2022-2022学年山西省晋城市陵川第一中学、高平一中、阳城一中高二上学期第三次月考数学（文）试题说明：1.考试时间120分钟，满分150分。2.考试范围：高一占20%，必修2、选修1-1（前两章）占80%。一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每个小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是()A．1B．3C．5D．92．已知命题，其中正确的是（）A．B.C.D.3．已知方程＋＝1表示椭圆，则m的取值范围为( )A．(－3,5)B．(－3,1)C．(1,5)D．(－3,1)∪(1,5)4.直线xsinα－y＋1＝0的倾斜角的变化范围是( )A.B．(0，π)C.D.∪5.已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为( )A.B.C.D.6.若圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程是( )A．x＋y＝0B．x－y＝09/9\nC．x－y＋2＝0D．x＋y＋2＝07．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为x－2y＝0，则它的离心率为( )A.B.C.D．28．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是( )A．相交或平行B．相交或异面C．平行或异面D．相交、平行或异面9.如图，三棱锥V－ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA＝VC，已知其正视图的面积为，则其侧视图的面积为()A.B.C.D.10.已知直线x＋y－k＝0(k>0)与圆x2＋y2＝4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有|＋|≥||，那么k的取值范围是( )A．(，＋∞)B．[，＋∞)C．[，2)D．[，2)11.如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则此抛物线的方程为( )A．y2＝9xB．y2＝6xC．y2＝3xD．y2＝x12.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为( )9/9\nA.B.C.(6－2)πD.二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是________.14.设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________．15.设椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点为F1、F2，若椭圆上存在一点P，使PF1⊥PF2，则椭圆离心率的最小值为________．16.已知三棱锥P－ABC的各顶点均在一个半径为R的球面上，球心O在AB上，PO⊥平面ABC，＝，则三棱锥与球的体积之比为________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。）17．（本小题满分10分）数列{an}的前n项的和为Sn，对于任意的自然数an>0,4Sn＝(an＋1)2.①求证：数列{an}是等差数列，并求通项公式；②设bn＝，求和Tn＝b1＋b2＋…＋bn.18.（本小题满分12分）如图，几何体E－ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD.①求证：BE＝DE；②若∠BCD＝120°，M为线段AE的中点，求证：DM∥平面BEC.9/9\n19.（本小题满分12分）如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且cosB＝，cos∠ADC＝－.(1)求sin∠BAD的值；(2)求AC边的长．20.（本小题满分12分）已知动圆过定点，且与直线相切.(1)求动圆的圆心轨迹的方程；(2)是否存在直线，使过点（0，1），并与轨迹交于两点，且满足？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1.现以AD为一边向梯形外作矩形ADEF，然后沿边AD将矩形ADEF翻折，使平面ADEF与平面ABCD垂直．(1)求证：BC⊥平面BDE；(2)若点D到平面BEC的距离为，求三棱锥F－BDE的体积．9/9\n22.（本小题满分12分）已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．9/9\n高二年级第三次月考数学（文科）参考答案一、选择题：题号123456789101112答案CCDDBCADBCCA二．填空题:13.14．515.16.∶8π三、解答题：17.①证明：令n＝1,4S1＝4a1＝(a1＋1)2，解得a1＝1------------------1由4Sn＝(an＋1)2，得4Sn＋1＝(an＋1＋1)2两式相减得4an＋1＝(an＋1＋1)2－(an＋1)2整理得(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0∵an>0，∴an＋1－an＝2.-----------------------------------------3则数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，an＝1＋2(n－1)＝2n－1----------------------------------------5②由①得bn＝-------------------------------------------6Tn＝＋＋＋…＋①Tn＝＋＋＋…＋②----------------------------------7①－②得Tn＝＋2－＝＋2×－＝－-------------------------109/9\n所以Tn＝1－.---------------------------------------------1218.(1)①证明：如图1，取BD的中点O，连接CO，EO.由于CB＝CD，所以CO⊥BD.-----------------------------------2又EC⊥BD，EC∩CO＝C，CO，EC⊂平面EOC，所以BD⊥平面EOC.------4因此BD⊥EO，又O为BD的中点，所以BE＝DE.--------------------6②如图2，取AB的中点N，连接DM，DN，MN，因为M是AE的中点，所以MN∥BE.又MN⊄平面BEC，BE⊂平面BEC，∴MN∥平面BEC.-------8又因为△ABD为正三角形，所以∠BDN＝30°，又CB＝CD，∠BCD＝120°，因此∠CBD＝30°，所以DN∥BC.又DN⊄平面BEC，BC⊂平面BEC，所以DN∥面BEC.-----------------------10又MN∩DN＝N，故平面DMN∥平面BEC，又DM⊂平面DMN，所以DM∥平面BEC.------1219.(1)因为cosB＝，所以sinB＝.--------1又cos∠ADC＝－，所以sin∠ADC＝------------------------2所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝×－×＝.---------------------------5(2)在△ABD中，由＝得＝，解得BD＝2.--------7故DC＝2.--------------------------------------------------8从而在△ADC中，由AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC＝32＋22－2×3×2×＝16，得AC＝4.--------------129/9\n20.（1）如图，设为动圆圆心，，过点作直线的垂线，垂足为，由题意知：.--------------------2即动点到定点与定直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，其中为焦点，为准线，∴动点的轨迹方程为------------5（2）由题可设直线的方程为，由得△，---------------------------------6设，，则，------------------7由，即，于是.--------------------------------------------8即，，，解得或（舍去）.------------10又，∴直线存在，其方程为.---------1221.(1)证明：在矩形ADEF中，ED⊥AD，因为平面ADEF⊥平面ABCD，所以ED⊥平面ABCD，所以ED⊥BC.---------2又在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝1，CD＝2，∠BDC＝45°，所以BC＝------------4在△BCD中，BD＝BC＝，CD＝2所以BD2＋BC2＝CD2所以BC⊥BD，所以BC⊥平面BDE.---------6(2)由(1)得，平面DBE⊥平面BCE，作DH⊥BE于点H，则DH⊥平面BCE，所以DH＝.----------------------------------8在△BDE中，BD·DE＝BE·DH，9/9\n即·DE＝()，解得DE＝1.--------------------------10所以VF－BDE＝VB－EFD＝××1×1×1＝.---------------------------1222.(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.-----------------2又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.----------------------------------------4(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，--------------------------------5x1+x2＝，x1·x2＝-------------------------------7从而|PQ|＝|x1－x2|＝.-------------------8又点O到直线PQ的距离d＝------------------------------9所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·|PQ|＝.--------------------10设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0.所以，当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.------------------------------------129/9
