河北省石家庄市正定中学2022届高三数学理1月月考试卷3．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间内单调递增的是A．B．C．D．4．已知角的终边经过点，且，则A.B.C.D.5.已知实数、满足，则的最大值为A.B.C.D.6．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，则该器皿的表面积是A.B.C.D.7．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的A.B.C.D.8．设函数-10-的图象关于直线对称，它的周期为，则A．的图象过点B．在上是减函数C．的一个对称中心是D．将的图象向右平移个单位得到的图象9.某程序框图如右图所示，该程序运行后输出的为A．B.C.D.10．已知三棱锥中，，，直线与底面所成角为，则此时三棱锥外接球的体积为A.B.C.D.11．设函数，若有且仅有三个解，则实数的取值范围是A.B.C.D.12．已知直线与抛物线交于两点，是的中点，是抛物线上的点，且使得取最小值，抛物线在点处的切线为，则A.B.C.D.第II卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡中的相应位置．13.某工厂生产、、三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为，现用分层抽样的方法抽出样本容量的的样本，样本中型产品有16件，那么样本容量为________.14.若正数满足，则的最小值为________.15．已知是双曲线的左、右焦点，若点关于直线-10-的对称点也在双曲线上，则该双曲线的离心率为________.16．设圆，直线，点，若存在点，使得为坐标原点），则的取值范围为________.三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤）.17．（本小题满分10）已知.（1）求的值；（2）求的值.18．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列的前项和为，对任意，总有成等差数列.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和.19.（本小题满分12分）某工厂生产、两种元件，某质量按测试指标划分，指标大于或等于82为正品，小于82为次品，现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试依据以频率估计概率的统计思想，分别估计元件，元件为正品的概率；（2）生产一件元件，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元，在（1）的前提下：（i）记为生产一件元件和1件元件所得的总利润，求随机变量的分布列和数学期望；（ii）求生产5件元件所获得的利润不少于140元的概率.-10-20．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，底面为直角三角形，且，底面，且，点是的中点，且交于点.（1）求证：平面；（2）当时，求二面角的余弦值.21．（本小题满分12分）已知，动点满足，设的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）过的直线与曲线交于、两点，过与平行的直线与曲线交于、两点，求四边形的面积的最大值.22.（本小题满分12分）已知函数其中为常数，函数和的图象在它们与坐标轴交点的切线互相平行.（1）求函数的单调区间；（2）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围.-10-18．解：（1）由已知时，，两式相减，得……………2分又为正数，…………4分是公差为1的等差数列，当时，得或（舍去）…………6分（2）……①由①得………②………8分-10-由①-②得……………………10分……………………12分19．解：（1）原件为正品的概率约为…………1分原件为正品的概率约为…………2分（2）（i）随机变量的所有取值为.…………3分；；；.……………7分所以，随机变量的分布列为：…………8分.…………9分（ii）设生产的5件元件中正品有件，则次品有件，以题意，得，解得，所以，或……………11分设“生产5件元件所获得的利润不少于140元”为事件-10-，则…………10分在中，二面角的余弦值为.……………12分（2）解法二:如图，以为坐标原点，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，，…………8分设平面的一个法向量为-10-则，即，令，可得，…………10分由（1）可知是平面的法向量，且二面角的余弦值为.…………12分21．解：（1）设，在中，由余弦定理得，…………2分即又，所以.…………4分由于，因此点的轨迹是以为焦点的椭圆，同时该椭圆的长半轴，焦距，所以，曲线的方程为；………………………5分-10-【注】其他方法比照上述方法酌情给分.22．解：（1）与坐标轴交点为，，与坐标轴交点为，解得，又，故……………2分，令，显然函数在区间上单调递减，且…………4分当时，，，在上单调递增………5分当时，，，在上单调递减-10-故的单调递增区间为，单调递减区间为.……………6分（2）原不等式等价于：在区间上恒成立.设则…………7分令…………8分①时，在区间上单调递增，在上单调递增，不符合题意，舍去.……………9分②当时，若则在上单调递增，在上单调递增，不符合题意，舍去.……………10分-10-
