2022级高二上学期学分认定考试理倾数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必用钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题纸和答题卡的相应位置处。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。3．非选择题答案必须写在答题纸相应位置处，不按要求作答的答案无效。4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡和答题纸一并收回。第I卷（选择题共50分）选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式an可以等于( )A.B.cosC.cosπD.cosπ2.设a<b<0，则下列不等式中不成立的是( )A.>B.>C.|a|>－bD.>3.有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°4.等差数列{an}前n项和为Sn，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于( )A.6B.7C.8D.95.一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( )A.13B.12C.11D.106.双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝17.若a>0，b>0，且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是( )A.B.1C.4D.88.如图所示，平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点.若＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是( )8\nA.－＋＋B.＋＋C.－－＋D.－＋9.数列的前项和为，，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的最小值为( )A.B.C.D.10．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交抛物线于点P，O为原点，若，则双曲线离心率为( )A.B.C.D.第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.若点P到直线y＝－3的距离等于它到点(0，3)的距离，则点P的轨迹方程是_________.12．推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝________________.13.已知△ABC的面积为，AC＝，∠ABC＝，则△ABC的周长等于_________________．14.若x<m－1或x>m＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_______．15.已知变量x，y满足条件若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是_____________________.三、解答题（本大题共6小题，共75分）16.（本小题满分12分）设p：关于x的不等式ax>1的解集是{x|x<0}；q：函数y＝的定义域为R.若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．8\n17.（本小题满分12分）已知△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面积为，求a，b的值；(2)若sinC＋sin(B－A)＝sin2A，试判断△ABC的形状．18．（本小题满分12分）已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，且Sn＝，n∈N*.(1)求证：数列{an}是等差数列；(2)设bn＝，Tn＝b1＋b2＋…＋bn，求Tn.19.（本小题满分12分）某市近郊有一块大约的接近正方形的荒地，地方政府准备在此建一个综合性休闲广场，首先要建设如图所示的一个矩形场地，其中总面积为3000平方米，其中阴影部分为通道，通道宽度为2米，中间的三个矩形区域将铺设塑胶地面作为运动场地（其中两个小场地形状相同），塑胶运动场地占地面积为S平方米.(1)分别用表示和S的函数关系式，并给出定义域；(2)怎样设计能使S取得最大值，并求出最大值.20.（本小题满分13分）已知四边形是菱形,，四边形是矩形,平面平面,分别是的中点.(1)求证:平面平面；(2)若平面与平面所成的角为,求直线与平面所成的角的正弦值.8\n21．(本小题满分14分)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线x=2与椭圆C交于P、Q两点,A、B是椭圆O上位于直线PQ两侧的动点，且直线AB的斜率为。①求四边形APBQ面积的最大值；②设直线PA的斜率为，直线PB的斜率为，判断+的值是否为常数，并说明理由．2022级高二上学期学分认定考试理倾数学答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.）1.D2.B3．C4.A5.B6.C7.C8.A9.D10．A二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分.）11. x2＝12y；12．44.5；13．3＋；14.[0,2]；15.三、解答题（本大题共6小题，共75分.）16.（本小题满分12分）解： 根据指数函数的单调性，可知命题p为真命题时，实数a的取值集合为P＝{a|0<a<1}，-----------------------------------------------------2分对于命题q：函数的定义域为R的充要条件是ax2－x＋a≥0恒成立．-----------4分当a＝0时，不等式为－x≥0，解得x≤0，显然不成立；----------------------------6分当a≠0时，不等式恒成立的条件是，解得a≥.-8\n所以命题q为真命题时，a的取值集合为Q＝{a|a≥}．------------------------------8分由“p∨q是真命题，p∧q是假命题”，可知命题p，q一真一假，当p真q假时，a的取值范围是P∩(∁RQ)＝{a|0<a<1}∩{a|a<}＝{a|0<a<}；当p假q真时，a的取值范围是(∁RP)∩Q＝{a|a≤0或a≥1}∩{a|a≥}＝{a|a≥1}．综上，a的取值范围是∪[1，＋∞)．---------------------------------------------12分17．（本小题满分12分）解： (1)∵c＝2，C＝，∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得a2＋b2－ab＝4.-------------------------------2分又∵△ABC的面积为，∴absinC＝，ab＝4.----------------------------------4分联立方程组解得a＝2，b＝2.------------------------------------6分(2)由sinC＋sin(B－A)＝sin2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sinAcosA，即2sinBcosA＝2sinAcosA，∴cosA·(sinA－sinB)＝0，----------------------------8分∴cosA＝0或sinA－sinB＝0，当cosA＝0时，∵0<A<π，∴A＝，△ABC为直角三角形；---------------------------------------------------------10分当sinA－sinB＝0时，得sinB＝sinA，由正弦定理得a＝b，即△ABC为等腰三角形．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．------------------------------------------------12分18．（本小题满分12分）(1)证明 ∵Sn＝，n∈N*，∴当n＝1时，a1＝S1＝(an>0)，∴a1＝1.-------------------------------------2分当n≥2时，由得2an＝a＋an－a－an－1.------------------------------------------------------------------4分即(an＋an－1)(an－an－1－1)＝0，∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1(n≥2).所以数列{an}是以1为首项，以1为公差的等差数列.----------------------------------6分(2)解 由(1)可得an＝n，Sn＝，bn＝＝＝－.-----------------8分∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.--------------------------------------------------------------------------------12分19.（本小题满分12分）8\n解：(1)由已知，，其定义域是.----------------------------2分又，，,其定义域是.---------------------------6分(2)，--------------8分当且仅当，即时，上述不等式等号成立，此时，，，.答：设计，时，运动场地面积最大，最大值为平方米.-----------12分20．（本小题满分13分）解:(1)分别是的中点所以----①连接与交与,因为四边形是菱形,所以是的中点连,是三角形的中位线---------②由①②知,平面平面--------------4分(2)平面平面,所以平面取的中点,平面,---------------------5分建系设,则----------------------------------------------7分8\n设平面的法向量为,所以----------------------------------------------9分平面的法向量,所以---------------------------------------------------11分所以,设直线与平面所成的角为---------------------------------------------------13分21．（本小题满分14分）解：（1）设椭圆C的方程为.由已知b=离心率,得所以，椭圆C的方程为.--------------------4分（2）①由（Ⅰ）可求得点P、Q的坐标为，，则，设AB(),直线AB的方程为，代人得：.由△>0,解得，由根与系数的关系得---------------------------7分四边形APBQ的面积故当-------------------------------------------------------------------------------9分②由题意知，直线PA的斜率，直线PB的斜率则8\n=，------12分由①知可得所以的值为常数0.-------------------------------------------------------------------14分8
