试卷答案一、1.A.由题意知，，2.D。3.C。4.A。5.D。当点P在上时，有三个点；当点P在上时，有一个点符合条件，故共有4个点。6.C。数形结合求解。7.D。设，则，则，即，解得。又注意到，得，解得或，故得。8.D。易求得球的半径为，球心到平面的距离为，的外接圆半径为，所以球心到此外接圆上点的距离为，故线段MN长度的最小值为。二、9.或10.-7-\n11.；。点M构成的区域是顶点为的三角形，由图可知当点M在时取最大值，所以；因为，且当，即时，的最小值是12.；．原几何体为一个正方体截去两个三棱锥。13.;14.；由条件，得，即，解得，所以15.。只要考虑极端情形：当点P在A点时，设直线AC与圆相交于M、N两点，只要时，适当绕点P转动总有一个位置满足，故，即，，解得；当点P在B点时，同样可得，即，解得。综上可知m的取值范围是。三、16.解：（1），（2），由正弦定理得17.解：（1）设数列首项为，由题意得，即，解得，故有（2）由上可知，所以显然有。综上可得18.解：（1）因为平面AEG，所以AG，所以G是的中点。取AC中点H，连GH，易得GH，EH，所以平面EGH，从而有EG。-7-\n（2）过H作直线AG的垂线交AG于K点，连EK，易证是二面角的平面角的补角。不妨设，在中，易求得，所以，即，故二面角的大小的余弦值是另解：（1）因为平面AEG，所以AG，所以G是的中点。以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴建立空间坐标系，不妨设，则，所以，。因为，所以EG。（2）可求得平面AEG的法向量为；平面的法向量为，所以可求得。-7-\n19.解：（1）设椭圆的方程为，由椭圆的定义得。设，则，相减得。由抛物线的定义得，从而可得或（舍），则所求椭圆方程为，抛物线方程为（2）设，直线，代入椭圆，得，所以同理可代入抛物线，得，所以为定值。20.解：（1），当时，值域为。（2）只要即可。设，则当时，若，即时，在区间上单调递增，所以，解得，所以若，即时，在区间上单调递减，在区间上递增，所以，所以若，即时，在区间上单调递减，所以，解得，舍去。综上可知.-7-
