宁夏平罗中学2022-2022学年高一上学期期中考试数学试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|2x+1＜3}，B={x|-3＜x＜2}，则A∩B等于（ ）A.{x|−3<x<1}B.{x|1<x<2}C.{x|x>−3}D.{x|x<1}2.若全集U={0，1，2，3}且∁UA={2}，则集合A的真子集共有（ ）A.3个B.5个C.7个D.8个3.下列各组函数中f（x）和g（x）表示相同的函数的是（ ）A.f(x)=lgx2，g(x)=2lgxB.f(x)=x，g(x)=x2C.f(x)=1(x∈R且x≠0)，g(x)=x|x|D.f(x)=x，g(x)=3x34.函数y=2x−3+1x−3的定义域为（ ）A.[32,+∞)B.(−∞,3)∪(3,+∞)C.[32,3)∪(3,+∞)D.(3,+∞)5.下列函数中，是偶函数，且在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）A.y=3−xB.y=−x2+4C.y=1xD.y=|x|6.设a=log123，b=（13）0.2，c=213，则a、b、c的大小顺序为（ ）A.b<a<cB.c<b<aC.c<a<bD.a<b<c7.已知函数f(x)=3x(x≤0)log2x(x>0)，则f[f(14)]的值是（ ）A.9B.19C.−19D.−98.函数f（x）=-x2-2x+3在[-5，2]上的最小值和最大值分别为（ ）A.−12，−5B.−12，4C.−13，4D.−10，69.已知loga23＜1，则a的取值范围是（ ）A.(0,23)∪(1,+∞)B.(23,+∞)C.(23, 1)D.(0,23)∪(23,+∞)10.若f（x）=x2+2（a-1）x+2在区间（4，+∞）上是增函数，那么实数a的取值范围是（ ）A.a≥3B.a≥−3C.a≤−3D.a≤511.函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（ ）11/11\nA.B.C.D.1.若函数f（x）为定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）内是减函数，又f（-2）=0，则不等式f(x)x＜0的解集为（ ）A.(−2,0)∪(2,+∞)B.(−∞,−2)∪(0,2)C.(−2,0)∪(0,2)D.(−∞,−2)∪(2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）2.log416-log23•log32=______．3.函数y=ax-3+3恒过定点______．4.已知幂函数y=(m2−5m+7)xm2−6在区间（0，+∞）上单调递增，则实数m的值为______．5.对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.14]=3，[-1.08]=-2，定义函数f（x）=x-[x]，则下列命题中正确的是______①函数f（x）的最大值为1； ②函数f（x）的最小值为0；③方程f（x）-12=0有无数个根； ④函数f（x）是增函数．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）6.计算下列各式的值：（1）（94）12-（-2.5）0-（827）23+（32）-2；（2）log381+lg20+lg5+4log42+log517.已知全集U=R，集合A={x|x＜-4，或x＞1}，B={x|-3≤x-1≤2}，（1）求A∩B、（∁UA）∪B；（2）若集合M={x|2k-1≤x≤2k+1}是集合B的子集，求实数k的取值范围．11/11\n1.已知函数f（x）=log31+x1−x．（1）求函数的定义域．（2）判断函数f（x）的奇偶性，并证明．2.已知函数f（x）=x|x-m|（x∈R），且f（1）=0．（1）求m的值，并用分段函数的形式来表示f（x）；（2）在如图给定的直角坐标系内作出函数f（x）的草图（不用列表描点）；（3）由图象指出函数f（x）的单调区间．3.已知函数f（x）=ax+b1+x2是定义在[-1，1]上的奇函数，且f（1）=12，（1）确定函数f（x）的解析式；（2）用定义证明f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）解不等式f（t-1）+f（t）＜0．4.已知函数f（x）=loga（ax-1）（a＞0，a≠1）（1）讨论函数f（x）的定义域；（2）当a＞1时，解关于x的不等式：f（x）＜f（1）；（3）当a=2时，不等式f（x）-log2（1+2x）＞m对任意实数x∈[1，3]11/11\n恒成立，求实数m的取值范围．11/11\n答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵A={x|2x+1＜3}={x|x＜1}，B={x|-3＜x＜2}，∴A∩B={x|-3＜x＜1}故选：A．先化简集合A，再根据并集的定义，求出A∪B本题考查交集及其运算，解题的关键是理解交集的定义，熟练掌握交的运算求交集．2.【答案】C【解析】解：∵U={0，1，2，3}且CUA={2}，∴A={0，1，3}∴集合A的真子集共有23-1=7故选：C．利用集合中含n个元素，其真子集的个数为2n-1个，求出集合的真子集的个数．求一个集合的子集、真子集的个数可以利用公式：若一个集合含n个元素，其子集的个数为2n，真子集的个数为2n-1．3.【答案】D【解析】解：A．f（x）=lgx2的定义域为{x|x≠0}，g（x）=2lgx的定义域为{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数；B.