肇庆市中小学教学质量评估2022—2022学年第一学期统一检测题高二数学（理科）本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔，将自己所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号填写在答题卷上对应位置，再用2B铅笔在准考证号填涂区将考号涂黑．2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能写在试卷或草稿纸上．3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再在答题区内写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）命题“，”的否定是（A），（B），（C），（D），（2）过点且与直线垂直的直线是（A）（B）（C）（D）（3）双曲线的离心率是（A）（B）（C）（D）13（4）图1是一个组合体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是正视图侧视图22(A)（B）图1俯视图（C）（D）11/12（5）“”是“”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件C（6）直线与圆相交于A、B两点，且，则实数的值是A（A）或（B）或D（C）或（D）或B（7）如图2，将无盖正方体纸盒展开，直线AB，CD在原正方体中的位置关系是图2（A）平行（B）相交成60°（C）相交且垂直（D）异面直线（8）已知椭圆过点，则此椭圆上任意一点到两焦点的距离的和是111（A）4（B）8（C）12（D）16[来源:Z,xx,k.Com]12正视图侧视图（9）一个几何体的三视图如图3所示（单位：cm），2则该几何体的表面积是11俯视图图3（A）4（B）（C）（D）24（10）已知过点的直线与圆有两个交点时,其斜率的取值范围是（A）（B）（C）（D）（11）是空间两条不同直线，是两个不同平面．有以下四个命题：①若,且，则；②若,且，则；③若,且，则；④若,且，则.其中真命题的序号是（A）①②（B）②③（C）③④（D）①④11/12（12）已知动直线与椭圆相交于、两点,已知点，则的值是（A）（B）（C）（D）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.（13）已知直线，若，则的值等于▲.（14）如图4，在圆上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在圆上运动时，则线段PD的中点M的轨迹方程为▲.y正视图侧视图Mx图5图4俯视图（15）某四面体的三视图如图5所示，则此四面体的四个面中面积最大的面的面积等于▲.（16）有一球内接圆锥，底面圆周和顶点均在球面上，其底面积为，已知球的半径，则此圆锥的体积为▲.三、解答题：本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.（17）（本小题满分11分）已知斜率且过点的直线与直线相交于点M.（Ⅰ）求以点M为圆心且过点的圆的标准方程C；（Ⅱ）求过点且与圆C相切的直线方程.（18）（本小题满分11分）如图6，已知正方体，11/12分别是、、、的中点.（Ⅰ）求证：四点共面；（Ⅱ）求证：.（19）（本小题满分12分）已知分别是双曲线的左右焦点，点P是双曲线上任一点，且，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为L.（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程和抛物线L的标准方程；（Ⅱ）过抛物线L的准线与x轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的斜率等于多少时，以线段MN为直径的圆经过抛物线L的焦点?（20）（本小题满分12分）P如图7，在四棱锥中，平面平面，是等腰直角三角形，是直角，，.DCA（Ⅰ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；B（Ⅱ）求平面PCD与平面PAB所成二面角的平面角的余弦值.图7C（21）（本小题满分12分）如图8，直角梯形中，，且的面积等于面积的．梯形所在平面外有一点，满足平面，．（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）侧棱上是否存在点，使得平面?若存在，指出点的位置并证明；若不存在，请说明理由；（22）（本小题满分12分）11/12已知椭圆G的中心在平面直角坐标系的原点，离心率，右焦点与圆C：的圆心重合.