深圳高级中学2022届高三年级12月模拟考试理科数学一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2.设，是两个不同的平面，是直线且，“”是“”的（）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2+的离心率为（ ）A．B．C．或D．或4．《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子的容积为（）A．升B．升C．升D．升5.已知向量，满足，，，则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．6.已知直线与相交于、两点，且，则实数的值为（）A．B．C.或D．或7．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（）-14-A．B．C．D．8．若双曲线：的一条渐近线被抛物线所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（）A．B．1C．2D．49.函数（其中）的图像如图所示，为了得到的图像，只需将的图像()A.向左平移个长度单位B.向右平移个长度单位C.向左平移个长度单位D.向右平移个长度单位10.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为()A.B.C.D.11.记数列的前项和为.已知，，则（）A．B．C.D．-14-12.若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分．13．已知向量与的夹角为，，，则__________．14．若，，则__________．15．某几何体的三视图如图所示，主视图是直角三角形，侧视图是等腰三角形，俯视图是边长为的等边三角形，若该几何体的外接球的体积为，则该几何体的体积为__________．16.中，角，，所对边分别为，，.是边的中点，且，，，则面积为．三．解答题：本大题共8小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知数列的前项和为，且，，成等差数列，．（l）求数列的通项公式；（2）若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值．18.在中，内角，，的对边分别为，，且.（1）求角的大小；-14-（2）若，且的面积为，求.19．如图，四棱锥中，为正三角形，，，，，为棱的中点．（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值．20．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，有，椭圆的离心率为；（1）求椭圆的标准方程；（2）已知，过点作直线与椭圆交于不同两点，线段的中垂线为，线段的中点为点，记与轴的交点为，求的取值范围．21.已知函数，其中．（1）求函数的单调区间；（2）若函数存在两个极值点，，且，证明：．22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以射线为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）将曲线的参数方程化成普通方程，将直线的极坐标方程化成直角坐标方程；-14-（2）求直线与曲线相交所得的弦的长．-14-2022届高三年级12月模拟考试理科数学答案1．B2.B3.D4.D5.A6.D7.D8.C9.D10.A11.A12,A8．【解析】双曲线：的一条渐近线方程不妨设为：，与抛物线方程联立，，消去，得，所以，所以所截得的弦长为，化简可得，，，，得或（舍），所以双曲线的离心率．9.【解析】由图像知，，，，，得，所以，为了得到的图像，所以只需将的图象向右平移个长度单位即可，故选D．10.该几何体为如图中的三棱锥C－A1C1E，EC＝EA1＝，A1C＝＝4，三角形EA1C的底边A1C上的高为：2，表面积为：S＝24＋24＋44＋24＝11-14-12.有3个不同解，令当时，令，则递减；当递增，则时，恒有得或递减；递增；时，递减，则的极小值为的极大值为结合函数图象可得实数a的取值范围是.[答案]A二．填空题：本大题4小题，每小题5分，满分20分．13．【解析】，，与的夹角为，，又，，故答案为．14．【解析】由，可得．又，结合，可得，．，故答案为．-14-15．根据几何体的三视图，得出该几何体如图所示，由该几何体的外接球的体积为，即，，则球心到底面等边得中心的距离，根据球心O与高围成的等腰三角形，可得三棱锥的高，故三棱锥的体积．即答案为．16.三．解答题17．【解析】（1）因为，，成等差数列，所以，①·····2分所以．②-14-①－②，得，所以．·····4分又当时，，所以，所以，故数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即．·····6分（2）根据（1）求解知，，，所以，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．·····7分又因为，，，，，，，，，，，·····9分所以．·····12分18.（1）由，由正弦定理得，即，·····3分所以，∴.·····6分（2）由正弦定理，可得，，所以.·····10分又，，∴，解得.·····12分19．【解析】（1）取中点，连接，．为中点，，又，，为平行四边形，···········2分．-14-又为正三角形，，从而，···········3分又，，平面，···········4分又平面，平面平面．···········5分（2），，又，，平面．平面为与平面所成的角，即，．···········7分以为原点，建系如图，设，则，，，，···········8分，．设为平面的法向量，则，令，得，···········10分由（1）知，为平面的一个法向量．···········11分，即二面角的余弦值为，即二面角的余弦值为．······12分20．【解析】（1）因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以椭圆的标准方程为．·······4分-14-（2）由题意可知直线的斜率存在，设：，，，，联立直线与椭圆，消去得，，，·······5分又，解得：，·····6分，，所以，·······7分所以：，即，化简得：，·······8分令，得，即，·······9分，·······10分令，则，所以，所以．·······12分21.解：（1）函数定义域为，且，，令，，·····1分当，即时，，∴在上单调递减；·····2分-14-当，即时，由，解得，，若，则，∴时，，单调递减；时，，单调递增；时，，单调递减；·····3分若，则，∴时，，单调递减；时，，单调递增；·····4分综上所述：时，的单调递减区间为，单调递增区间为；时，的单调递减区间为，，单调递增区间为；时，的单调递减区间为．·····5分（2）因为函数定义域为，且，∵函数存在两个极值点，∴在上有两个不等实根，，记，则∴，从而由且，可得，，·····7分∴，·8分-14-构造函数，，则，记，，则，令，得（，故舍去），∴在上单调递减，在上单调递增，·····10分又，，∴当时，恒有，即，∴在上单调递减，∴，即，∴．·····12分22．【解析】（1）曲线的参数方程化成直角坐标方程为，·····2分因为，，所以的直角坐标方程为．·····4分（2）直线的倾斜角为，过点，所以直线化成参数方程为，即，（为参数），5分代入得，，，设方程的两根是，，则，，·····8分所以．·····10分-14--14-