，解析式不同，不是相同函数；C．f（x）=1（x∈R，且x≠0），，解析式不同，不是相同函数；D．f（x）=x的定义域为R，的定义域为R，解析式和定义域都相同，是相同函数．故选：D．通过求定义域可判断选项A的两函数不相同，通过化简解析式可看出选项B，C的两函数不相同，只能选D．考查函数的定义，判断两函数是否相同的方法：看解析式和定义域是否都相同．4.【答案】C【解析】解：函数y=+，∴，11/11\n解得x≥且x≠3；∴函数y的定义域为[，3）∪（3，+∞）．故选：C．根据函数y的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．本题考查了根据函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．5.【答案】D【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y=3-x，是一次函数，为非奇非偶函数，不符合题意，对于B，y=-x2+4，为二次函数，是偶函数，但在区间（0，+∞）上为减函数，不符合题意；对于C，y=为反比例函数，是奇函数，不符合题意；对于D，y=|x|=，为偶函数，且在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；故选：D．根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数的单调性、奇偶性，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：∵a=3＜0，0＜b=（）0.2＜1，c=＞1，∴a＜b＜c．故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：=f（log2）=f（log22-2）=f（-2）=3-2=，故选：B．因为，所以f（）=log2=log22-2=-2≤0，f（-2）=3-2=，故本题得解．本题的考点是分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解．8.【答案】B【解析】解：函数f（x）=-x2-2x+3的对称轴为x=-1，开口朝下对称轴x=-1∈[-5，2]内，∴f（x）在x=-1处取得最大值为f（-1）=4，f（x）在x=-5处取得最小值为f（-5）=-12，故选：B．11/11\n根据题意求出函数f（x）=-x2-2x+3的对称轴为x=-1，开口朝下，判断对称轴x=-1∈[-5，2]内．本题主要考查了二次函数的性质，函数图形特征，属简单题．9.【答案】A【解析】解：∵∴①当a＞1时，a＞∴a＞1②当0＜a＜1时，a＜∴0＜a＜综上：a的取值范围是；故选：A．题目条件可化为： 利用对数函数的单调性与特殊点，分类讨论即可得a的取值范围．本题主要考查了对数函数的单调性与特殊点，同时考查了分类讨论的思想方法，是个基础题．10.【答案】B【解析】解：二次函数f（x）=x2+2（a-1）x+2是开口向上的二次函数，对称轴为x=1-a，∴二次函数f（x）=x2+2（a-1）x+2在[1-a，+∞）上是增函数，∵在区间（4，+∞）上是增函数，∴1-a≤4，解得：a≥-3．故选：B．根据二次函数的单调性与开口方向和对称轴有关，先求出函数的对称轴，然后结合开口方向可知（4，+∞）是[1-a，+∞）的子集即可．本题主要考查了二次函数的单调性的运用，注意讨论对称轴和区间的关系，二次函数是高考中的热点问题，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A．∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．11/11\n12.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f（x）为定义在R上的奇函数，且f（-2）=0，则f（2）=-f（-2）=0，函数f（x）在（0，+∞）内是减函数，且f（2）=0，则在（0，2）上，f（x）＞0，在（2，+∞）上，f（x）＜0，又由函数f（x）为奇函数，则在（-2，0）上，f（x）＜0，在（-∞，-2）上，f（x）＞0，⇒或，解可得：x＜-2或x＞2，即不等式的解集为（-∞，-2）∪（2，+∞）；故选：D．根据题意，由奇函数的性质可得f（2）=0，结合函数的单调性可得在（0，2）上，f（x）＞0，在（2，+∞）上，f（x）＜0，结合函数的奇偶性可得在（-2，0）上，f（x）＜0，在（-∞，-2）上，f（x）＞0，又由⇒或，分析可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．13.【答案】1【解析】解：原式=2-=2-1=1．故答案为：1．利用对数运算性质、换底公式即可得出．本题考查了对数运算性质、换底公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.【答案】（3，4）【解析】解：因为函数y=ax恒过（0，1），而函数y=ax-3+3可以看作是函数y=ax向右平移3个单位，图象向上平移3个单位得到的，所以y=ax-3+3恒过定点（3，4）故答案为：（3，4）利用函数图象平移，找出指数函数的特殊点定点，平移后的图象的定点容易确定．本题是基础题，利用函数图象的平移，确定函数图象过定点，是解决这类问题的常用方法，牢记基本函数的特殊性是解好题目的关键．15.【答案】3【解析】解：由题意，∵幂函数在区间（0，+∞）上单调递增，∴∴m=3故答案为：311/11\n利用幂函数的定义，及在区间（0，+∞）上单调递增，建立关系式，即可求实数m的值．