（Ⅰ）求椭圆G的方程；（Ⅱ）设、是椭圆G的左焦点和右焦点，过的直线与椭圆G相交于A、B两点，请问的内切圆M的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及直线的方程，若不存在，请说明理由.11/122022—2022学年第一学期统一检测题高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题题号123456789101112答案DCADAABBCCBD（12）解析：将代入中得[来源:学_科_网]，，所以.二、填空题（13）（14）（15）[来源:Z#xx#k.Com]（16）或（答1个得3分，答2个得5分）（15）解析：由三视图知该几何体为棱锥S﹣ABD，其中SC⊥平面ABCD；四面体S﹣ABD的四个面中SBD面的面积最大，三角形SBD是边长为的等边三角形，所以此四面体的四个面中面积最大的为．11/12（16）解析：由得圆锥底面半径为，如图设，则，圆锥的高或所以，圆锥的体积为或三、解答题（17）（本小题满分11分）解：（Ⅰ）依题意得，直线的方程为，即.（2分）由，解得.即点M的坐标为.（4分）设圆C的半径为，则.（5分）所以，圆C的标准方程为.（6分）[来源:学+科+网]（Ⅱ）①因为圆C过点B（4，-2），所以直线x=4为过点N（4，2）且与圆C相切的直线.（8分）②设过点且与圆C相切的直线方程的斜率为，则直线方程为.（9分）由，得，即是圆C的一条切线方程.（10分）11/12综上，过点且与圆C：相切的直线方程为和.（11分）（18）（本小题满分11分）证明：（Ⅰ）如图，连结AC.（1分）∵分别是、的中点，∴.（2分）∵分别是、的中点，∴.（3分）∴.（4分）∴四点共面。（5分）（Ⅱ）连结BD.∵是正方体，∴.（7分）∵，平面，∴平面.（9分）又∵，∴平面，（10分）又∵平面，∴.（11分）（19）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，，即.（1分）∴双曲线的标准方程为.（2分）∴双曲线的渐近线方程.（3分）双曲线的右顶点坐标为，即抛物线L的焦点坐标为，∴抛物线L的标准方程为，（5分）（Ⅱ）抛物线的准线与对称轴的交点为.（6分）设直线MN的斜率为k，则其方程为.（7分）[来源:Zxxk.Com]11/12由，得.∵直线MN与抛物线交于M、N两点，∴，解得.（8分）设，抛物线焦点为F(1，0)，∵以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点，∴MF⊥NF.（9分）∴，即.（10分）又，，且同号，∴.解得，∴.（11分）即直线的斜率等于时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点.（12分）（20）（本小题满分12分）解：取AD的中点O，连结OP，OC，∵是等腰直角三角形，是直角，∴.∵平面平面，∴平面.∴，，又∵，∴.即两两垂直.（2分）以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.由条件知，，.故各点的坐标分别为：，，，所以，，，11/12.（4分）（Ⅰ）设平面PCD的法向量为，则，即令，则，故是平面PCD的一个法向量.（6分）设直线PB与平面PCD所成角为，则，即直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.（8分）（Ⅱ）设平面PAB的法向量为，则，即.令，则，故是平面PAB的一个法向量.（10分）设平面PCD与平面PAB所成角的二面角的平面角为，则，所以平面PCD与平面PAB所成二面角的平面角的余弦值0.（12分）（21）（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）∵平面，∴．（1分）又的面积等于面积的，∴．（2分）在底面中，∵，，∴，∴．（4分）又∵，∴平面．（5分）又平面，∴平面⊥平面.（6分）（Ⅱ）取的中点，使得平面.（7分）11/12证明如下：取的中点是，连结，，，则，且．（8分）由已知，∴．（9分）又，∴，且.∴四边形为平行四边形，（10分）∴．（11分）∵平面，平面，∴平面．（12分）（22）（本小题满分12分）解：（Ⅰ）圆C：的圆心为.（1分）设椭圆G的方程，则，得.（2分）∴，（3分）∴椭圆G的方程.（4分）（Ⅱ）如图，设内切圆M的半径为，与直线的切点为C，则三角形的面积等于的面积+的面积+的面积.即.当最大时，也最大，内切圆的面积也最大.（5分）设、()，则.（6分）由，得，11/12解得,.（7分）∴.（8分）令，则，且，有.（9分）令，因为在上单调递增，有.（10分）∴.即当，时，有最大值，得，这时所求内切圆的面积为.（11分）∴存在直线，的内切圆M的面积最大值为.（12分）11/12