本题考查幂函数的定义与性质，考查计算能力，属于基础题．16.【答案】②③【解析】解：对于①，由题意可知f（x）=x-[x]∈[0，1），∴函数f（x）无最大值，①错误；对于②，由f（x）的值域为[0，1），∴函数f（x）的最小值为0，②正确；对于③，函数f（x）每隔一个单位重复一次，是以1为周期的函数，所以方程f（x）-有无数个根，③正确；对于④，函数f（x）在定义域R上是周期函数，不是增函数，④错误；综上，正确的命题序号是②③．故答案为：②③．先理解函数f（x）=x-[x]的含义，再针对选项对该函数的最值、单调性以及周期性进行分析、判断正误即可．本题考查新定义的函数性质与应用问题，也考查了分析问题与解答问题能力，是中档题．17.【答案】解：（1）原式=(32)2×12-1-(23)3×23+(23)−1×(−2)=32-1-49+49=12．（2）原式=4+lg100+2+0=8．【解析】（1）利用指数运算性质即可得出．（2）利用对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）∵A={x|x＜-4，或x＞1}，B={x|-3≤x-1≤2}，∴B={x|-2≤x≤3}，∴A∩B={x|1＜x≤3}，∁UA={x|-4≤x≤1}，则（∁UA）∪B={x|-4≤x≤3}；（2）若集合M={x|2k-1≤x≤2k+1}是集合B的子集则2k−1≥−22k+1≤3得k≤1k≥−12，得-12≤k≤1，即实数k的取值范围是-12≤k≤1．【解析】（1）求出集合B的等价条件，结合补集，交集，并集的定义进行求解即可．（2）结合子集定义转化为不等式关系进行求解．本题主要考查集合的基本运算，结合子集的关系进行转化是解决本题的关键．19.【答案】解：（1）根据题意，f（x）=log31+x1−x，必有1+x1−x＞0，解可得：-1＜x＜1，即函数的定义域为（-1，1）；（2）函数f（x）为奇函数，证明：f（x）=log31+x1−x，其定义域为（-1，1），关于原点对称，且f（-x）=log31−x1+x=-log31+x1−x=-f（x），11/11\n则函数f（x）为奇函数．【解析】（1）根据题意，由函数的解析式可得＞0，解可得x的取值范围，即可得答案；（2）根据题意，分析函数的定义域可得其定义域关于原点对称，又由f（-x）=log3=-log3=-f（x），分析可得结论．本题考查函数的奇偶性的判断以及函数定义域的计算，关键是掌握对数函数的性质，属于基础题．20.【答案】解：（1）∵f（1）=0，∴|m-1|=0，即m=1； ∴f（x）=x|x-1|=−x2+x(x<1)x2−x(x≥1)．（2）函数图象如图：（3）函数单调区间：递增区间：(−∞，12]，[1，+∞)，递减区间：[12，1]．【解析】（1）根据条件f（1）=0，求m的值即可．（2）利用函数作出函数图象．（3）根据函数图象判断函数的单调区间即可．本题主要考查分段函数的应用，考查学生的视图和用图能力，比较基础．21.【答案】解：（1）依题意得f(0)=0f(1)=12， 即b1+02=0a+b1+1=12，得b=0a=1，∴f（x）=x1+x2；（2）证明：任取-1＜x1＜x2＜1，则f（x1）-f（x2）=x11+x12-x21+x22=(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)，∵-1＜x1＜x2＜1∴，x1-x2＜0，1+x12＞0，1+x22＞0又∵-1＜x1x2＜1，∴1-x1x2＞0，∴f（x1）-f（x2）＜0，11/11\n∴f（x）在（-1，1）上是增函数；（3）f（t-1）＜-f（t）=f（-t），∵f（x）在（-1，1）上是增函数，∴-1＜t-1＜-t＜1，解得：0≤t＜12．【解析】（1）由f（0）=0，解得b的值，再根据f（1）=，解得a的值，从而求得f（x）的解析式．（2）设-1＜x1＜x2＜1，求得f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）-f（x2）＞0，可得函数f（x）在（-1，1）上是减函数．（3）由不等式f（t-1）+f（t）＜0，可得f（t-1）＜f（-t），可得关于t的不等式组，由此求得t的范围本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，属于中档题．22.【答案】解：（1）由ax-1＞0，得ax＞1．当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0．所以f（x）的定义域是当a＞1时，x∈（0，+∞）；当0＜a＜1时，x∈（-∞，0）．（2）当a＞1时，任取x1、x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则ax1＜ax2，所以ax1-1＜ax2-1．因为a＞1，所以loga（ax1-1）＜loga（ax2-1），即f（x1）＜f（x2）．故当a＞1时，f（x）在（0，+∞）上是增函数．∵f（x）＜f（1）；∴ax-1＜a-1，∵a＞1，∴x＜1，又∵x＞0，∴0＜x＜1；（3）∵令g（x）=f（x）-log2（1+2x）=log2（1-22x+1)在[1，3]上是单调增函数，∴g（x）min=-log23，∵m＜g（x），∴m＜-log23．【解析】（1）由ax-1＞0，得ax＞1下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0即可求得f（x）的定义域（2）根据函数的单调性解答即可；（3）令g（x）=f（x）-log2（1+2x）=log2（1-在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．11/11
